2027届新高考数学热点精准复习利用导数研究恒（能）成立问题

2027届新高考数学热点精准复习利用导数研究恒（能）成立问题目

录CONTENTS01关键能力精准突破

恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识，其中不等式恒成立问题经常与

导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题

的能力，一般作为压轴题出现，难度略大.

考点1

分离参数法求参数范围

（精研通）【例1】

已知函数

f

（

x

）＝

x

lnx

，若对于所有

x

≥1都有

f

（

x

）≥

ax

－1，求实

数

a

的取值范围.

分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况

下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量

表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.

已知函数

f

（

x

）＝

x

（lnx

＋

a

）＋

b

，曲线

y

＝

f

（

x

）在点（1，

f

（1））处

的切线为2

x

－

y

－1＝0.（1）求

a

，

b

的值；（2）若对任意的

x

∈（1，＋∞），

f

（

x

）≥

m

（

x

－1）恒成立，求正整数

m

的

最大值.解：（1）由

f

（

x

）＝

x

（lnx

＋

a

）＋

b

，得f'（

x

）＝lnx

＋

a

＋1.由切线方程可知，

f

（1）＝2－1＝1，∴f'（1）＝

a

＋1＝2，

f

（1）＝

a

＋

b

＝1，解得

a

＝1，

b

＝0.

考点2

等价转化法求参数范围

（精研通）【例2】

已知函数

f

（

x

）＝lnx

－

ax

，

a

∈R.（1）求函数

f

（

x

）的单调区间；（2）若不等式

f

（

x

）＋

a

＜0在

x

∈（1，＋∞）上恒成立，求

a

的取值范围.

①当

a

≤0时，f'（

x

）＞0恒成立，则

f

（

x

）的单调递增区间是（0，＋∞），无单

调递减区间.

①当

a

≥1时，g'（

x

）＜0在

x

∈（1，＋∞）上恒成立，则

g

（

x

）在

x

∈（1，＋∞）上单调递减，所以

g

（

x

）＜

g

（1）＝0，即

a

≥1时

满足题意.

③当

a

≤0时，由（1）知，

g

（

x

）在（1，＋∞）上单调递增，所以

g

（

x

）＞

g

（1）＝0，即

a

≤0时不满足题意（舍去）.综上，实数

a

的取值范围是[1，＋∞）.

等价转化法求参数范围的思路遇到

f

（

x

）≥

g

（

x

）型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造

“左减右”的函数

h

（

x

）＝

f

（

x

）－

g

（

x

）或“右减左”的函数

u

（

x

）＝

g

（

x

）－

f

（

x

），进而只需满足

h

（

x

）min≥0或

u

（

x

）

max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围

较广，但是往往需要对参数进行分类讨论.

解：（1）因为

a

＝2，所以

f

（

x

）＝（

x

＋1）e

x

，

f

（0）＝1，则f'（

x

）＝（

x

＋2）e

x

，所以f'（0）＝2，所以所求切线方程为2

x

－

y

＋1＝0.

①若

a

≥0，则当

x

∈[0，＋∞）时，h'（

x

）≥0，所以函数

h

（

x

）在

[0，＋∞）

上单调递增，所以

h

（

x

）min＝

h

（0）＝

a

－1，则

a

－1≥0，得

a

≥1.②若

a

＜0，则当

x

∈[0，－

a

）时，h'（

x

）≤0；当

x

∈（－

a

，＋∞）时，h'（

x

）＞0.所以函数

h

（

x

）在[0，－

a

）上单调递减，在（－

a

，＋∞）上单调递增，所以

h

（

x

）min＝

h

（－

a

）.又因为

h

（－

a

）＜

h

（0）＝

a

－1＜0，所以不合题意.综上，实数

a

的取值范围为[1，＋∞）.考点3

不等式存在成立问题

（精研通）

①当

a

＋1≤1，即

a

≤0时，h'（

x

）≥0，

h

（

x

）单调递增，

h

（

x

）min＝

h

（1）

＝

a

＋2＜0，得

a

＜－2.

②当1＜

a

＋1＜e，即0＜

a

＜e－1时，

h

（

x

）在[1，

a

＋1）上单调递减，在（

a

＋

1，e]上单调递增，故

h

（

x

）min＝

h

（

a

＋1）＝（

a

＋1）－

a

ln（

a

＋1）＋1＝

a

[1－ln（

a

＋1）]＋

2＞2，

a

∈（0，e－1）与

h

（

x

）＜0不符合，故舍去.

1.含参数的能成立（存在型）问题的解题方法

a

≥

f

（

x

）在

x

∈

D

上能成立，则

a

≥

f

（

x

）min；

a

≤

f

（

x

）在

x

∈

D

上能成

立，则

a

≤

f

（

x

）max.2.含全称量词、存在量词不等式能成立问题（1）存在

x1∈

A

，对任意

x2∈

B

使

f

（

x1）≥

g

（

x2）成立，则

f

（

x

）max≥

g

（

x

）max；（2）任意

x1∈

A

，存在

x2∈

B

，使

f

（

x1）≥

g

（

x2）成立，则

f

（

x

）min≥

g

（

x

）min.

设函数

f

（

x

）＝2ln