苏教版小学数学五年级上册“最值问题”单元教学设计

苏教版小学数学五年级上册“最值问题”单元教学设计  一、教学背景分析  【基础】“最值问题”是小学数学中一颗璀璨的明珠，它并非独立的知识点，而是综合运用已有数学知识，在变化、纷繁的条件中寻求“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等极端结果的一类问题。它紧密联系学生的生活实际，如规划路线、分配物品、设计最优方案等。对于五年级学生而言，他们已经掌握了整数、小数四则运算，初步认识了周长、面积等几何概念，具备了一定的逻辑推理能力。本课正是在此基础上，引导学生经历“问题情境——建立模型——求解验证——解释应用”的过程，初步感悟优化思想和极端化原理，培养思维的严谨性、灵活性和创造性，为后续学习更复杂的统筹规划、概率统计等奠定坚实基础。本节课从教材体系看，是苏教版五年级上册综合与实践领域的重要拓展，承载着发展学生高阶思维的功能。  二、教学内容与学情分析  【重要】教学内容聚焦于“和一定时积的最大值问题”以及“积一定时和的最小值问题”这两类典型且基础的最值问题，并在此基础上拓展至简单的“操作策略”最值问题。通过对这两类核心模型的研究，使学生掌握解决最值问题的基本策略——枚举、比较、猜想、验证，并初步感悟到“极值点”的特殊性。学情分析显示，五年级学生思维活跃，好奇心和探究欲强，具备一定的独立思考和合作交流能力。他们能够理解“一定”和“变化”的关系，但对于“变化中蕴含的规律”往往缺乏深刻的洞察力。例如，他们知道两个数相加和不变，但其中一个数变大另一个数就会变小，却未必能自发探究这两个数的乘积何时最大。这正是本课需要搭建的脚手架——引导学生从无序的尝试走向有序的思考，从感性的观察走向理性的分析。  三、教学目标设计  基于对课程标准和学情的把握，本课的教学目标设定如下：  1.知识与技能目标：学生能在具体情境中理解“最值问题”的含义，掌握“和一定，差小积大”以及“积一定，差小和小”的基本规律，并能运用这些规律解决一些简单的实际问题。  2.过程与方法目标：学生通过自主探索、合作交流，经历观察、比较、猜想、验证、归纳等数学活动，初步体会枚举、构造、数形结合等数学思想方法，发展逻辑推理能力和模型意识。  3.情感态度与价值观目标：学生在探索最值规律的过程中，感受数学的奇妙与严谨，体验成功的乐趣，增强学好数学的信心，并初步形成用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界的意识。  四、【核心概念】最值问题的本质探寻  【非常重要】最值问题的核心是“变量中的不变量”与“变化规律”。通俗地讲，就是给定一些固定的条件（如总长度固定、总数量固定、总钱数固定），去寻求某个结果（如面积、个数、长度）的极限状态。理解这个本质，是解决所有最值问题的钥匙。我们不是漫无目的地尝试，而是要在变化中找到那个“最好”的平衡点。本课将引领学生深刻体会，看似杂乱无章的数字背后，往往隐藏着简洁而优美的数学规律。  五、【高频考点】与【教学难点】的精准定位  1.【高频考点】    （1）和一定，求积的最大值：例如，“用一根20米长的篱笆围成一个长方形鸡舍（长和宽都是整米数），怎样围面积最大？”    （2）积一定，求和的最小值：例如，“一个长方形的面积是36平方厘米，长和宽都是整厘米数，它的周长最小是多少？”    （3）通过操作策略获得最值：例如，“有47颗糖，两人轮流取，每次取15颗，谁取到最后一颗谁获胜，怎样保证获胜？”  2.【教学难点】    （1）【难点】规律的探究与归纳：学生容易发现具体例子中的结果，但很难从具体例子中抽象出一般性的规律，并用清晰、简洁的语言表达出来。例如，从几组数据的比较中归纳出“和一定，两数越接近，积越大”。    （2）【难点】分类讨论与有序思考：在枚举所有可能性时，如何做到不重复、不遗漏，是学生思维条理性的体现，也是解题的关键。    （3）【难点】模型的有效迁移：当问题情境发生变化，不再是简单的两个数相加或相乘时，学生能否识别出问题背后的数学模型，并灵活运用所学规律解决。  六、教学准备  教师准备：多媒体课件（PPT14张，设计包含动画演示、互动环节）、探究学习单（每人一份）、若干长度固定的小棒模型。  学生准备：铅笔、直尺、练习本。  七、【核心环节】教学实施过程（详细设计）  （一）创设情境，激趣导入（预计用时5分钟）  【PPT1：封面页】呈现课题：“探寻最佳答案——最值问题”。背景图是一个热闹的集市和一位小朋友在思考的画面，营造生活与数学相融合的氛围。  师：同学们，生活中我们常常会遇到“怎样做最好”、“怎样安排最省”、“怎样设计最大”的问题。今天，我们就化身“小小优化师”，一起去探寻变化世界里的最佳答案。（板书课题：探寻最佳答案——最值问题）  【PPT2：情境呈现】播放一段微动画：小明的妈妈去集市买西瓜。有两个摊位，第一个摊位说：“我的西瓜个大，每个10元，但固定大小。”第二个摊位说：“我的西瓜论米卖，你可以用一根20米长的绳子围成一块长方形的地，地里种的西瓜全归你。绳子长度固定，围成的形状可以自己选。”小明和妈妈犯了难，怎样围才能得到最大的地，种最多的西瓜呢？  师：同学们，如果你是小小优化师，你会给小明妈妈出什么主意？这里的关键问题是什么？  生1：关键是绳子长度是固定的，就是20米。  生2：长方形地的周长固定了，但长和宽可以变，面积就不一样。  师：说得太好了！周长固定，长和宽可以变化，面积也随之变化。我们就是要找到那个使面积最大的围法。这就涉及到我们今天要研究的第一类最值问题——和一定（周长相当于长与宽和的2倍，所以长与宽的和是一定的），求积（面积）的最大值。  （二）自主探究，发现规律（预计用时15分钟）  【PPT3：问题聚焦】用一根长20米的篱笆围成一个长方形（长和宽取整米数），怎样围面积最大？最大面积是多少？  师：为了便于研究，我们先限定长和宽都是整米数。请同学们以小组为单位，利用学习单上的表格，尝试把所有可能的长和宽都列举出来，并计算出对应的面积。比比看，哪个小组能最快、最全地找到答案。  【学习单设计】表格包含列：长（米）、宽（米）、长+宽（米）、面积（平方米）。  【基础】学生分组合作，教师巡视指导，重点关注学生是否有序思考，有无遗漏。引导学生思考：已知周长20米，那么长+宽=10米。  【PPT4：汇报展示，提炼规律】请不同小组的代表上台，通过实物投影展示并汇报自己的探究结果。教师根据学生汇报，在课件上动态生成完整表格。  【PPT动态演示】    长（米）：9 8 7 6 5 4 3 2 1    宽（米）：1 2 3 4 5 6 7 8 9    面积（平方米）：9 16 21 24 25 24 21 16 9  师：观察这个表格，你发现了什么？  生3：我发现长和宽变化的时候，面积也跟着变。  生4：我发现了，面积不是一直变大或一直变小，它先变大，后变小。  师：真善于观察！那什么时候面积最大？  生（齐）：当长和宽都是5米的时候，面积最大，是25平方米。  师：5米和5米，它们是什么关系？  生5：相等，是正方形。  师：同学们再仔细看看，当长和宽不相等的时候，它们之间有什么特点？比如长8宽2，长9宽1，它们相差多少？面积又是多少？  生6：8和2相差6，面积16；9和1相差8，面积9。我发现两个数相差越大，面积越小。  师：太精彩了！你总结出了一个非常重要的规律。那和这个规律相反的，是不是就是……  生（齐）：两个数相差越小，面积越大。  师：非常棒！当它们的差等于0，也就是两个数相等时，面积达到最大。  【PPT5：核心规律总结】动态出示规律：“当两个数的和一定时，它们的差越小，积越大；当两个数相等时，积最大。”同时，板书这一核心结论。【非常重要】  师：这个规律不仅适用于整数，也适用于小数和分数。它有一个好记的名字，叫“和定差小积大”。  （三）变式练习，深化理解（预计用时8分钟）  【PPT6：变式一】现在，我们稍微改变一下条件。还是这根20米长的篱笆，但要围成一个长方形鸡舍，其中一面靠墙（墙足够长）。此时，怎样围才能使围成的长方形面积最大？（长和宽取整米数）  师：这个问题和刚才有什么不同？什么是“一定”的？  生7：现在篱笆只围三面，所以长+宽×2=20米（假设靠墙的一边是长），这里的“和一定”不是长+宽了，而是长+2宽的和是20米。  师：分析得完全正确！那我们现在还能直接套用“差小积大”的规律吗？为什么？  生8：不能，因为现在两个相乘的因数是长和宽，但它们的和不是固定的。我们需要重新思考。  师：很好，这正是思维的难点所在。请小组合作，尝试用列举法解决这个问题。  【PPT7：变式一解析】小组汇报后，教师引导并动态展示枚举过程和结果。假设宽为1、2、3……米，计算长和面积。    宽（米）：1 2 3 4 5 6 7 8 9（因为长=202宽，必须为正整数）    长（米）： 6 4 2    面积（平方米）：18 32 42 48 50 48 42 32 18  师：现在面积最大是多少？此时长和宽是多少？  生9：当宽是5米，长是10米时，面积最大，是50平方米。此时长是宽的2倍。  师：观察这个特例，你有什么新的发现？如果把长看作“长”，宽看作“宽”，那么长+2宽的和固定是20米，当长和2宽最接近时，即长与2宽相等时，它们的乘积（长×宽）会怎样？  引导学生发现：因为面积=长×宽=(2宽)×宽/2。设2宽为x，则长=x，x+2宽=x+x=2x=20，所以x=10，宽=5，面积=50。本质上还是“和一定（长与2宽的和），差小积大”，这里的“积”是长与2宽的积，再除以2才是面积。所以长与2宽相等时，它们的积最大，面积也最大。  【难点突破】此环节旨在引导学生对原模型进行灵活变通，理解“和一定”的对象可以是题目中隐含的关联量，如本题中的“长”和“2宽”。  （四）逆向思考，探究新模型（预计用时10分钟）  【PPT8：情境转换】刚才我们研究了“围最大面积”，现在我们来研究另一个问题。学校要用一些长方形花圃来摆造型，每个花圃的面积都是36平方米，长和宽都是整米数。那么，哪个花圃需要的护栏最少？  师：这个问题实际上是要我们求什么？  生10：周长最小。因为护栏最少就是周长最小。  师：面积固定，长和宽可以变化，但长×宽=36平方米。这就是“积一定”的情况。请同学们再次利用学习单，列举出所有可能的长和宽，并计算出对应的周长。  【PPT9：汇报展示，提炼规律】学生分组探究后汇报，教师展示。  长（米）：  宽（米）：1 2 3 4 6  周长（米）：74 40 30 26 24  师：观察这些数据，你又发现了什么规律？  生11：长和宽越接近，周长越小。  师：当它们相等，也就是正方形时，周长最小吗？  生12：这里长和宽都是6米，是正方形，周长24米，是最小的。  师：非常棒！和“和一定”的规律相对应，我们得到了一个新的规律——“积一定，差小和小”。当两个数的乘积固定时，它们的差越小，和也越小；当两个数相等时，它们的和最小。（板书此规律）【高频考点】  （五）模型应用，解决问题（预计用时5分钟）  【PPT10：应用练习一】两个自然数的和是15，这两个数的乘积最大是多少？最小是多少？  【基础】学生独立完成，指名回答。强调：和一定，差最小（相等或最接近）时积最大，差最大时积最小。最大：7×8=56；最小：1×14=14。  【PPT11：应用练习二】用一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸，剪成若干个面积相等且尽可能大的正方形，纸没有剩余。正方形的边长最大是多少厘米？  【难点】这个问题看似和最值无关，但实质是求20和16的最大公因数，也是寻找一个数（边长）尽可能大，且能同时整除20和16，这也是最值思想的一种体现。教师引导学生理解“最大”的含义。  【PPT12：拓展与挑战】有47颗糖，小明和小红两人轮流取，每次取15颗，谁取到最后一颗谁获胜。小明想保证获胜，他应该先取还是后取？第一次取多少颗？  【热点】这是一个典型的博弈类最值问题。引导学生分析：要取到最后一颗，必须留给对手6颗（因为每次最多取5颗，这样无论对手取几颗，自己都能一次取完）。以此类推，留给对手的颗数必须是6的倍数。47÷6=7……5，所以要想获胜，应该先取，第一次取走5颗，使剩余颗数为6的倍数，之后每次取的颗数与对手取的颗数之和为6即可。此环节旨在开阔学生视野，体会最值问题的广泛应用。  （六）课堂总结，反思提升（预计用时2分钟）  【PPT13：知识树】以知识树的形式，将本节课学习的两个核心规律“和定差小积大”与“积定差小和小”以及“枚举法”、“构造法”等思想方法进行系统梳理。  师：同学们，今天这节课我们当了一回成功的“优化师”。谁能分享一下，你有哪些收获和体会？  生13：我学会了“和一定，差越小，积越大”的规律。  生14：我知道了遇到最值问题，可以先列举所有可能，再观察找规律。  生15：我觉得数学很奇妙，看起来差不多的问题，规律是相反的。  师：大家的收获真多！最值问题就像一座宝藏，今天我们只是打开了它的一扇门。在生活中，在未来的数学学习中，我们还会遇到更多、更复杂的最值问题，希望同学们能带着今天学到的思想和方法，去不断探索、不断发现，找到属于你自己的“最佳答案”。  七、板书设计    探寻最佳答案——最值问题    【核心模型】    1.和一定（长+宽=10米）      枚举：9+1=10→9×1=9        8+2=10→8×2=16        7+3=10→7×3=21        6+4=10→6×4=24        5+5=10→5×5=25      【规律】差越小，积越大→相等时积最大