2025-2026学年山西省现代双语学校集团高一下册6月阶段检测数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B.8 C. D.92.某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（）A.抽签法 B.随机数法C.简单随机抽样 D.分层随机抽样3.已知向量，若，则实数的值为（）A.2 B. C. D.4.如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（）A. B. C. D.5.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（）A.28cm B. C.26cm D.8.如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（）A.1 B. C. D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（）A.极差为7 B.分位数为4C.平均数为4 D.方差为510.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则有两解D.若的面积为S，且，则11.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A.B.过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为C.点到平面的距离为定值D.当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人.13.已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________.14.在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，在复平面内对应的点分别为，．（1）若，求；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．16.如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：．17.在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值；（3）若，求的值.18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；（3）若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.（1）证明：平面PAC；（2）求二面角的大小；（3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B.8 C. D.9答案：C解析：解答过程：，所以复数的虚部为.2.某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（）A.抽签法 B.随机数法C.简单随机抽样 D.分层随机抽样答案：D解析：解答过程：由于不同年级的学生身体发育情况可能存在差异，因此适合采用分层随机抽样的方法．3.已知向量，若，则实数的值为（）A.2 B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，因为，所以，解得．4.如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可知，原平面图形为直角梯形，，周长为.5.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解析：解答过程：若，则或，所以A错误；若，则或，所以B错误；若，则或与相交，所以C错误；若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确.6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解.解答过程：如图，连接，因为平面，所以平面，平面，所以，又分别是的中点，所以，所以直线与所成角为（或其补角），因为，所以.7.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（）A.28cm B. C.26cm D.答案：A解析：思路：考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是先将AC与BD延长交于点P，由正弦定理可求出其他边长度，最后在中用余弦定理可求出CD.解答过程：如图，将AC与BD延长交于点P在中，由正弦定理可知，，则，即，解得：，则，，在中，由余弦定理得：，则.8.如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（）A.1 B. C. D.2答案：A解析：思路：根据给定条件，利用数量积的运算律及定义求解.解答过程：在梯形中，令，由，得，由，得，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（）A.极差为7 B.分位数为4C.平均数为4 D.方差为5答案：AC解析：思路：根据极差、百分位数、平均数、方差的概念逐一判断.解答过程：将数据从小到大排列，，则极差为，故A正确；，故分位数为，故B错误；平均数为，故C正确；，故D错误.故选：AC10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则有两解D.若的面积为S，且，则答案：AD解析：思路：根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项.解答过程：对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误；对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误；对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确.11.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A.B.过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为C.点到平面的距离为定值D.当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，答案：AC解析：思路：证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项.解答过程：对于A选项，连接、、，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，、平面，所以平面，又平面，所以，A正确；取的中点，连接、、、，因为、分别为、的中点，所以，且，因为，，故四边形为平行四边形，所以，所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，又，，，同理得，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，由等腰梯形的几何性质可知，又因为，，故，故，在等腰梯形内，因为，，，故四边形为矩形，故，所以，故，故，故B错误；对于C选项，连接、、、，因为、分别为、的中点，所以，因为，，故四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对；对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为，则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值，连接、，则，同理可得，，故当为的中点时，，此时，D错.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人.答案：12解析：思路：由分层抽样的方法进行求解．解答过程：女生应抽取的人数为人.13.已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________.答案：##解析：思路：根据圆台的性质，先分别求出两圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可．解答过程：解：由题可得两个圆台的高分别为，，所以.14.在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________.答案：解析：思路：取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可．解答过程：是边长为3的等边三角形，所以，取的中点，则，又平面，所以平面，在中，由余弦定理得，所以，过点作直线的垂线，垂足为，则，又平面，所以，又平面，所以平面，即点到平面的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，在复平面内对应的点分别为，．（1）若，求；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题可知：，，进而可求和其模长；（2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解.（1）由题可知：，，则，所以．（2）由题意可知：，因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，故实数m的取值范围为．16.如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）通过证明平面外一条直线与平面内一条直线平行，依据线面平行的判定定理来证明线面平行；（2）先证明一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，依据线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直.（1）连接交于点E，连接，如图所示.在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以又点D是棱的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为，点D是棱的中点，所以在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.因为，所以又，所以，所以，又平面，则平面，又平面，所以.17.在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值；（3）若，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理即可求解；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解；（3）利用辅助角公式化简可得，由求出，利用正弦定理即可求解.（1）因为，由正弦定理得，即，由余弦定理可得.又，所以.（2）因为的面积为，解得.由（1）可得，所以，即，所以.（3）由，得.因为，所以，所以，即.所以，由正弦定理可知.18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；（3）若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.答案：（1）；；（2）；（3）；.解析：思路：（1）由概率之和为1即可求解a，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解；（2）由成绩在的频率和成绩在的频率即可列等量关系求解；（3）由分层随机抽样的平均数和方差公式直接计算即可得解.（1）由题可得，所以样本数据的平均数约为；（2）成绩较高的前的学生对应的频率为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，设获得该荣誉证书的最低分数为x，则；（3）由题可得成绩在和的频数分别为，所以这两组数据的总平均数和方差.19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.（1）证明：平面PAC；（2）求二面角的大小；（3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面AB