2025-2026学年山东省日照实验高级中学高三下册5月考前自测数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则的值为（）A. B. C.3 D.52.已知集合，表示不超过的最大整数，集合，则（）A. B. C. D.3.若随机变量，，则（）A. B. C. D.4.某餐厅提供3种荤菜、3种素菜，共6种不同的菜品，要求每位就餐者只能选2荤2素共4种不同的菜品．如果每种菜品被选择的可能性相同，则甲、乙两人选择了完全相同的菜品的概率（）A. B. C. D.5.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.6.定义一种点对应：任意平面向量，点绕点沿逆时针方向旋转角得到，即将绕点沿逆时针方向旋转角，得到向量．已知点，点，若将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.7.若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（）A. B.0 C. D.18.已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，则（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校学生课间活动的一大特色是跳绳，已知该校共有3600名学生，某数学兴趣小组从全校学生中随机抽取了200名，逐个测量其每分钟跳绳次数，进行统计得频率分布直方图（如图），则（）A.图中的值为0.010B.估计全校学生每分钟平均跳绳次数约为167.6C.估计全校学生每分钟跳绳次数分位数约为170D.该样本中在区间内的学生有60人10.双曲线的左、右焦点分别为，．且在抛物线的准线上，离心率是．则下列结论成立的是（）A.双曲线与抛物线的两个交点间的距离是B.双曲线的渐近线为C.双曲线的标准方程为D.若P为渐近线上一点，满足，则的面积是11.三角形中，角，，的对边是，，，动点为上一点，，当变化时，与三角形的边和角之间的等量关系是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________．13.已知点为曲线上任意一点，点为曲线上任意一点，则线段的最小值为________．14.四个外观完全相同的密封不透明信封，每个信封内各装一张纸条．其中一张纸条写有“恭喜中奖”，其他三张纸条均写有“未中奖”，首先由A同学不放回抽取一个信封，但没有打开；然后B同学从剩下的三个信封中也抽取一个，并立刻打开，发现是“未中奖”．则A同学放弃手中未打开的信封，重新从剩下的两个信封中任取一个，打开后获奖的概率为________；A同学直接打开第一次抽取的信封，打开后中奖的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知数列，首项，点是抛物线上一点．（1）求的通项公式；（2）求的前项积．16.“一人公司”是指个人借助工具，独立完成产品设计研发到市场投放的全链路商业闭环，某数字文化创意制作有限公司是“一人公司”，连续5个月的科技投入（万元）与利润额（万元）的数据如下：第月12345投入22457利润额37101520（1）从这5个月的利润额中随机抽取3个数值，记大于9万元的数值个数为，求的分布列及均值：（2）已知与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测投入为10万元时的利润额．附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．17.如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，．（1）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；（2）证明：；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值．18.已知圆柱体的母线长为6，底面圆的直径长为2，圆柱体内两端各有一个半径为1的球体与上下底面相切，在两球之间有一平面斜截圆柱体并与两球相切．（1）解释平面截圆柱体的侧面所形成的平面曲线为椭圆的原因；（2）在平面内，以椭圆的长轴和短轴所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，并求出椭圆的标准方程；（3）在平面内，直线：与椭圆有两个交点，，线段的中点为直线与轴的交点为．若直线倾斜角为，直线倾斜角为，．证明：．19.已知函数有四个不同零点且．（1）求的取值范围；（2）证明：；（3）证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则的值为（）A. B. C.3 D.5答案：B解析：解答过程：设，，则，因为，即，则，解得或，所以.2.已知集合，表示不超过的最大整数，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以.3.若随机变量，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二项分布的性质求解即可.解答过程：因为，所以，解得，所以.4.某餐厅提供3种荤菜、3种素菜，共6种不同的菜品，要求每位就餐者只能选2荤2素共4种不同的菜品．如果每种菜品被选择的可能性相同，则甲、乙两人选择了完全相同的菜品的概率（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：两人的选择数均为：种，根据分步乘法计数原理可知：甲、乙选择菜品数为：种，甲、乙选择相同菜品的选择数为：种，所以概率为：.5.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可.解答过程：令，解得，可知函数的定义域为，因为在定义域内单调递减，且在内单调递增，在内单调递减，可知在内单调递减，在内单调递增，所以函数的单调递减区间是.6.定义一种点对应：任意平面向量，点绕点沿逆时针方向旋转角得到，即将绕点沿逆时针方向旋转角，得到向量．已知点，点，若将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由点，点，则，根据点对应定义可知，，因为，，代入得，故点的坐标为.7.若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（）A. B.0 C. D.1答案：B解析：思路：先利用函数过已知点求解，再根据零点的最小距离求解，最后代入计算函数值.解答过程：因为图象过点，所以，所以，因为，所以，令，所以，所以，或,解得，或,相邻零点的最小距离是，由题意的任意两个零点，之间距离的最小值为，所以，所以，所以，所以.8.已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算26项的总和，判断D.解答过程：①，②，关于对称，故③，从②式换元得，代入①式得：，代入③式的，得：

，

换元得：④，再将得，联立得，即周期为4，对应也满足，周期也为4.选项A：即，但由式④，得，故A错误；选项B：，故B错误；选项C：，由得，，故C错误；选项D：由得，又，故，解得，，，，.

一个周期和为：，从到共6个完整周期（24项），剩余，，总和为：

，

故D正确.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校学生课间活动的一大特色是跳绳，已知该校共有3600名学生，某数学兴趣小组从全校学生中随机抽取了200名，逐个测量其每分钟跳绳次数，进行统计得频率分布直方图（如图），则（）A.图中的值为0.010B.估计全校学生每分钟平均跳绳次数约为167.6C.估计全校学生每分钟跳绳次数分位数约为170D.该样本中在区间内的学生有60人答案：ABD解析：思路：根据直方图所有小矩形面积之和为1，列方程求出；利用每组的中点值乘以对应的频率，求和得到平均数的估计值；根据频率累加确定分位数所在的区间，利用比例关系计算具体数值；利用频数=样本容量×频率计算指定区间内的人数．解答过程：选项A：由频率分布直方图可知，组距为20，根据所有矩形面积之和为1，可得：，解得，故选项A正确；选项B：各组的频率分别为：，，，，，估计全校学生每分钟平均跳绳次数为：，故选项B正确；选项C：前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以分位数位于第四组内，设分位数为，则：，解得，故选项C错误；选项D：样本中在区间内的频率为，该样本中在区间内的学生人数为（人），故选项D正确．10.双曲线的左、右焦点分别为，．且在抛物线的准线上，离心率是．则下列结论成立的是（）A.双曲线与抛物线的两个交点间的距离是B.双曲线的渐近线为C.双曲线的标准方程为D.若P为渐近线上一点，满足，则的面积是答案：AD解析：思路：先根据抛物线准线确定双曲线的半焦距c，再结合离心率求出a，b，得到双曲线的标准方程和渐近线方程，最后逐一判断各个选项.解答过程：抛物线的准线为，因此双曲线的左焦点，可得，由离心率，解得，则，故双曲线标准方程为，其渐近线方程为.对于A，联立双曲线和抛物线方程，整理得，解得或，结合抛物线，双曲线的范围，取正根，代入中可得，则两交点坐标为，所以双曲线与抛物线的两个交点间的距离是，选项A正确.对于B，双曲线的渐近线方程为，而不是，选项B错误.对于C，双曲线标准方程为，而不是，选项C错误.对于D，因为，所以，设在渐近线上，则，结合，即，可得则的面积是，选项D正确.11.三角形中，角，，的对边是，，，动点为上一点，，当变化时，与三角形的边和角之间的等量关系是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：在及中，借助正弦定理结合计算即可得B；借助向量线性运算及数量积公式计算可得D；举出反例可得A、C.解答过程：由，则、、；对A：在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，则，故，即，即，故B正确；对D：由，设，则，即有，故D正确；对A、C：取、、、、、、，则、，则，又、，此时、，故A、C错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________．答案：解析：思路：先求正六棱锥的高，再计算斜高进而求出表面积，接着求出棱锥体积，最后根据内切球的性质求出内切球半径代入球的表面积公式即可.解答过程：正六棱锥底面是正六边形，底面外接圆半径等于底面边长，即底面中心到底面顶点距离为2，设顶点为，为棱锥的高，由侧棱长，由勾股定理得，底面正六边形的边心距（中心到边的距离），斜高（侧面等腰三角形的高）

.底面积：​，侧面积：.​总表面积，棱锥体积，由棱锥内切球性质得

.内切球表面积.13.已知点为曲线上任意一点，点为曲线上任意一点，则线段的最小值为________．答案：解析：思路：通过的函数求得的半圆轨迹，并通过函数求导求出的最小值，最后减去半径求出线段.解答过程：两边平方得，，所以在以为圆心，半径为的圆的第一和第四象限圆弧上.，设，，且.设，且，所以，因此，所以在上递减，得出最小值为，，.14.四个外观完全相同的密封不透明信封，每个信封内各装一张纸条．其中一张纸条写有“恭喜中奖”，其他三张纸条均写有“未中奖”，首先由A同学不放回抽取一个信封，但没有打开；然后B同学从剩下的三个信封中也抽取一个，并立刻打开，发现是“未中奖”．则A同学放弃手中未打开的信封，重新从剩下的两个信封中任取一个，打开后获奖的概率为________；A同学直接打开第一次抽取的信封，打开后中奖的概率为________．答案：①.②.解析：思路：空1：记同学第次抽取抽到中奖纸条为，B同学从剩下的三个信封中抽取一个抽到未中奖纸条为事件，利用全概率公式求得，进而求得，利用条件概率公式计算即可求解；空2：求出后，利用条件概率公式计算即可求解.解答过程：空1：记同学第次抽取抽到中奖纸条为，B同学从剩下的三个信封中抽取一个抽到未中奖纸条为事件，则，，所以；空2：，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知数列，首项，点是抛物线上一点．（1）求的通项公式；（2）求的前项积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据点在抛物线上得到递推关系，再通过取对数构造等比数列求通项；（2）再利用指数运算性质结合等比数列求和公式计算的前项积.（1）由点是抛物线上一点，可得，由，可知对任意，对两边取对数得，令，则，变形得，因为，故是首项为，公比为2的等比数列，因此，即，所以；（2）由（1）知，则，由，则.16.“一人公司”是指个人借助工具，独立完成产品设计研发到市场投放的全链路商业闭环，某数字文化创意制作有限公司是“一人公司”，连续5个月的科技投入（万元）与利润额（万元）的数据如下：第月12345投入22457利润额37101520（1）从这5个月的利润额中随机抽取3个数值，记大于9万元的数值个数为，求的分布列及均值：（2）已知与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测投入为10万元时的利润额．附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．答案：（1）X的分布列为：123均值（或1.8）（2）经验回归方程为，投入10万元时预测利润额为万元（或约29.33万元）解析：思路：（1）分析出服从参数为的超几何分布，即可得出分布列及均值；（2）根据公式即可得出经验回归方程，再计算当时，的值即可求解．（1）由题可知，5个利润额中大于9万元的共3个，不大于9万元的共2个，抽取3个数值时，的可能取值为1,2,3，服从参数为的超几何分布：，，，因此X的分布列为：123均值为：．（2）首先计算样本均值：，计算最小二乘估计所需的分子、分母：，，所以，因此经验回归方程为，当时，，即投入10万元时预测利润额为万元．17.如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，．（1）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；（2）证明：；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1），理由见解析；（2）证明见解析；（3）.解析：思路：（1）根据两个平面内的一组相交直线分别对应平行可判断两平面平行，再根据面面平行的性质即可解答；（2）根据面面垂直的性质可判定平面，再根据线面垂直的定义即可证明结论；（3）根据已知数据建立合适的空间直角坐标系即可根据线面角的向量求法解答.（1），理由如下：因为四边形为平行四边形，所以，又因为，且，，平面，平面，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以.（2）因为，是的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（3）如图1，作，连接，作，因为，所以，又，所以四边形为矩形.由知，，在中，，所以，为的中点，所以为正三角形，如图2，连接，因为是的中点，所以，以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系.因为，所以，在正中，，所以，，所以，，所以，，所以，是的中点，所以，所以，，，设平面的法向量为，则，即，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知圆柱体的母线长为6，底面圆的直径长为2，圆柱体内两端各有一个半径为1的球体与上下底面相切，在两球之间有一平面斜截圆柱体并与两球相切．（1）解释平面截圆柱体的侧面所形成的平面曲线为椭圆的原因；（2）在平面内，以椭圆的长轴和短轴所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，并求出椭圆的标准方程；（3）在平面内，直线：与椭圆有两个交点，，线段的中点为直线与轴的交点为．若直线倾斜角为，直线倾斜角为，．证明：．答案：（1）见详解.（2）.（3）见详解.解析：思路：(1)通过过同一点的圆的切线长度相等求出的定值来确定椭圆.(2)通过第一小问的定值求出，并利用球体的直径求出，最后表示出椭圆的标准方程.(3)通过联立椭圆和直线方程并利用韦达定理求出与的关系，并利用这些对，和化简.（1）过平面与圆柱体交线上的一点P作平行于母线的直线交上球体于，交下球体为于.令上球体与平面切于点，下球体与平面切于点.因为与都与上球体相切，易得.同理得.所以.因为为固定值，根据椭圆的定义得到该平面曲线为椭圆.（2）因为，所以.易得短轴等于球体直径，因此，