材料力学（II） 课件 第4章 压杆稳定问题的进一步研究

1第4章压杆稳定问题的进一步研究§4-2大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩计算§4-1几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式§4-4其他弹性稳定问题简介§4-3纵横弯曲2§4-1几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式Ⅰ.杆端弹性支承的细长压杆

图a所示刚架，在临界力Fcr作用下其挠曲线如图中虚线所示。AB杆的A、B端的转动分别受到AC、BD杆的弹性约束。可将AB杆视为两端均为弹性固定端的压杆(图b)。弹簧的刚度系数分别为kA

、kB

。(b)3

压杆在图c所示的微弯状态下保持平衡。杆端的反力偶矩为(a)

式中，MA>0,MB>0，

>0，

<0。由平衡条件得杆端的水平支反力为(MB-MA)/l

，其指向如图c所示。(b)(c)4弯矩方程为挠曲线的近似微分方程为令，得(c)(d)式的通解为(b)(d)(e)5利用位移边界条件它将大于两端铰支压杆的临界力，而小于两端固定压杆的临界力，即0.5<

m

<1。例如：(e)可以得出6求图a所示刚架中AB杆的临界力。FcrABlEIEIlC(a)dA’FcrFcrABlx(b)dA'’MBww’xy

解：刚架在Fcr

作用下挠曲线如图a中虚线所示。AB杆可视为A为自由端，B为弹性固定端的压杆（图b），B端的反力偶矩MB=Fcrd0由图c得lCBMBθB(c)例题4-1(a)7弯矩方程为挠曲线的近似微分方程为(a)(b)(c)例题lCBMBθB(c)FcrFcrABlx(b)dA'’MBww’xy8(d)式的通解及其一阶导数分别为由x=0

，w=0，得(d)(f)(e)(g)令，得例题9

x=0，w′=θB，得将(g)、(h)式代入(e)式，得又由于故(h)(i)例题FcrFcrABlx(b)dA'’MBww’xy10化简上式，得(j)解此超越方程，得kl

的最小正根为由x=l，

w=d，得

压杆的长度因数m

=2.63>2，即该压杆的临界力小于一端自由，另一端固定的压杆的临界力。临界力为例题11Ⅱ.阶梯状细长压杆的临界力

由于阶梯状压杆各段的EI不同，必须分段列挠曲线的近似微分方程，这样就增加了待定常数的个数，必须综合利用位移边界条件和位移连续条件，才能解得临界力Fcr

。

图a所示压杆，在图b所示微弯状态下保持平衡。由于压杆的受力、约束、杆长、弯曲刚度均是关于C截面为对称的，所以挠曲线也是关于C截面为对称的。12AD（0≤x≤l/4）段挠曲线的近似微分方程为弯矩方程为故只需对AD和DC段分别列挠曲线的近似微分方程。(c)(b)令，(b)式成为(a)13DC（l/4≤x≤l/2）段挠曲线的近似微分方程为(e)

分别求解(c)和(e)式，并利用x=0,w1=0;x=l/4，w1=w2;;x=l/2，

=0，可解得(d)令，(d)式成为14

可见，该压杆的临界力比弯曲刚度为EI的等截面压杆的临界力()，增大了68%，而压杆材料仅仅增加了50%。可见采用变截面压杆较为节省材料。这是因为压杆两端附近的弯矩较小，中间部分的弯矩较大，把两端附近的部分材料移到中间部分，压杆不易变弯，从而增大了临界力。15两端铰支细长压杆16§4-2大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩计算图示偏心受压杆的弯矩为▲

当Fw<<Fe时杆的最大压应力为这种杆称为大刚度（小柔度）杆。(a)M(x)≈Fe17

当Fw不能忽略时，就不能利用叠加原理，这种杆称为小刚度（大柔度）杆。挠曲线的近似微分方程为(b)通解为令，得(d)(e)18将(f)式代入(e)式，得(g)(4-4)x=l/2时(4-5)x=l，

w=0，得(f)

由x=0，

w=0得，B=e19由(4-4)、(4-5)、(4-6)式可见：式中，Ⅰ.d、Mmax、s

cmax和F均不成线性关系（几何非线性）。计算时不能用叠加原理。(4-6)Ⅱ.若EIz非常大时，→0，→1，则d→0，20即对弯曲刚度很大的压杆，当其受偏心压力作用时，可用叠加原理进行计算。III.设e=e1、e=e2、e=e3，且e1<e2<e3。由

(i=1,2,3)可画出一组F-d曲线(如图)。(1)，若e≠0，当→∞时，d

→∞。此时，由

得，

21(2)随e值减小，

F-d曲线逐渐靠近OF轴。e→0时，F-d

曲线→OAB

。可见，e≠0时，F-δ曲线以为水平渐进线。时，d=0；时，d为任意值。22Ⅳ.e≠0，时，d

→∞。这是因为以上是用线弹性公式进行分析的。实际上，当d

达到一定值时，x=l/2的横截面上的大部分区域产生塑性变形，而发生弯折(图中虚线)。可把d

→∞理解为d迅速增加，力实际压杆临界力的上限值。23§4-3纵横弯曲图示大柔度杆的弯矩方程为

可见，M(x)是由横向力q和纵向力F共同产生的，杆的弯曲变形也是由q和F共同作用而引起的——纵横弯曲。(a)Fql/2xFM(x)wq24(b)挠曲线的近似微分方程为令，(b)式成为(c)其通解为(d)Fql/2xFM(x)wq25

由x=0,w=0

和

x=l,w=0，求出A、B常数，代入(d)式，并利用参数u=k

l/2，进行化简，得将x=l/2代入(e)式，并利用k=2u/l

化简，得(e)(4-7)令，(4-7)式成为26式中，为由q产生的挠度，h(u)为F对d的影响。可见d与q仍为线性关系，d

与F为非线性关系。

在

x=l/2处，弯矩最大，其值为(4-8)27式中，为q产生的弯矩，l(u)为F对弯矩的影响。Mmax和q成线性关系，和F成非线性关系。影响系数h(u)和l(u)可查表（铁摩辛柯弹性稳定中译本，P561,表A-2）最大压应力为近似解:令，得到28u→p/2时，secu→∞,由(4-7)式得d→∞，杆在xy平面内失稳。u→0（F→0

）时当时,29所以因为因为，级数所以30

可见F不仅产生轴向压力，也使弯曲正应力增加。用能量方法，也可求得近似解[见杜庆华编材料力学（下）]。31§4-4其他弹性稳定问题简介

在分析压杆的稳定性时，把压杆抽象成为中心受压直杆，压杆只有轴向压缩变形，为了检验压杆直线状态下的平衡是否是稳定平衡，必须加横向干扰力。实际压杆可能会有微小的初曲率，荷载有可能有偶然偏心以及材质不均匀等因素，使压杆除产生压缩变形外，还产生附加的弯曲变形。

为了便于分析，把以上产生弯曲变形的诸因素统一用微小偏心距e来表示，把压杆的计算模型取为如图所示的偏心压缩。32

在§4-2曾得到，由此可见，随F增加d

增加，但d

增加比F增加得快。当时，d

迅速增加，压杆丧失工作能力，该力也是压杆失稳时的临界力。F较小时轴向压缩弯曲——主要变形——次要变形33

压杆失稳是抽象的概念，其实质是随压力的增加，次要变形（弯曲）转化为主要变形，压力达到临界值时，弯曲变形迅速增加，压杆丧失工作能力。按照这种思路也便于理解其它构件的弹性稳定问题。Ⅰ.狭长矩形截面梁的弹性稳定

构件的失稳只有在特定的受力形式下才会发生，例如，具有微小偏心距的受拉杆，随拉力的增加弯曲变形将逐渐减小，不会出现失稳现象。34F力可能偏离y轴微小角度j，故(在xy平面内弯曲)，(在xz平面内弯曲)，图中未示出j角。F力可能偏离形心O微小距离e

，故，产生扭转。35

由于，GIt也较小。当F=Fcr时，在xz平面内的弯曲和扭转变形迅速增加，梁丧失工作能力。这也是梁丧失了在xy平面内平衡的稳定性。Ⅱ.薄平板的弹性稳定

图示为四边简支的矩形薄板，两端受均匀分布的压力作用。F较小时在xy

平面内弯曲在xz平面