2025-2026学年山东省青岛市海尔学校高一下册六月阶段性检测数学试卷（含解析）

/数学注意事项：1．本试卷共3页；考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（选择题58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足，且，则（）A.1 B. C. D.2.某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（）A.1600 B.1400 C.1200 D.8003.已知向量，不共线，且则实数（）A. B.1 C. D.24.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（）A. B. C. D.5.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（）A. B. C. D.6.数据的平均数为，方差，现在增加两个数据2和，则这组新数据的标准差为（）A. B. C. D.7.如图所示，三棱柱中，若、F分别为，AC靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（）A.48 B.52 C.56 D.608.如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（）.A.6 B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（）A.a的值为0.030B.抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间C.2000名考生中约有10名成绩优秀D.估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间10.将边长为4的正方形沿对角线AC折起，使点不在平面内，则下列命题是真命题的是（）A.不论二面角为何值，总有B.当二面角为时，C.当二面角为时，是等边三角形D.不论二面角为何值，四面体外接球的体积为11.如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是（）A.正方体的外接球表面积为B.异面直线与所成角的取值范围是C.直线平面D.三棱锥的体积随着点M的运动而变化第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.12.设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第______象限．13.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则a=__________.14.如图，已知正方体的棱长为2，，F，分别为AD，，的中点，过点，F，作正方体的截面，所得截面的面积是______．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数；（3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数.16.如图，平面四边形是边长为2的正方形.平面，，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.已知向量，满足，，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值；（3）若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围.18.在△ABC中，角，，的对边分别为，，c且.（1）求；（2）若△ABC的面积为且△ABC为锐角三角形，求△19.如图，在正方体中，，F，P分别为棱，，的中点.（1）求证：四点共面.（2）设平面平面，求证：.（3）棱，上是否分别存在点M，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由.

数学注意事项：1．本试卷共3页；考试时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（选择题58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足，且，则（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：复数，根据题意求得，再计算即可得答案.解答过程：设复数，则，因为，所以，因为，所以，即，所以.2.某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（）A.1600 B.1400 C.1200 D.800答案：D解析：思路：根据给定条件，利用分层抽样的定义列式计算得解.解答过程：从所有高中学生中抽取45人，其中高三年级抽取10人，则高一、高二年级共抽取35人，设高三年级学生人数为x，则，解得.故选：D.3.已知向量，不共线，且则实数（）A. B.1 C. D.2答案：A解析：思路：根据向量共线的定义计算即可.解答过程：因为向量，不共线，且，那么存在实数，使得，则有，解得.4.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数.解答过程：由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为左起第二个矩形下底边的中点值；直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则

；又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即，所以.5.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果.解答过程：设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24，所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即，所以球的半径为，球的表面积.故选:B.6.数据的平均数为，方差，现在增加两个数据2和，则这组新数据的标准差为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据平均数的计算公式求出新数据的平均数，再根据方差的计算公式求出新数据的方差，最后根据标准差与方差的关系求出新数据的标准差.解答过程：数据的平均数为，方差即，则数据，2，的平均数为方差标准差为．故选B．7.如图所示，三棱柱中，若、分别为，AC靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（）A.48 B.52 C.56 D.60答案：C解析：思路：根据题意结合棱台体积公式求解体积即可得到体积比，即可得结果.解答过程：设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为S，体积为，则，因为、分别为，AC靠近点的三等分点，则，可得，所以右半部分的体积.8.如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（）.A.6 B. C. D.答案：B解析：思路：将正三棱柱侧面展开，转化为两点之间的距离求解.解答过程：将正三棱柱沿展开两次，得下图：最短路线即为大矩形的对角线的长，为.故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（）A.a的值为0.030B.抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间C.2000名考生中约有10名成绩优秀D.估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间答案：ABD解析：思路：根据频率之和为1、极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：依题意，，解得，A选项正确.根据频率分布直方图，，所以极差介于40分至60分之间，B选项正确.90分以上频率为，对应有人，C选项错误.成绩介于70分至90分之间的频率为，所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确.故选：ABD10.将边长为4的正方形沿对角线AC折起，使点不在平面内，则下列命题是真命题的是（）A.不论二面角为何值，总有B.当二面角为时，C.当二面角为时，是等边三角形D.不论二面角为何值，四面体外接球的体积为答案：ABC解析：思路：在正方形中，连接交AC于点，即可得到，且，从而证明平面，即可判断A，又即为二面角的平面角，利用余弦定理判断B，利用勾股定理判断C，四面体外接球球心是，外接球半径，即可求出外接球的体积，从而判断D.解答过程：在正方形中，连接交AC于点，则，且，在四面体中，且，又，平面，∴平面，平面，∴，故A正确；因为且，所以即为二面角的平面角，当二面角为时，即，在中由余弦定理，故B正确；当二面角为时，即，所以，又，所以是等边三角形，故C正确；因为，所以四面体外接球球心是，所以外接球半径，∴四面体的外接球体积，故D错误．故选：ABC方法提示：关键点点睛：本题关键是由正方形的性质得到，且，从而确定二面角的平面角.11.如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是（）A.正方体的外接球表面积为B.异面直线与所成角的取值范围是C.直线平面D.三棱锥的体积随着点M的运动而变化答案：BC解析：思路：由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断A，由异面直线所成角的定义确定与的夹角范围判断B，根据线面平面平行的判定定理判断C，转换顶点后由三棱锥体积公式判断D．解答过程：正方体对角线长为，即为外接球直径，因此球半径为，球表面积为，A错；正方体中与平行且相等，是平行四边形，，是正三角形，与的夹角（锐角或直角）的范围是，因此B正确；由上述知，而平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，C正确；由平面，因此M到平面的距离不变，面积确定，所以不变，D错．第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.12.设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第______象限．答案：四解析：解答过程：由，其共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第四象限．13.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则__________.答案：20解析：解答过程：由，得的70%分位数为，所以.14.如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为AD，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______．答案：解析：思路：取的中点的中点的中点T，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可.解答过程：取的中点的中点的中点T，连接，则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为，所以截面的面积为：.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数；（3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数.答案：（1）（2）平均数为，众数为，中位数为（3）解析：思路：（1）利用频率分布直方图的特征计算参数即可；（2）根据平均数，众数，中位数的求解方式求解即可；（3）先计算，，的比例，再根据分层抽样计算人数即可．（1）由题可知，解得；（2）平均数，众数为，根据题意，中位数在，设中位数为x，解得：，则中位数为；（3）竞赛成绩在，，内的比人数例为，故内被抽取的人数为（人）．16.如图，平面四边形是边长为2的正方形.平面，，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）因为平面，且，所以平面.又平面，因此.因为是正方形，所以.又，且平面，根据线面垂直的判定定理，所以平面.（2）解析：思路：（1）由条件可得平面，再结合底面是正方形及线面垂直的判定定理可得；（2）先延长并交于点M，进而可得平面平面，再过过作，连接，则就是平面与平面的夹角的平面角.在底面中，由余弦及正弦定理得，进而在直角中，得，最后在直角中用勾股定理及直角三角形的边角关系计算可得.（1）略（2）因为，且，所以四边形为直角梯形，因此直线AC与直线必交于一点M.连接，过作，垂足为M，连接，如图：因为，所以平面，所以平面.同理，平面，所以平面，因此M是平面与平面的公共点，又因为B点也平面与平面的公共点，所以平面平面.因为平面，平面，所以，又，且，平面，由线面垂直的判定定理得，且，平面，平面，因此就是平面与平面的夹角的平面角.因为在中，，且，所以是的中位线，所以，在中，，如图：由余弦定理，解得，又由正弦定理，得.在直角中，，，所以.以在直角中，，由勾股定理得，所以.因此，平面与平面夹角的余弦值为.17.已知向量，满足，，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值；（3）若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围.答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）先计算，再利用模的公式计算即可；（2）根据垂直的数量积表示，列方程求参数即可；（3）由向量夹角为锐角，则，注意排除夹角为0的情况．（1），则；（2），，解得；（3）向量与向量的夹角为锐角，，解得或，又无解，即向量与向量不共线，故实数的取值范围为或．18.在中，角，B，的对边分别为，，c且.（1）求；（2）若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：通过正弦定理边角互换将边长化成角度正弦值，再利用三角形内角和将角B换成A与C的关系化简即可；通过面积公式可以将边计算出来，再利用正弦定理将周长用角度表示出来，通过角度的关系可以找出周长的范围.（