2025-2026学年四川省泸州市泸县普通高中共同体高一下册期中素养评价数学试卷（含解析）

/数学考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.3 B. C. D.3.下列是奇函数，且在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.4.设为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，则（）A. B. C. D.6.将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.7.在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（）A. B. C. D.38.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），则（）A.的虚部为2 B.C. D.10.已知平面直角坐标系中三个点，，，则（）A.B.在上的投影向量为C.是锐角三角形D.以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为811.已知，，则（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共8个小题，共92分.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.__________.13.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则__________14.已知线段，O为平面上动点，若对，恒成立，则当取最小值时，______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，，满足，，且与的夹角为．（1）求及；（2）若，求实数的值．16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角B；（2）若，，求边c和的面积.17.已知函数．（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）若方程在上的解为，，求．18.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，（1）若，，求；（2）若，求；（3）求的取值范围．19.利普希茨连续条件（Lipschitzcontinuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫•利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”．（1）判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由；（2）若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值；（3）已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”．

数学考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因，，则.2.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.3 B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为角的终边过点，所以.3.下列是奇函数，且在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据基本初等函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.解答过程：对A，函数是奇函数，在上单调递减，故错误；对B，函数是非奇非偶函数，故错误；对C，函数是非奇非偶函数，故错误；对D，幂函数是奇函数，在上单调递增，故正确.故选：D4.设为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：由，可得或，“或”不能推出“”，而“”能推出“或”，∴“”是“”的充分不必要条件.5.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将弦化为切后计算即可得.解答过程：.6.将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可.解答过程：将函数的图象先向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得.7.在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（）A. B. C. D.3答案：A解析：思路：借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得.解答过程：由点E为上靠近点B的三等分点，则，故，则.8.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可.解答过程：由题可知：，所以，所以在中，,在中，在中，.故选：C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），则（）A.的虚部为2 B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：由，则的虚部为2，故A正确；而，故B错误；而，故C正确；而，故D正确.10.已知平面直角坐标系中三个点，，，则（）A.B.在上的投影向量为C.是锐角三角形D.以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为8答案：AD解析：思路：根据向量坐标的计算公式判断A，利用投影向量的定义计算判断B，先求出三边长，确定最大角，再由向量数量积的符号判断C；先由向量的夹角公式求出一个内角的余弦，再由三角形面积公式计算判断D.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，因，则在上的投影向量为，故B错误；对于C，由，，可得，故角为的最大角，由可知角为钝角，故为钝角三角形，即C错误；对于D，由上分析，得，则，故，于是的面积为，而以A，B，C为顶点的平行四边形的面积都是的面积的两倍，故D正确.11.已知，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：A选项：借助放缩角度，利用正弦函数的单调增性质与特殊值比较，B选项：逆用二倍角公式化简表达式，再结合余弦函数的单调减性质与特殊值比较，C选项：构造两数之比转化为正切函数，直接利用正切函数性质判定出从而排错，D选项：运用辅助角公式将和式化一，通过正切单调性估算整体角的范围，再结合正弦函数单调性求解.解答过程：对于A，因为，所以，因在内单调递增，则，故，故A正确；对于B，，因为，则，而在上单调递减，则，即，故B正确；对于C，，在内，由正切函数的性质有，以下为证明过程：设，则，在内，，单调递增，所以，即，因此，即，且，所以，故C错误；对于D，，其中锐角满足，原不等式等价于，即.因为，即，则，，因为在内，单调递增，所以，又由A知，则，因为在内，单调递增，所以成立，D正确.第Ⅱ卷（非选择题共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共8个小题，共92分.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.__________.答案：2解析：思路：由对数的运算法则直接求解.解答过程：.故答案为：2.13.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则__________答案：解析：思路：观察图像，先求出半周期，进而求，再通过极差求出，最后代入最低点坐标求出求出解析式，再求出即可.解答过程：由题意易知，周期，所以，所以.考虑图中最低点，其横坐标为，纵坐标为，代入得，解得，，又因为，，所以，所以.14.已知线段，O为平面上动点，若对，恒成立，则当取最小值时，______．答案：解析：思路：由恒成立可得动点O到直线AB的最短距离为3，设D为AB中点，有，OD取最小值3时最小且有，先求，再由倍角公式求.解答过程：设（E在直线AB上），则，所以对，恒成立，即恒成立，即动点O到直线AB的最短距离为3，设D为AB中点，则，当OD取最小值3时最小，此时且．∴.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，，满足，，且与的夹角为．（1）求及；（2）若，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由向量数量积的定义，向量数量积的运算律即可求解；（2）法一：由列出等式求解即可；法二：通过，再结合即可求解.（1）由题意得，所以，所以．（2）法一：若，则，所以，即，解得．法二：如图：，，，则，则以，为邻边的平行四边形为菱形，即，又，，则，又，则，即.16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角B；（2）若，，求边c和的面积.答案：（1）（2），面积解析：思路：（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解；（2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解.（1）已知，由余弦定理得：，所以，化简可得：.又，故（2），由正弦定理，代入，，：所以.因为，所以.17.已知函数．（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）若方程在上的解为，，求．答案：（1），单调递增区间为，（2）解析：思路：（1）根据三角恒等变换公式化简可得，进而根据正弦型函数的周期公式求解即可，再根据正弦函数的单调性求解即可；（2）由可得，令，，结合正弦函数的图象可得，法一：可得，进而得到，进而求解即可；法二：可得，进而代值求解即可.（1）由，则函数的最小正周期为．令，解得，所以函数的单调递增区间为（2）法一：令，即，令，则由，得．因为有两解，则这两解与关于对称，所以，即，则，所以，则．法二：同法一可得，则，即．18.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，（1）若，，求；（2）若，求；（3）求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）方法一：根据向量的模的公式和向量的数量积公式计算即可；方法二：过点D作的平行线交于点H，在中，运用余弦定理计算即可；方法三：在中，运用余弦定理求出，结合勾股定理求出；方法四：利用等面积法计算即可.（2）方法一：根据与相似计算即可；方法二：在中以及在中，运用正弦定理计算即可；（3）根据向量的模公式得到，方法一：根据基本不等式的性质计算即可；方法二：令，则方程有正根，然后分情况讨论进而计算结果.（1）法一：，则．法二：过点D作的平行线交于点H，在中，，，由余弦定理：法三：在中，由余弦定理：又，则，则.法四：因为，则平分角C，由，即.（2）法一：因为，则与相似，则，即，所以，则，，则．法二：设，因为，则在中，由正弦定理知①在中，由正弦定理知②，，则有又，．（3），平方得．即，又令，则，.法一：令，则，，．的取值范围为法二：令，则方程有正根．，①若，方程没有正根，不符合题意；②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去）③若，且，得：，ⅰ若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意；ⅱ若方程有两个正根，则，得或，ⅲ若方程有1个正根，一个负根，，得，综上：，的取值范围为.19.利普希茨连续条件（Lipschitzcontinuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫•利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”．（1）判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由；（2）若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值；（3）已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”．答案：（1）函数在上是“2－利普希茨条件函数”（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）由，判断与的大小关系即可.