2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+　等比数列的概念与通项公式

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第一课时等比数列的概念与通项公式[目标导航]课标要求1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题3.会判断和证明一个数列是等比数列新知导学·素养启迪新知梳理1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于

,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的

,公比通常用字母q表示(显然q≠0).2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成

,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab.同一个常数公比等比数列3.等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则通项公式为an=

.4.等比数列与指数函数的关系a1qn-1kaa(1)等比数列的定义①“从第2项起”,也就是说等比数列中至少含有三项.②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”.③常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.(3)通项公式的推广等比数列{an}的第m项为am,则an=am·qn-m.小试身手1.下面有四个结论:①由第1项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列;②常数列b,…,b一定为等比数列;③等比数列{an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;④等比数列中,各项与公比都不能为零.其中正确的结论是

.

③④解析:①错误,当乘的常数为零时,不是等比数列;②错误,b=0时,不是等比数列;③④正确.±13.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则公比q=

,a3=

.

2解析:因为a1=1,a4=8,所以q3=8,解得q=2.所以a3=1×22=4.44.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7=

.

-729解析:a4=a1q3=a1(-3)3=27,故a1=-1,a7=a1q6=-1×(-3)6=-729.课堂探究·素养培育等比数列的通项公式探究角度1基本量运算[例1]

在等比数列{an}中.(1)a1=1,a4=8,求an;解:(1)因为a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.(2)an=625,n=4,q=5,求a1.即时训练1-1:在等比数列{an}中,它的前三项分别为5,-15,45,求a5.与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式an=a1qn-1(a1q≠0)中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果.探究角度2灵活设元解决等比数列问题[例2]

(1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是

.

45(2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.即时训练2-1:设四个实数依次成等比数列,其积为210,中间两项的和是4,求这四个数.几个数成等比数列的设法等比中项A(2)(多选题)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(

)A.b=3

B.b=-3C.ac=9

D.ac=-9BC解析:(2)由题意得b2=ac,a2=-b>0,c2=-9b>0,故b4=9b2,b=-3,ac=b2=9.故选BC.即时训练3-1:等比数列{an}的前三项之和为168,a2-a5=42,求a5与a7的等比中项.(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).等比数列的判定与证明判断一个数列{an}是等比数列的方法(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.当堂即练·素养达成1.下列数列为等比数列的是(

)A.2,22,3×22,…

当堂即练B解析:A,C,D不是等比数列,A中不满足定义,C,D中项可为0,不符合定义.C3.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项等于(

)A.-24

B.0C.12

D.24A解析:由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第4项为-24.4.已知三个数成等比数列,其积为512.若第一个数与第三个数各减去2,此时的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于

.

2