信号分析与处理(第3版) 课件 第3章3.2.2DFS

信号分析与处理SignalAnalysisandProcessing

第3章

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换主

要

内

容1、连续时间信号的傅里叶变换2、离散傅里叶变换及性质第3章DFT和FFT2.1、序列的傅里叶变换2.2、离散傅里叶变换2.3、离散傅里叶变换的性质2.4、DFT在应用中的问题

时域频域连续非周期

非周期连续傅里叶变换（FT）连续周期

非周期离散 傅里叶级数（FS)离散非周期

周期连续

序列的傅里叶变换（DTFT)傅里叶变换形式前节内容回顾DTFT的性质灵活运用！DTFT：1、x(n)的傅里叶变换为

，请求出下列序列的傅里叶变换：（1）

（2）2、已知n=[-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7]，x(n)=[-1，0，1，2，1，0，1，2，1，0，-1]；已知x(n)的傅里叶变换为

，请完成下列计算：（1）（2）作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本解：答案解析主观题100分1.已知x(n)={-1，0，1，2，1，0，1，2，1，0，-1}，-3≤n≤7；已知x(n)的傅里叶变换为X(ejω)，则=（

）2π6π20π28πABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为D利用DTFT的性质：Pasavel定理答案解析单选题10分时域：连续、周期频域：非周期、离散连续周期信号：FS连续非周期信号：FT时域：连续、非周期频域：非周期、连续离散非周期序列：DTFTx(nT)T-T0T2Tt0------时域：离散、非周期频域：周期、连续

但是，这三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。 因此，我们感兴趣的是时域和频域都是离散的情况。

时域频域离散周期周期离散离散傅里叶级数傅里叶变换形式我们先从周期性序列的离散傅里叶级数(DFS)开始讨论，然后再讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。周期序列DFS定义设

为周期为N的周期序列，则其离散傅里叶级数(DFS)变换对：

正变换反变换

其中：周期序列：DFS非周期信号x(n)，其DTFT(单位圆上Z变换)为周期连续频谱密度函数，对其进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为：

得到频间距为：代入DTFT式子中得：推导正变换证明：已知

两边同乘以，并对一个周期求和用n置换r得DFS反变换正交定理用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理有实用价值。但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。DFS的推导意义x(t)经过抽样为x(nT)，对离散的时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS。x(t)t取样x(t)tDTFTX(ejΩT)Ω采样X(ejw)w①由非周期连续时间信号推出DFS1次时域采样1次频域采样周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。X(ejw)w采样x(t)t②由周期连续时间信号推出DFS1次时域采样非周期离散时间信号经过序列付里时变换(即单位圆上的Z变换)DTFT，得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。x(t)tΩX(ejΩT)wX(ejw)DTFT采样③由非周期离散时间信号推出DFS1次频域采样在计算机上实现信号的频谱分析要求：时域和频域都是离散的；时域和频域都是有限长的。

FT，FS，DTFT，DFS都不符合要求，但是，利用DFS时域和频域的周期性，各取一个周期就形成新的变换对。为什么DFS过渡到DFT另一种表示其中表示对n取模N运算(或模N的余数)。则若x(n)是一个N点的有限长序列周期序列与主值序列的关系举例：设周期为N=6。则有周期序列和求余运算：

这是因为：(19=3×6+1)

同理这是因为：(-2=-1×6+4)

同样：X(k)也是一个N点的有限长序列

有限长序列和周期序列其中：DFT的定义频域周期序列

与有限长序列周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列，这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。DFT的定义把时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓；把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓；这样我们只要把DFS的定义式两边取主值区间，就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对。这就是数字信号处理里最重要的变换——离散傅里叶变换(DFT)。DFT的定义DFT的图形解释FTDTFTDFS正变换反变换

X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。

注意：在离散傅里叶变换关系中，有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示，都隐含有周期性意义。DFT公式Z变换DTFT是单位圆上的Z变换各种变换之间的关系勤于动脑，善于思考，勇于探索，敢于创造DTFTDFTDFT是DTFT在单位圆上的N点等间隔采样

Z变换、DTFT、DFT的取值范围

z变换与DFT的关系（抽样z变换），在此基础上引出抽样z变换的概念，并进一步深入讨论频域抽样不失真条件。频域抽样理论（频域抽样不失真条件）频域内插公式频域采样定理与内插公式连续傅里叶变换引出离散傅里叶变换定义式。离散傅里叶变换看作是序列的傅里叶变换在频域再抽样后的变换对。在Z变换中，又可了解到序列的傅里叶变换就是单位圆上的Z变换。所以对序列的傅里叶变换进行频域抽样时，自然可以看作是对单位圆上的Z变换进行抽样。

z变换与DFT的关系Z变换的定义式(正变换)重写如下:取z=ejw

代入定义式，得到单位圆上Z变换为

DFT正变换再进行抽样——N等分。这样w=2kπ/N，即w值为0,2π/N,4π/N,6π/N…,考虑到x(n)是N点有限长序列,因而n只需0~N-1即可。将w=2kπ/N代入并改变上下限,得推导从以上推导中可看出，有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)序列的各点值等于对x(n)进行Z变换后在单位圆上N等分抽样的各点处所得的Z变换值,即这就是Z变换与DFT的关系。结论问题由Z变换与DFT的关系：x(n)的离散傅里叶变换X(k)序列值和x(n)的Z变换在单位圆N个等分点上的抽样值相等,这就是实现了频域的抽样。是否任何一序列(或说任何一个频率特性)都能用频域抽样的办法去逼近呢?其限制条件是什么?频域抽样定理将x(n)的频域函数

，按每周期N点抽样，得到一周期序列，再反变换回时域，得到变换结果，是一周期延拓的序列，且与原序列x(n)有如下关系频域按每周期N点抽样，时域便按N点周期延拓。频域抽样时域周期延拓分析长度为M的有限长序列，频域抽样不失真的条件：频域抽样点数N要大于或等于序列长度M，即满足N≥M。此时可得到长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示。结论从频域抽样不失真条件可以知道：N个频域抽样X(k)能不失真的还原出长度为N的有限长序列x(n)。那么用N个X(k)也一定能完整地表示出X(z)以及频率响应——即单位圆上的X(z)。过程很简单,先把N个X(k)作IDFT得到x(n),再把x(n)作Z变换便得到X(z)。频域内插公式频域响应的内插公式例：x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。设变换区间N=16，则：DFT的结果与N长度有关例题讲解解：设变换区间N=8，则：对同一序列x(n)：（1）DFT的变换区间长度N不同，变换结果不同。（2）当N足够大，|X(k)|的包络可逼近|X(ejω)|曲线。（3）|X(k)|表示ωk=(2π/N)k频点的幅度谱线。N=4长度为4的矩形窗序列的DTFTN=8N=12N=16N=20当N越大，DFT的包络线越逼近DTFT的曲线。MATLAB验证2、周期序列对应的频谱是()连续周期连续非周期离散周期离散非周期ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为C。一个域的连续对应另一个域的非周期,一个域的离散对应另一个域的周期。DFS:时域:周期离散,频域:离散周期答案解析单选题10分3、周期序列X(k)可以看成对x(n)的()个周期做Z变换，然后将Z变换在Z平面单位圆上按()间隔采样得到的。()N，2πN/2，π2，π/N1，2π/NABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为D。周期序列X(k)可以看成对x(n)的一个周期做Z变换,然后将Z变换在Z平面单位圆上按2π/N间隔采样得到的。答案解析单选题10分4、DFT的物理意义是：一个

的离散序列x(n)的离散付氏变换X(k)为x(n)的付氏变换

在区间[0,2π]上的

。()收敛；等间隔采样N点有限长；N点等间隔采样无限长；N点等间隔采样N点有限长；取值ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为B。DFT:答案解析单选题10分5、序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为(

)。2345ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为D。答案解析单选题10分6、已知x(n)=δ(n)，N点的DFT[x(n)]=X(k)，则X(5)=()。N10-NABCD提交可为此题