河北省张家口市2026届初中学业水平模拟考试（九年级）数学试卷（含解析）

2026年河北张家口市初中学业水平模拟考试（九年级）数学试卷一、单选题1．如图，数轴上点A表示的数为，则点A表示的数的相反数是（

）A． B．2 C． D．2．下列整式运算正确的是（

）A． B． C． D．3．如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（

）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则的值为（

）A． B． C． D．5．如图，由5个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图为（

）A． B． C． D．6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（）A．2 B．4 C． D．167．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）A． B． C． D．8．一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（

）A．函数解析式为：B．当体积为5升时，压强为80千帕C．体积越大，对应的压强越大D．当压强为200千帕时，体积为2升9．如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（

）A． B． C． D．10．如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（

）A． B． C． D．11．如图，边长为8的正六边形中，一束激光从的中点P出发，照射到边上的点Q处，经镜面反射后恰好经过顶点C，则的长为（

）A． B． C． D．12．我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（

）A．太簇对应的律长8寸 B．C．大吕律长在3寸与4寸之间 D．的律长大于6寸二、填空题13．计算的结果等于_______．14．如图，用个完全相同的小长方形拼成一个大长方形．已知大长方形的周长为，则一个小长方形的面积为______．15．如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________．16．平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________．三、解答题17．计算、解不等式(1)计算：(2)解不等式：18．先化简，再求值：，其中．19．如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的面积．20．某校对九年级部分学生的“每周（七天）课外体育锻炼时间”进行了抽样调查．将锻炼时间记为x（单位：小时），并按范围划分为四段：A．；B．；C．；D．．调查结果整理成如下不完整的统计图表和扇形统计图：范围锻炼时间（小时）频数频率A段50.1B段10mC段n0.4D段150.3请认真阅读上述信息，回答下列问题：(1)本次调查的学生总人数________人；表中________，________；扇形统计图中“A段”所在扇形的圆心角度数为________；(2)若该校九年级共有600名学生，请估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数；(3)请根据上述统计图表中的信息，写出一个当前该校学生体育锻炼时间分布存在的问题，并提出一条针对性的改进建议．21．如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D．(1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接，求证：是的切线；(3)若，，求弧的长．22．保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元．(1)设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________．(2)求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元．(3)按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元．①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？23．在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地．(1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式；(2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度．(3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）；(4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值．24．综合与实践：数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点．请完成以下闯关任务：(1)第一关·初试锋芒如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究：①直接写出：________，________；②此时与的位置关系是________．(2)第二关·解锁规律①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由．②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，）(3)第三关·终极挑战当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标．参考答案1．B解：∵数轴上点表示的数为，∴点A表示的数的相反数是2．2．D解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误；B、，原计算错误；C、，原计算错误；D、，原计算正确.3．A解：，．，．平分，．4．A解：过点作轴于点，如图，根据点在第一象限内，其坐标是，∴，，∵与轴正半轴的夹角的正切值为2，∴，∴，∴点，∴，∴．5．C解：由图可知，该几何体的结构为：底层共4个正方体，排成前后2行、左右2列，上层1个正方体放在后排靠左的位置，从左侧观察时：左侧一列2个正方形上下排列，右侧一列仅下方有1个正方形，故选：C．6．B解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴即解得，故选：B．7．D解：∵，，∴，∵，∴当时，可以判定；当时，则，可以判定；当时，可以判定；当时，无法判定.8．C解：∵p与V成反比例函数关系∴设将，代入得，解得，∴函数解析式为；当时，千帕，∵，且体积∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小；当时，，解得；综上，只有选项C错误.9．C解：由题意，小红连续点击两次按钮，共有4种等可能的结果，其中到达格子K的结果只有1种，故.10．B解：，，∵，∴，∴，∵为中点，∴，即点是的中点，∴为的中位线，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．11．A解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示：则，在正六边形中，，则，由反射光线的性质可知，，即，，，，设，则，，六边形为正六边形，，，是中点，，在中，，，，在正六边形中，，，，，，四边形是矩形，，，过点作，如图所示：由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线，在中，，，，，，则，解得，，．12．C解：根据规则，第次推演，为奇数时本次为损一，长度乘以，为偶数时本次为益一，长度乘以，已知，依次计算得：∵，，∴选项A正确；∵，，∴，选项B正确；∵，∴选项D正确；计算得：，，，∵，即不在寸与寸之间，∴选项C错误．13．2【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，故答案为：214．解：设小长方形的长为，宽为，由图可得，，解得，∴一个小长方形的面积为．15．解：如图，过点作于点，，，，．．．．．，．16．8解：由题意得，记第次平移后点的坐标为，为横纵坐标之和，则，，∴余数为，∴第次向右平移个单位，∴；∴，余数为，∴第次向上平移个单位，∴；∴，余数为，∴第次向左平移个单位，∴；∴，余数为，∴第次向上平移个单位，∴；∴，余数为，∴第次向左平移个单位，∴；∴，余数为，∴第次向上平移个单位，∴，∵平移次后点落在直线上，∴满足，∴代入得：，联立得，∴两式相加得解得．17．(1)(2)（1）解：；（2）解：解得．18．，解：原式；当时，原式．19．(1)见解析(2)96【详解】（1）证明：∵，是边上的高线，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵是边上的高线，即，∴四边形是菱形；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴菱形的面积．20．(1)50，，20，(2)估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数约有420人；(3)见解析（1）解：（人），，（人），；（2）解：（人），答：估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数约有420人；（3）解：存在的问题：该校学生平均每周运动不足4小时的人数不到一半．建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼（答案不唯一）．21．(1)见解析(2)见解析(3)（1）解：如图，直线即为所求：（2）证明：连接，，，是的垂直平分线，，，是直角三角形，，，，，，是的半径，是的切线；（3）解：，，，，，，的长为．22．(1)①元；②元(2)甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：8元毫升(3)①；②甲取75毫升，乙取毫升时，总成本最低，为元（1）解：①∵甲、乙每毫升成本比为，甲为元毫升，∴乙的成本为元毫升；②∵取用毫升甲、毫升乙，∴总成本为；（2）解：由题意得，解得，∴甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：元毫升；（3）解：①∵甲用量为毫升，∴乙用量毫升，∴总成本，∵甲用量不少于40毫升，即；，即，∴解得，解得，∴的取值范围：，函数关系式为；②∵在函数中，，∴随的增大而减小，∵要使总成本最低，∴取的最大值，此时，甲用量：75毫升；乙用量：毫升，最低总成本：元．23．(1)(2)在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米．(3)(4)当秒时，最优垂直距离最小，最小值为米．（1）解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点，设顶点式．代入点得：，解得：．所以，即．（2）解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点，设无人机乙下降过程的函数解析式为：，，解得：，∴无人机乙下降过程的函数解析式为：，联立，解得：或（不合题意，舍去）；∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米．（3）解：垂直距离，分两段讨论：①乙起飞段：时，易得：，，∴对称轴为，令，解得：或，如图，当时，随的增大而增大，∴时，；∴的最大值为．②乙下降段：时，令，解得：或，∴对称轴为，如图：当时，；当时，；当时，；则当时，时，；综上，两架无人机的最大垂直距离．（4）解：由乙无人机过和，最高点纵坐标不变20，∴，设，顶点横坐标，代入顶点：，解得：，∴．令，，解得：∴当时，第一处处于高度相同；当时第二次处于高度相同，∵“最优垂直距离”指在两机首次、第二次同高的时间x的取值范围为，最大垂直距离的最小值，且，∴，∵，∴两架无人机的最大垂直距离，∴抛物线开口方向向上，对称轴为，即当时，随t的增大而增大，∵，∴当时，有最小值，∴当秒时，最优垂直距离最小，最小值为米．24．(1)，；垂直(2)存在，理由见解析；(3)点的坐标为或或（1）解：四边形是矩形，，，，由折叠可知，，，在中，，，设，则，在中，，即，解得，即；由折叠可知，是的对称轴，即垂直平分，；（2）解：存在，仍然成立；理由：由折叠可知，点与点关于直线对称，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，垂直平分，；由知，，，是的中点，，，，是定值，点的运动轨迹为