信号分析与处理(第3版) 课件 第5章 随机信号分析

信号分析与处理SignalAnalysisandProcessing

第5章

随机信号分析主

要

内

容1、随机信号简介2、随机信号的相关分析3、随机信号的功率谱估计第5章

随机信号分析4、谱估计中的几个问题6、与本章内容有关的MATLAB函数5、平稳随机信号通过线性系统根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随机信号。接收机噪声波形研究随机信号的必要性确定性与随机性问题如果研究单次试验的结果，表现为确定性的形式；若关心平均特性，结果表现为随机或概率形式。彩票问题股票问题世界杯预测天气预报器件使用寿命出租车等待时间等随处可见的随机问题信源信宿噪声信道传输发送设备接收设备移动通信卫星通信通信系统模型信源发送设备例1：通信系统中的随机信号例2：雷达系统中的检测与估计内部噪声雷达干扰目标气象杂波地杂波影响雷达检测目标的因素Radar：RadioDetectionAndRanging目标回波是时间t或n的函数，没有明确的数学关系。样本无穷多，持续时间无穷长。对任一时刻t，

的集合构成一个随机变量，随着t的变化。

我们得到无穷多个随机变量。用描述随机变量的方法来描述随机信号。随机信号简介组成随机过程的样本函数总体随机信号描述均值：自相关函数：平稳随机过程均值和时间无关，是常数；自相关函数与时间的起点无关，只与两点的时间差有关。不同样本函数计算的均值、自相关函数都一样，则称此随机过程为各态遍历的。非平稳随机过程包括所有不满足平稳性要求的随机过程。非平稳随机过程的特性一般是随时间而变化的。

在自然界和实际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平稳信号分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分析的基础。平稳过程的所有样本曲线都在水平直线上下波动随机过程各态遍历性可以理解为：随机过程的各样本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态。因此从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随机过程的特性。随机信号小结1、设随机过程X(t)由下述三个样本函数组成，且等概率发生，有：

则X(t)为（

）。平稳随机过程各态遍历随机过程广义平稳随机过程非平稳随机过程ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为D。x(t)随着样本的不同，表达式与时间有关的不同函数。均值：自相关函数：均值和自相关函数不是常数，都随时间变化而变化，不是平稳随机过程。答案解析单选题10分主

要

内

容1、随机信号简介2、随机信号的相关分析3、随机信号的功率谱估计第5章

随机信号分析4、谱估计中的几个问题6、与本章内容有关的MATLAB函数5、平稳随机信号通过线性系统1.定义

一般随机信号概率密度均值：自相关：自相关函数及应用连续随机信号离散随机信号广义平稳随机信号各态遍历随机信号

均值与时间n无关，自相关函数与n1,n2的起点无关，而仅与它们的差值有关。单一样本时间平均单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历。P178例5.2.1P179例5.2.22.性质

性质1

若是实信号，t+τ←t

d(t+τ)=d(t)性质2性质3

周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且与过程的周期相同。

t←t+nTx(t)=x(t+nT)性质4平稳过程的均方值可以令自相关函数中m=0得到。

性质5

不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足当m增大时X(n)与X(n+m)之间的相关性会减弱，在m→ꝏ的极限情况下，两者互相独立。3.估计方法直接估计可利用的数据只有N-1-|m|个快速计算——利用FFT来实现的快速计算求傅立叶变换，得令l=n+m2212012022)(1)()(1wwwjNljNnNlNnjNeXNelxenxN=--=-=åå自相关函数

和的功率谱是一对傅立叶变换。4.自相关函数的应用

检测淹没在随机噪声中的周期信号令

，则

汽车前桥和车身上振动加速度自相关函数汽车在砂石路上行驶时，测出车桥上的振动加速度十分杂乱。但是，通过自相关分析，可以看出车桥上的振动有一定的周期性。周期信号的自相关函数仍为周期信号，τ→∞时，Rx(τ)不衰减且周期与原周期一致；而对随机信号，当τ→∞时，Rx(τ)衰减→0(μx=0)。

四种典型信号及其自相关函数2、已知随机过程X(t)=Asin(ω0t+Φ)，A和ω0为常数，Φ是在（-π，π）的均匀分布的随机变量，即：

，它的自相关函数是（）ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为A答案解析单选题10分3、已知某平稳随机信号的自相关函数为R(m)，则该函数的最大值为（

）∞0R(0)不确定ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为C。当m=0时，平稳过程的相关函数具有最大值，同一时刻随机过程自身的相关性最强。答案解析单选题10分4、若平稳随机过程含有一个周期分量，则其自相关函数则含有一个（

）的周期分量。0.5倍周期1倍周期2倍周期3倍周期ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为B。正弦信号的自相关函数是同频率的余弦信号。周期信号的自相关还是周期信号。自相关函数的周期性反映了原信号中含有的周期成分。答案解析单选题10分1.定义

一般随机信号联合概率密度

互相关函数及应用广义平稳随机信号各态遍历随机信号

不随时间的变化而变化，只与时间差有关。一个样本可以代表所有样本。

2.性质互相关函数与均值μ、标准差σ有如下关系

不是偶函数，也不对称。互相关函数的对称性令t-τ←td(t-τ)=d(t)Rxy(τ)的峰值不在τ=0处，其幅值偏离原点的位置反映了两信号时移的大小，相关程度最高。在τ0时，Rxy(τ)出现最大值，它反映x(t)、y(t)之间主传输通道的滞后时间。

峰值点峰值点两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零

x(t)＝x0Sin(ω1t+θ)，y(t)＝y0Sin(ω2t+θ-φ)不同频率不相关两个同频率正弦函数的互相关函数Rxy(τ)：求x(t)=x0Sin(ωt+θ)，y(t)=y0sin(ωt+θ-φ)互相关函数Rxy(τ)互相关函数不仅保留了两个信号的幅值x0、y0信息、频率ω信息，而且还保留了两信号的相位差φ信息同频率正弦相关两个同频率正余弦函数不相关

x(t)＝x0Sin(ωt)，y(t)＝y0cos(ωt)周期信号与随机信号的互相关函数为零

由于随机信号y(t+τ)在时间t→t+τ内并无确定的关系，它的取值显然与任何周期函数x(t)无关，因此，Rxy(τ)=0。两个统计独立的随机信号，当均值为零时，则Rxy(τ)=0将随机信号x(t)和y(t)表示为其均值和波动部分之和的形式，即当μx=μy=0时，Rxy(τ)=0例题讲解例：信号的检测白噪声x(n)中有无s(n)如果有，功率是多少？周期呢？？解：一般认为信号与噪声不相关P74例2.3.2P183例5.2.3fs=1500;

%设置采样频率N=512;

%设置采样点数n=0:N-1;dt=1/fs;x=sin(2*pi*60*n*dt)

%正弦信号noise=randn(1,N);

%白噪声信号x1=sin(2*pi*60*n*dt)+randn(1,N);

%叠加白噪声的正弦信号y1=xcorr(x)

%正弦信号的自相关函数y2=xcorr(noise)

%白噪声的自相关函数y3=xcorr(x,noise);%正弦信号和白噪声的互相关y4=xcorr(x,x1);

%正弦信号和叠加白噪声的信号的互相关subplot(2,2,1)

plot(y1,'g')title('y1=xcorr(x)');grid;axis([01000-400400]);subplot(2,2,2)plot(y2,'r')title('y2=xcorr(noise)');grid;axis([01000-400400]);subplot(2,2,3)plot(y3,'g')title('y3=xcorr(x,noise)');grid;axis([01000-400400]);subplot(2,2,4)plot(y4,'g')title('y4=xcorr(x,x1)');grid;axis([01000-400400]);MATLAB验证=0，不相关直接方法：

3.估计快速傅立叶变换

先通过FFT求得互谱，然后计算互谱的逆傅里叶变换。

测量滞后时间当系统的输出与输入之间有一定的时间差时，互相关函数在时间差等于信号通过系统所需时间值时，将出现峰值。设信号传播速度为V，a和b两点距离L，则信号由a点传播到b点的时间延迟4.互相关函数的应用

热轧钢运动速度测定图5.3.5汽车脉冲试验互相关函数(车速60km/h，采样间隔30ms，采样段1)互相关测定油管裂损位置检测和回收噪声中的信号利用互相关分析仪消除噪声的工作原理图a)正弦波加随机噪声信号b)正弦波加随机噪声信号的互相关函数消除噪声影响提取有用信息

互相关的工程应用：对复杂信号进行频谱分析利用互相关分析仪分析信号频谱的工作原理图x(t)＝x0Sin(ωt+θ)，y(t)＝y0sin(ωt+θ-φ)的互相关函数x(t)＝x0Sin(ω1t+θ)，y(t)＝y0Sin(ω2t+θ-φ)的互相关函数车辆振动传递通道的测试框图确定传递通道测定系统的频率响应原理图系统识别

互相关FFTδ函数白噪声信号均值为0，功率谱密度为非0常数。5、白噪声信号定义为：均值为零，功率谱密度在整个频率轴上的为非零常数的平稳过程。现假设功率谱密度

P(ω)=c（c为非零常数），则该离散时间信号的自相关函数为（

）。ccδ(m)δ(m)2πcδ(m)ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为B。功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对。答案解析单选题10分主

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容1、随机信号简介2、随机信号的相关分析3、随机信号的功率谱估计第5章

随机信号分析4、谱估计中的几个问题6、与本章内容有关的MATLAB函数5、平稳随机信号通过线性系统1.定义截断函数频谱函数：随机信号的功率谱密度由于x(t)是随机过程X(t)的一个样本函数，取哪一个样本函数取决于试验结果ξ，且是随机的。因此，

和

也都是试验结果的随机函数，最好写成

和

。若x(t)是实函数，可得某个样本函数的平均功率

样本函数的功率谱密度函数如果对所有试验结果ξ取统计平均随机过程的功率谱密度函数，简称功率谱密度。

2.功率谱密度的性质非负性，即：

是实函数当随机信号是实过程时，其功率谱是偶函数，即3.功率谱密度与自相关函数的关系

引入连续时间随机信号

变量替换自相关函数和功率谱密度构成傅立叶变换对维纳－辛钦定理或维纳－辛钦公式平稳随机过程诺伯特·维纳（NorbertWiener）（1894年11月26日—1964年3月18日）美国应用数学家，控制论的创始人，在电子工程方面贡献良多。他是随机过程和噪声过程的先驱，又提出了“控制论”的一词。在其50年的科学生涯中，先后涉足哲学、数学、物理学和工程学，最后转向生物学，在各个领域中都取得了丰硕成果，称得上是恩格斯颂扬过的、本世纪多才多艺和学识渊博的科学巨人。他一生发表论文240多篇，著作14本。他的主要著作有《控制论》(1948)、《维纳选集》(1964)和《维纳数学论文集》(1980)。维纳还有两本自传《昔日神童》和《我是一个数学家》。亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（AleksandrYakovlevichKhinchin）（1894年7月19日-1959年11月18日）苏联数学家和数学教育家，现代概率论的奠基者之一。辛钦1894年7月19日生于莫斯科康德罗沃，1959年11月18日逝世于莫斯科。1916年毕业于莫斯科大学，先后在莫斯科大学和苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所等处工作。1927年成为教授。1935年获得物理数学博士学位。1939年被选为苏联科学院通讯院士。辛钦在分析学、数论、概率论及对统计学力学的应用等方面有重要贡献。科学精神

应用于含有直流或周期性成分的平稳过程中利用δ函数的筛选特性

重要的傅立叶变换对

离散时间随机序列具有零均值实平稳随机序列的功率谱密度

与序列的自相关函数

是一对离散时间傅立叶变换对。P194例5.3.2例5.3.36、已知随机过程X(t)的自相关函数为

，它的功率谱密度是（

）ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为B自相关函数和功率谱密度互为傅里叶变换对。余弦信号的傅里叶变换：答案解析单选题10分7、平稳随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系为（

）相等傅里叶变换对积分无关系ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为B。维纳-辛钦定理：平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对。答案解析单选题10分按定义从无限区间求得真实频谱，实际是在有限域中计算，这只是真实频谱的一种估计值，称为谱估计。分类经典法(线性估计法)—用传统的傅里叶变换分析方法求谱。间接法(相关估计法)—由数据的自相关序列求功率谱；直接法(周期图法)—由数据直接用离散傅里叶变换求功率谱。现代法（非线性估计法）4.功率谱估计的方法相关估计法维纳—辛钦定理：实平稳随机序列的功率谱密度与序列的自相关函数是一对傅里叶变换。相关估计法具体步骤将原序列按长度L=2N-1补零得序列x(m)；求x(m)的DFT，得X(k)和它的共轭X*(k)；计算DFT乘积，并除以N，得求IDFT，得周期图法假定数据序列{xk}的采样是任意的N(N=2m)使用适当的窗函数对原始序列{xk}修正。用FFT计算序列{xk}的离散傅立叶变换。计算功率谱，得到主频率。（f=k·fs/N)修正：由于采用窗函数对原始数据修正，因此要再用比例因子修正功率谱值。说明采取窗处理减少功率泄漏。采取平均化处理减小统计变异性。去均值修正比例因子数据分段加窗处理计算各段DFT求各段功率谱求平均功率谱改进的周期图法：加窗和平均化处理技术结合。从含有噪声的信号中确定主频率5.功率谱估计的应用分析电动机噪声产生的原因

不解体的故障判断利用实测的荷载谱控制振动台来模拟随机环境6.互谱密度及其估计有限长离散序列x(n)和y(m)

互谱密度在信号频谱分析中的应用：利用互谱可以得到系统的频率响应函数；识别动力学系统的特性；确定响应对激励的滞后时间。

主

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容1、随机信号简介2、随机信号的相关分析3、随机信号的功率谱估计第5章

随机信号分析4、谱估计中的几个问题6、与本章内容有关的MATLAB函数5、平稳随机信号通过线性系统一、预处理1.预滤波当信号需要平滑或抑制不需要的频率分量时，可采用滤波的方法。2.零均值变换3.趋势项的移动谱分析中的几个重要问题其中：二、频谱泄漏与窗函数1.窗函数评价指标(1)最大旁瓣值A旁max

，即最大旁瓣值与主瓣峰值之比，对数表达。矩形窗的最大旁瓣为-13dB，即：(2)旁瓣衰减率，以10个相邻旁瓣峰值的衰减比的对数来表示

矩形窗或P100哈明(Hamming)窗，其旁瓣衰减率为-20dB，也就是第10个旁瓣峰值为第1个旁瓣峰值的1/10；P110汉宁(Hanning)窗为-60dB，即1/1000；P220汉宁窗为-100dB；P330汉宁窗为-140dB，显然这些窗函数使旁瓣消失很快。(3)

主瓣峰值可能最大误差(4)主瓣宽

矩形窗的主瓣最窄

最大旁瓣值窗函数评价指标(1)最大旁瓣值(2)旁瓣衰减率(3)主瓣峰值可能最大误差(4)主瓣宽2.选择依据窗长度：越长，分辨率越高。窗位置：周期信号尽量保证整周期采样。避免泄漏的最佳方法：选择合适的窗函数，使信号截断的锐角钝化，使频谱的扩散减到最小。三、频谱混叠和采样定理1采样前采样后1、提高fs

N一定，fs↑，频率分辨率下降（fs/N）

N增大，fs↑，频率分辨率提高2、低通滤波器四、谱分析步骤(1)估计待分析信号中频率范围和频率上限fm。(2)根据分析精度的要求，设定谱分析中的频率分辨率∆f。(3)选定采样间隔∆t，使采样频率fs≥2fm。(4)确定采样点数N。补零不能提高频率分辨率。补零的优点：便于FFT；克服“栅栏”效应；改善泄漏现象。主

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随机信号分析4、谱估计中的几个问题6、与本章内容有关的MATLAB函数5、平稳随机信号通过线性系统设X(n)为一平稳随机信号，当它通过一个线性移不变系统H(z)后，输出为Y(n)，即平稳随机信号通过线性系统令m+k=l，关系1：关系2：关系3：关系4：主

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容1、随机信号简介2、随机信号的相关分析3、随机信号的功率谱估计第5章

随机信号分析4、谱估计中的几个问题6、与本章内容有关的MATLAB函数5、平稳随机信号通过线性系统periodogram用周期图估计信号的功率谱

pwelch用Welch法估计信号的功率谱

[Pxx,f]=periodogram