2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册+第六章+分类加法计数原理与分步乘法计数原理

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第六章计数原理[目标导航]课标要求1.通过实例,了解分类加法计数原理及其意义2.通过实例,了解分步乘法计数原理及其意义新知导学·素养启迪新知梳理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.m+nm×n小试身手1.某人去有四个门的商场购物,若进出商场不同门,则不同的进出方案有

种.

2.点Q(x,y)中,x∈{1,2},y∈{2,3,4},则不在直线y=x上的点Q(x,y)的个数是

.

1253.某校高一有6个班,高二有7个班,高三有8个班.现选一个班的学生参加社会实践活动,则有不同的选法

种.

4.60的正约数有

个.

2112课堂探究·素养培育[例1](1)从高三年级的四个班中共抽出22人,其中(1)(2)(3)(4)班分别为4人、5人、6人、7人,他们自愿组成数学课外小组,选其中一人为组长,有多少种不同的选法?分类加法计数原理解:(1)分四类:从(1)班中选一人,有4种选法;从(2)班中选一人,有5种选法;从(3)班中选一人,有6种选法;从(4)班中选一人,有7种选法.共有不同选法N=4+5+6+7=22(种).(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?解:(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个,由分类加法计数原理知,满足条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).利用分类加法计数原理计数时的解题步骤(1)分类:将完成这件事的方法分成若干类;(2)计数:求出每一类的方法数;(3)结论:将每一类的方法数相加得出结果.A解析:因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n,以m的值为标准分类,可分为四类:第一类,m=5时,使m>n,n有4种选择;第二类,m=4时,使m>n,n有3种选择;第三类,m=3时,使m>n,n有2种选择;第四类,m=2时,使m>n,n有1种选择.故符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10(个).故选A.使用分类加法计数原理遵循的原则:确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法是不同的方法.有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.分步乘法计数原理[例2]

有6名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有多少种不同的报名方法?解:每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,分三个步骤完成:第一步,第一个项目选人有6种选法;第二步,第二个项目选人有5种选法;第三步,第三个项目选人有4种选法.根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).利用分步乘法计数原理计数时的解题步骤(1)分步:将完成这件事的过程分成若干步;(2)计数:求出每一步的方法数;(3)结论:将每一步中的方法数相乘得出最终结果.变式训练2-1:本例中,若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解:每人都可以从这三个智力项目中选报一项,各有3种不同的报名方法.根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=729(种).变式训练2-2:本例中,若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每项限报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?解:每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这6人中选出一人参赛.根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63=216(种).(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.(2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.各步骤之间既不能重复也不能遗漏.两个计数原理的综合应用[例3]某地将举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动,当地电视台准备派出甲、乙等4名记者进行采访报道,工作过程中的任务划分为“摄像”“采访”“剪辑”三项工作,每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作,其余两人三项工作都能胜任,则不同安排方案的种数是

.

14解析:若参与“剪辑”工作的有1人,则不同的分配方法数为2×(23-2)=12;若参与“剪辑”工作的有2人,则不同的分配方法数为2种.综上所述,不同安排方案的种数是12+2=14(种).利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.即时训练3-1:有一项活动,需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加.(1)若只需一人参加,有多少种不同的选法?解:(1)有三类:3名老师中选一人,有3种方法;8名男同学中选一人,有8种方法;5名女同学中选一人,有5种方法.由分类加法计数原理知,有3+8+5=16(种)选法.(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法?解:(2)分三步:第一步选老师,有3种方法;第二步选男同学,有8种方法;第三步选女同学,有5种方法.由分步乘法计数原理知,共有3×8×5=120(种)选法.(3)若需1名老师、1名同学参加,有多少种不同的选法?解:(3)可分两类,每一类又分两步.第一类,选一名老师再选一名男同学,有3×8=24(种)选法;第二类,选一名老师再选一名女同学,共有3×5=15(种)选法.由分类加法计数原理知,共有24+15=39(种)选法.解两个计数原理的综合应用题时,最容易出现不知道应用哪个原理来解题的情况,其思维障碍在于不能正确区分该问题是“分类”还是“分步”,突破方法在于认真审题,明确“完成一件事”的含义.将问题中的条件细化、化繁为简.利用计数原理解决与涂色有关的问题[典例]如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D

中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有(

)A.72种 B.48种C.24种 D.12种A解析:法一首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4×3×2×3=72(种)涂法.故选A.法二按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法.所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).故选A.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.素养演练1:将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,若只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法有(

)A.48种 B.72种C.96种 D.108种B解析:如图所示,若点B与D处所染颜色相同,则不同的染色方法有4×3×2×2=48(种);若点B与D处所染颜色不相同,则不同的染色方法有4×3×2×1×1=24(种).由分类加法计数原理可知,不同的染色方法有48+24=72(种).故选B.素养演练2:如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法共有(

)A.24种 B.48种C.72种 D.96种C解析:区域ABECD涂法432(与A同色)12(与A不同色)11所以不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2+1)=72(种),故选C.当堂即练·素养达成1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数的个数是(

)A.30 B.42 C.36 D.35当堂即练C解析:因为a+bi为虚数,所以b≠0,即b有6种取法,a有6种取法.由分步乘法计数原理知,可以组成6×6=36(个)虚数.故选C.2.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座,每名同学可自由选择,则不同的选择种数是(

)A.54 B.5×4×3×2C.45 D.5×4C解析:由分步乘法计数原理,可得不同的选择种数是45.故选C.3.用1,2,3这3个数字可以组成没有重复数字的整数的个数为

.

15解析:分三