2025-2026学年四川省广安市加德学校高一下册（领航班）下册3月月考数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数满足（i为虚数单位），则（）A.2 B.4 C. D.2.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（）A.1 B. C. D.3.已知向量，满足，，，，则实数（）A. B.1 C. D.4.用、、表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则复数所对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（）A. B. C. D.8.已知函数的部分图象如下，将沿翻折至，使得二面角为．若，则（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.若与垂直，则 B.若，则的值为C.若，则 D.若，则在方向上的投影向量坐标为10.若的内角，，对边分别是，，，，且，则（）A.外接圆的半径为 B.的周长的最小值为C.的面积的最大值为 D.边的中线的最小值为11.棱长为2的正方体中，，，，则（）A.三棱锥的外接球半径为B.直线与直线所成角的余弦值的最小值为C.时，过点作直线的垂面，则平面截正方体所得截面面积为D.若，则三棱锥的体积为三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.圆锥的母线与底面所成角为60°，高为，则该圆锥的侧面积为__________.13.等腰直角中，，，，与交于点，若，则__________.14.已知中内角对的边分别为，，平分交于点，，则面积的最小值为________．四､解答题.本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设，是两个向量，（1）若，不共线，且，求实数的值；（2）已知向量，满足，，，求.16.在中，角，，的对边分别为，，.已知.（1）求角的大小；（2），延长CA至，使点是线段CD的中点，，求边的长度.17.如图，在四棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.18.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，是线段上的一点，满足，过作一条直线分别交射线、射线于、两点．（1）求b，并判断的形状；（2）求的长；（3）求的最小值．19.正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接．（1）求证：：（2）当时，求二面角的正弦值；（3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数满足（i为虚数单位），则（）A.2 B.4 C. D.答案：D解析：思路：根据复数的除法法则求得，再利用模长公式即可求解.解答过程：由可得，所以.故选：D2.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（）A.1 B. C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积.解答过程：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，所以的底．腰，在中为直角三角形，高．所以直角三角形的面积是．故选:D．3.已知向量，满足，，，，则实数（）A. B.1 C. D.答案：A解析：思路：根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出.解答过程：因为，，，所以.因为，所以，所以.故选：A4.用、、表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：A解析：思路：对于A，由，，所以或，结合面面垂直的判定定理即可判断；对于BCD，在正方体中举反例即可判断错误.解答过程：对于A，因为，，所以或，当时，，所以，当时，由线面平行的性质定理可得内有一条直线与平行，则，所以，故A正确；对于B，在正方体中，平面，平面，但与相交，故B错误；对于C，在正方体中，，但与相交，故C错误；对于D，在正方体中，平面，，但平面，故D错误.故选：A5.已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据异面直线所成角的定义，取中点为，则为异面直线和所成角或其补角，再解三角形即可求出．解答过程：如图所示：设中点为，则在三角形中，为中点，为中位线，所以有，，所以为异面直线和所成角或其补角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故选：A.6.在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则复数所对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：由题意公式代入求解即可.解答过程：当时，，，故.显然在第二象限.故选:B7.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果.解答过程：，由正弦定理得，，，即，，，，，，.故选：A.8.已知函数的部分图象如下，将沿翻折至，使得二面角为．若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用可求得；作出二面角的平面角，结合余弦定理和勾股定理可求得点坐标，由此可得的最小正周期，进而得到.解答过程：，又，；记点为，翻折后，连接，，，即为二面角的平面角，，，，轴，，，又，平面，平面，又平面，，，，的最小正周期，.故选：B.二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.若与垂直，则 B.若，则的值为C.若，则 D.若，则在方向上的投影向量坐标为答案：BCD解析：思路：利用向量垂直的坐标表示判断A；利用向量共线的坐标表示，结合数量积运算判断B；利用坐标计算模判断C；求出投影向量判断D.解答过程：向量，，对于A，与垂直，则，解得，A错误；对于B，，，，B正确；对于C，，，，因此，C正确；对于D，，，在方向上的投影向量，D正确.故选：BCD10.若的内角，，对边分别是，，，，且，则（）A.外接圆的半径为 B.的周长的最小值为C.的面积的最大值为 D.边的中线的最小值为答案：AC解析：解答过程：A选项，，由正弦定理得：，即，所以，即，因为，所以，所以，则，因为，则，令外接圆的半径为，所以，即，所以A选项正确；B选项，，即：，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以B选项错误；C选项，，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，所以C选项正确；D选项，因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，所以D选项错误.11.棱长为2的正方体中，，，，则（）A.三棱锥的外接球半径为B.直线与直线所成角的余弦值的最小值为C.时，过点作直线的垂面，则平面截正方体所得截面面积为D.若，则三棱锥的体积为答案：ACD解析：思路：对于A，由三棱锥的外接球也是正方体的外接球，即可求得半径；对于B，在线段上取一点，使得，连接，则，所以（或其补角为）直线与直线所成角，不妨令与重合，从而可知当与重合时，此时最大，从而可判断；对于C，证明过点作直线的垂面即平面,求解即可判断；对于D，采用切割法求得体积，从而可判断.解答过程：对于A，因为三棱锥的外接球也是正方体的外接球，所以三棱锥的外接球半径为，故A正确；对于B，因为,，所以点在线段上，点在线段上，在线段上取一点，使得，连接，则，所以（或其补角为）直线与直线所成角，因为平面，所以平面，即，所以,不妨令与重合，所以当与重合时，此时最大，为，所以最大，此时最小，为，故B错误；、当时，点与重合，则过点作直线的垂面即平面,证明如下：连接，则，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，又平面，所以平面，即平面，所以平面截正方体所得截面为,其面积为，故C正确；对于D，当时，，在上取，在上取，连接,则四边形为平行四边形，则几何体的体积为正方体体积的一半，即，令，则，所以三棱锥的体积为，又，，所以三棱锥的体积为，故D正确.故选：ACD.方法提示：方法点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.圆锥的母线与底面所成角为60°，高为，则该圆锥的侧面积为__________.答案：解析：思路：根据锐角的三角函数定义求出母线长和底面半径，然后由圆锥侧面积公式可得.解答过程：如图，由题可知，，所以该圆锥的侧面积为.故答案为：13.等腰直角中，，，，与交于点，若，则__________.答案：##解析：思路：令，利用基底法表示，求得，再利用数量积的运算律即可求解.解答过程：等腰直角中，，令，则，又，，解得，所以，，所以.故答案为：.14.已知中内角对的边分别为，，平分交于点，，则面积的最小值为________．答案：解析：思路：利用列方程，求得的关系式，然后利用基本不等式求得的最小值，进而求得面积的最小值.解答过程：由于，故，化简得，，故，，，故三角形面积.方法提示：本小题主要考查三角形的面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.四､解答题.本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设，是两个向量，（1）若，不共线，且，求实数的值；（2）已知向量，满足，，，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据共线向量定理列出等式求解即可;（2）由数量积为0可得，再由向量的模的计算公式求解即可.（1）是两个不共线的向量，，，，，解得.（2），，.16.在中，角，，的对边分别为，，.已知.（1）求角的大小；（2），延长CA至，使点是线段CD的中点，，求边的长度.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正余弦定理边角互化，可得，利用余弦定理的推论可求角的余弦值，继而可得角.（2）在中，分别表示出，，再利用的关系可得，结合（1）中建立方程组即可求，得到边的长度.（1）由正弦定理得，即即，则，又，所以.（2）由题知，，，在中，，，又，所以，即由（1）知，即，所以，解得或（舍去），即.17.如图，在四棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）存在.理由见解析.解析：思路：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（Ⅲ）取PB中点F，连结EF，则，根据线面平行的判定定理证明平面.解答过程：（Ⅰ）因为平面，所以．又因为，所以平面．（Ⅱ）因为，，所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得平面．证明如下：取PB中点F，连结EF，，．又因为E为的中点，所以．又因为平面，所以平面．18.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，是线段上的一点，满足，过作一条直线分别交射线、射线于、两点．（1）求b，并判断的形状；（2）求的长；（3）求的最小值．答案：（1），钝角三角形（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理和余弦定理进行求解；（2）利用平面向量基本定理和向量的模长计算公式进行求解；（3）利用平面向量基本定理和基本不等式进行求解.（1）由正弦定理得又，，解得：，又因为，故，因为，故，所以是钝角三角形.（2）由平面向量基本定理，可作为一组基底向量，且有，，由于，所以，故，，代入化简得：，所以＝.（3）由题意可设，由于三点共线，设，，故，故，所以，由平面向量基本定理，解得，所以，因此，而，其中，当且仅当，即时等号成立，因此当时，为最小值．19.正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接．（1）求证：：（2）当时，求二面角的正弦值；（3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）（3）不存在，使得能取得最大值，理由见解析解析：思路：（1）根据线线