信号分析与处理(第3版) 课件 第3章3.2.4DFT在应用中的问题

第3章

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

3.2.4

DFT在应用中的问题一、教学内容DFT在应用中为什么会产生问题？二、DFT在应用中会产生哪些问题？三、产生这些问题的原因是什么？四、解决这些问题的措施有哪些？混叠现象、频谱泄露、栅栏效应在我们的宇宙中很多东西都在振动。例如，语音就是人类声带的振动；星星随着他们的公转和自转改变亮度；轮船推进器产生周期性的海水移动等等。这些信号在时域中的波形并不重要，关键信息其实是各个正弦成分的频率，相位和幅值。DFT就是用来提取这些信息的一个工具。问题导入

DFT在提取信息的过程中会不会有问题？例、某序列的频谱

，该序列的6点DFT中的X(3)=（

C

）。A.1/3B.1C.2/3D.3/2解：z变换、DTFT和DFT的关系

另一种思路：利用DFT的定义求解为什么结果不一样？问题导入

FT：知识回顾DTFT是单位圆上的z变换。DFS是DTFT单位圆上的N点等间隔采样。DFT是DFS的一个周期z变换：DTFT：DFSDFT：DFT对FT的近似：采样、截短用DFT实现对连续信号谱分析的过程DFT在应用中为什么会产生问题？采样截短采样卷积周期延拓周期延拓取一个周期周期延拓取一个周期X(k)是否为Xa(jΩ)的准确采样？为了能在数字计算机上分析连续信号的频谱，常常用DFT来逼近连续时间信号的傅里叶变换，但同时也产生以下问题：混叠现象频谱泄漏栅栏效应DFT在应用中会产生哪些问题？利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，要求满足采样定理，即奈奎斯特准则：

fs≥2fmax

其中fs为采样频率，fmax为信号最高频率。但此条件只规定出fs的下限为fmax，其上限要受采样间隔∆f的约束。采样间隔∆f即频率分辨力，它是记录长度的倒数，即Tp=1/∆f若采样点数为N，则采样间隔与fs的关系为：

∆f=fs/N≥2fmax/N1、混叠现象%对x(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)+sin(2πf3t)按不同分辨率进行采样f1=2;f2=2.02;f3=2.07;fs=10;%设置采样频率，大于2fm，不应发生混叠问题dt=1/fs;forN=128:128:512%将N=128递增到512Hz，其分辨率变小，观察频谱图n=0:N-1;x=sin(2*pi*f1*n*dt)+sin(2*pi*f2*n*dt)+sin(2*pi*f3*n*dt);y=fft(x,N);%傅里叶变换mag=2*abs(y)/N;%计算幅值f=n*fs/N;%fs/N为分辨率subplot(4,1,N/128);plot(f,mag);title(['N=',num2str(N),'；△f=',num2str(fs/N)]);xlabel('f/Hz');ylabel('X(e^jw)');axis([1.52.5-infinf]);end频率分辨率MATLAB验证采样点数N变大，频率分辨率△f变小，三个谱峰分开。P116例3.2.4@2019214042董磊由∆f=fs/N≥2fmax/N看出：在N给定时，为避免混叠失真而一味提高抽样频率fs，必然导致∆f增加，即频率分辨力下降；反之，若要提高频率分辨力即减小∆f，则导致减小fs，最终必须减小信号的高频容量。以上两点结论都是在记录长度内抽样点数N给定的条件下得到的。所以在高频容量fmax

与频率分辨力∆f参数中，保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的唯一办法，就是增加记录长度内的点数N，即

fmax

和∆f都给定时，则N必须满足N≥2fmax/∆f。这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本DFT算法所必须满足条件。混叠现象的结论辩证思维1、有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：

(1)频率分辨力≤10Hz(2)信号的最高频率≤4kHz试确定以下参量：

(1)最小记录长度Tp；(2)抽样点的最大时间间隔T；

(3)在一个记录中的最少点数N。作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题100分解：

(1)由分辨力的要求确定最小记录长度Tp。Tp=1/∆f=1/10=0.1(s)

故最小记录长度为0.1秒。

(2)从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T。

fs≥2fmax,T=1/fs≤1/2fmax=0.125×10-3(s)(3)最小记录点数N，它应满足

N≥2fmax/∆f=800

该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点。（因为N=29=512点不够）在实际中，要把观测的信号x(n)限制在一定的时间间隔之内，即采取截断数据的过程。

课堂讨论：设信号为x(n)=1/2π，经过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数前后的频谱函数。通过讨论，说一说为什么截断会产生频谱泄漏？2、频谱泄漏理论联系实际解：设信号经过矩形窗函数后的信号为x1(n)，矩形窗函数为w(n)，其频谱函数为X1(ejw)。

很明显：X1(ejw)≠X(ejw)，相当于X(ejw)失真，这种失真是由于X(ejw)的频谱泄漏引起，其现象为拖尾（扩展现象），称之为频谱泄漏。产生泄漏以w=0为中心的一根谱线。形状的连续谱线。即频谱成分从w=0处“泄漏”到其他频率处。时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数，使原连续时间函数成为两端突然截断，中间为原信号与窗函数相乘的结果。时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积。由于窗函数不可能取无限宽，即其频谱不可能为一冲激函数，信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾现象，造成频谱泄漏。频谱泄漏的原因由于我们无法取无数个点，所以在DFT时，时域的截断是必然的，因而泄漏也是必然存在的。为了减少频率泄漏可采用：适当加大窗口宽度，增加M值；采用适当形状的窗函数截断。频谱泄漏注意点频谱泄漏MATLAB验证矩形窗汉宁窗采用不同形状的窗函数截断，频谱泄漏情况不一样。例、某序列的频谱

，该序列的6点DFT中的X(3)=（

C

）。A.1/3B.1C.2/3D.3/2解：z变换、DTFT和DFT的关系

另一种思路：利用DFT的定义求解为什么结果不一样？例题讲解真实值：DFT：N=6DFT：N=12N取得越多，越接近真实值。加大窗口宽度，可以减少频谱泄漏。利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，其频谱将不再是连续函数而是基频F的整数倍。用DFT计算频谱，就如通过一个栅栏观看一个景色，只能在离散点的地方看到真实的景象，从而产生栅栏效应。如果在两离散的谱线间频谱有很大变化，不作特殊处理，则无法将其检测出来。3、栅栏效应减小栅栏效应的一个方法是在所取数据的末端加一些零值点，使一个周期内点数增加，但是不改变原有的记录数据。这种方法等效于加长了周期Tp。因公式∆f=1/Tp(∆f是抽样间隔)。Tp增加，抽样间隔变小，从而能保持原来频谱形式不变的情况下使谱线变密，也就使频谱抽样点数增加。

这样，原来看不到的频谱分量就有可能看到了。

减小栅栏效应的方法MATLAB验证：补零加长使谱线细化N=5N=10N=15N=20N=25补零加长、谱线细化长度为5的矩形窗序列的DTFT补加零点以改变周期时，所用窗函数宽度却不能变，亦即必须按数据记录原长来选择窗函数，而不能按补了零值点后的长度来选择窗函数。通俗地说，就是应先加窗，再补零。减小栅栏效应注意点2、利用离散傅里叶变换(DFT)来计算信号频谱时，时域的截断会造成()现象。频谱泄露时域混叠谱间干扰频谱混叠ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为A。频谱泄露是由截断引起的。答案解析答案解析答案解析答案解析单选题10分3、序列x(n)长度为M，当频率采样点数N<M时，由频率采样X(k)恢复原序列时会产生()现象。频谱泄露时域混叠谱间干扰频谱混叠ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为B。当频率采样点数N<M时,不满足采样定理，时域会发生混叠现象。答案解析答案解析答案解析答案解析单选题10分DFT应用中的问题现象原因改善措施混叠现象当fs<2fm时，采样信号的频谱中周期延拓分量相互重叠。离散采样引起的采样频率足够高，fs>>2fm。考虑频率分辨率

∆f=fs/N。频谱泄漏时域窗函数截断后，频谱发生了拖尾现象。时域截断引起的增加采样点数N或采用合适的窗函数。栅栏效应离散的频谱，仿佛透过“栅栏”看风景。离散采样引起的增加频域采样点数