2025-2026学年四川省仁寿第一中学校（北校区）高一下册6月月考数学试卷（含解析）

/数学第Ⅰ卷（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求．1.已知平面向量，，若，则（）A.-9 B.-4 C.4 D.92.在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D.3.要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A.向上平移个单位 B.向右平移个单位 C.向下平移个单位 D.向左平移个单位4.已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（）A.2 B.3 C. D.55.已知，，则（）A. B. C. D.6.如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形8.已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.，B.C.若，，则的最小值为1D.若是关于x的方程的根，则11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上．12.已知，若复数是纯虚数，则________．13.如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________．14.已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______.四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，．（1）若，求的值；（2）设函数，求函数在R上的单调递增区间．16.已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）若，求实数的值.17.P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：（1）AE∥平面PCF；（2）平面PCF∥平面AEG.18.已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最值及对应的的取值；（3）当时，写出函数的单调递增区间.19.在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面积；（3）求的取值范围．

数学第Ⅰ卷（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求．1.已知平面向量，，若，则（）A.-9 B.-4 C.4 D.9答案：B解析：思路：由向量平行的坐标表示，列出方程求解即可.解答过程：，，解得.故选：B.2.在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的除法运算求解即得.解答过程：依题意，.故选：C3.要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A.向上平移个单位 B.向右平移个单位 C.向下平移个单位 D.向左平移个单位答案：B解析：思路：根据给定条件，利用函数图象的平移变换判断即得.解答过程：要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位.故选：B4.已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（）A.2 B.3 C. D.5答案：A解析：思路：设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解.解答过程：设圆锥的底面半径为r，母线长为，因为圆锥的表面积为，母线长为，所以，即，解得或（舍去）故选：A5.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用差角的正切求解即得.解答过程：由，，所以.故选：D6.如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，过作的平行直线，利用几何法求出异面直线夹角的余弦.解答过程：在正四面体中，取中点，连接，由是的中点，得，则是异面直线与所成的角或其补角，，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.7.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案：D解析：思路：由正弦定理和得到，，求出，得到答案.解答过程：，即，故，，因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.故选：D8.已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设四棱柱的高为h，则，解得h=6，则AC1与底面ABCD所成角的正切值为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：利用二倍角公式及和差角公式逐项计算判断.解答过程：对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：AD10.下列说法正确的是（）A.，B.C.若，，则的最小值为1D.若是关于x的方程的根，则答案：ACD解析：思路：根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.解答过程：对于A，，设复数，则，，故，A正确；对于B，由于，故，B错误；对于C，，设，由于，则，故，由，得，则，故当时，的最小值为1，C正确；对于D，是关于x的方程的根，故，即，故，D正确，故选：ACD11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象答案：BD解析：思路：利用三角函数的性质对选项逐一判断即可.解答过程：由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错；，则，将代入中得，则，，解得，，因为，所以，，，所以是的对称轴，故B正确；当时，，因为在上不单调，所以在上不单调，故C错；该图象向右平移个单位可得，故D正确.故选：BD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上．12.已知，若复数是纯虚数，则________．答案：3解析：思路：利用纯虚数的定义求出，进而求得答案.解答过程：由是纯虚数，得，解得，，所以.故答案为：313.如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________．答案：解析：思路：求出时刻点M所在射线为终边的角，再利用正弦函数的定义求解.解答过程：依题意，以射线为终边的角，时刻点M所在射线为终边的角为，由三角函数定义得.故答案为：.14.已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______.答案：解析：思路：借助正弦定理求出底面三角形外接圆半径后，结合直三棱柱性质与勾股定理可得该三棱柱外接球的半径，再利用球体体积公式计算即可得解.解答过程：设底面三角形外接圆圆心，则，即，设该三棱柱外接球球心为，则且，由底面，且底面，故，即，则该三棱柱外接球的体积为.四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，．（1）若，求的值；（2）设函数，求函数在R上的单调递增区间．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量的数量积的坐标运算可得，进而利用二倍角的正切公式可求解；（2）利用向量的数量积的坐标运算求得的解析式，利用整体法，结合正弦函数的单调性可求在R上的单调递增区间．（1）因为，所以，又，，所以，所以，所以，所以；（2）因为，，所以由，得，所以函数在R上的单调递增区间为．16.已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）若，求实数的值.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）对展开可得，再由向量夹角的余弦值公式即可求解；（2）由向量垂直性质可得，化简后解方程即可求解实数的值.（1）由题可得，因为，，代入可得，，所以与的夹角的余弦值.（2）因为，所以，化简可得，将，，代入可得，解得或.17.P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：（1）AE∥平面PCF；（2）平面PCF∥平面AEG.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）取PC中点H，分别连接EH，FH，根据E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，得到EAFH为平行四边形，从而EA∥FH，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据E，G分别为PD，CD的中点，得到EG∥PC，利用线面平行的判定定理得到EG∥平面PCF，再利用面面平行的判定定理证明.（1）证明：如图所示：，取PC中点H，分别连接EH，FH，∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，∴，∴EAFH为平行四边形．∴EA∥FH.又平面PCF，平面PCF，∴AE∥平面PCF.（2）∵E，G分别为PD，CD的中点，∴EG∥PC.又平面PCF，平面PCF，∴EG∥平面PCF.由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.∴平面PCF∥平面AEG.18.已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最值及对应的的取值；（3）当时，写出函数的单调递增区间.答案：（1）（2）的最大值为，此时，的小值为，此时（3）解析：思路：（1）借助图象，利用最值可得，利用周期可得，再借助点可得；（2）由，则，再结合正弦函数图象计算即可得；（3）当时，有，再结合正弦函数单调性计算即可得.（1）由图可知或，，又、，则，，则有，解得，又，则，故；（2）当时，，则，故，即函数在区间上的最大值为，此时有，即；函数在区间上的最小值为，此时有，即；（3）当时，，则当，即时，单调递增，即当时，函数的单调递增区间为.19.在锐角中，