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2027届新高考数学热点精准复习一元二次不等式恒（能）成立问题目

录CONTENTS01关键能力精准突破

考点1

在R上恒成立问题【例1】

（1）∀

x

∈R，不等式

ax2＋4

x

－1＜0恒成立，则

a

的取值范围为（

）A.（－∞，－4）B.（－∞，－4）∪{0}C.（－∞，－4]D.（－4，0）

（2）不等式（

a

－2）

x2＋4（

a

－2）

x

－12＜0的解集为R，则实数

a

的取值范围

是（

）A.{

a

｜－1≤

a

＜2}B.{

a

｜－1＜

a

≤2}C.{

a

｜－1＜

a

＜2}D.{

a

｜－1≤

a

≤2}B

解析：当

a

＝2时，原不等式为－12＜0满足解集为R；当

a

≠2时，根据题意得

a

－2＜0，且Δ＝16（

a

－2）2－4（

a

－2）×（－12）＜0，解得－1＜

a

＜2.综上，

a

的取值范围为{

a

｜－1＜

a

≤2}.故选B.

一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件

ax2＋

bx

＋

c

＞0

a

＞0，Δ＜0

ax2＋

bx

＋

c

≥0

a

＞0，Δ≤0

ax2＋

bx

＋

c

＜0

a

＜0，Δ＜0

ax2＋

bx

＋

c

≤0

a

＜0，Δ≤0提醒：当所给不等式二次项含有参数时注意对参数是否为0的讨论.

2.已知关于

x

的不等式

mx2＋

mx

＋1＞0恒成立，则

m

的取值范围为

.

答案：[0，4）

考点2

在给定区间上的恒成立问题【例2】

若对任意的

x

∈[－1，2]，都有

x2－2

x

＋

a

≤0（

a

为常数），则

a

的取值

范围是（

）A.（－∞，－3]B.（－∞，0]C.[1，＋∞）D.（－∞，1]

解得

a

≤－3，故选A.方法二

当

x

∈[－1，2]时，不等式

x2－2

x

＋

a

≤0恒成立等价于

a

≤－

x2＋2

x

恒成

立，则由题意，得

a

≤（－

x2＋2

x

）min（

x

∈[－1，2]）.而－

x2＋2

x

＝－（

x

－

1）2＋1，则当

x

＝－1时，（－

x2＋2

x

）min＝－3，所以

a

≤－3，故选A.

一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，解决的方法有两种：（1）讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题；（2）结合图象进行分类讨论，转为根的分布问题.

若对任意的

x

∈（0，＋∞），

x2－

mx

＋1＞0恒成立，则

m

的取值范围是

（

）A.（－2，2）B.（2，＋∞）C.（－∞，2）D.（－∞，2]

考点3

给定参数范围的恒成立问题【例3】

若

mx2－

mx

－1＜0对于

m

∈[1，2]恒成立，则实数

x

的取值范围为

.

解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，对于给定参数范围的恒成立问

题，一般是把参数看作变量，把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解

决问题.

已知

a

∈[－1，2]，不等式

x2＋（

a

－4）

x

＋4－2

a

＞0恒成立，则

x

的取值范围

为

.

解得

x

＜0或

x

＞3.答案：（－∞，0）∪（3，＋∞）

考点4

不等式能成立或有解问题【例4】

设

a

∈R，若关于

x

的不等式

x2－

ax

＋1≥0在区间[1，2]上有解，则

（

）A.

a

≤2B.

a

≥2

解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即

a

＞

f

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