2025-2026学年云南省昆明市东川区高级中学高一下册第二次月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则（）A.5 B.3 C. D.3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（）A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱4.已知单位向量满足，则与的夹角为（）A.30° B.60°C.120° D.150°5.已知函数为奇函数，且时，，则（）A. B. C. D.6.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题9.已知角的终边经过点，且，则（）A. B.C. D.10.点、、、分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下图中，直线与不是异面直线的是（）A. B.C. D.11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（）A.若则B.若则可能是直角三角形C.若则D.若是锐角三角形，三、填空题12.已知函数，则_____．13.圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________.14.对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______．四、解答题-问答题15.如图，在正四棱柱中，，垂足为E．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面．16.已知函数的解析式为（1）画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值；（2）解关于的不等式.17.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的余弦值．19.已知函数的最小正周期为.（1）求的值.（2）已知直线是曲线的一条对称轴.（i）求的单调区间；（ii）若对于任意的，总存在，使得，求A的取值范围.

数学一、单选题1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：借助补集与交集定义计算即可得.解答过程：由，，则，又，故.2.已知复数z满足，则（）A.5 B.3 C. D.答案：C解析：解答过程：依题意，，所以.3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（）A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱答案：C解析：思路：根据几何体结构特征直接判断即可.解答过程：记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示，由三棱锥性质可知，和是全等的梯形，又平面平面，平面分别与平面和相交于，所以，同理，又，所以互相平行，所以盛水部分的几何体是四棱柱.故选：C4.已知单位向量满足，则与的夹角为（）A.30° B.60°C.120° D.150°答案：B解析：思路：根据题意，利用向量数量积的运算，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.解答过程：由向量为单位向量，可得，因为，可得，解得，所以，又因为，可得，所以与的夹角为.5.已知函数为奇函数，且时，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据奇函数的性质直接求解即可.解答过程：因为为奇函数，且时，，所以.故选：A6.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可.解答过程：由题得，解得．因为在定义域内单调递减，所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增，在定义域内，函数的单调递减区间为，故函数的单调递增区间是．故选：D．7.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意利用三角恒等变换可得，以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解.解答过程：由，得，即，所以.所以.8.函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围.解答过程：当时，由可得，令，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：D.二、多选题9.已知角的终边经过点，且，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：由题意可判断角的终边落在第三象限，求出，，利用诱导公式即可得解.解答过程：点的纵坐标为，且．角的终边落在第三象限，又，（负根舍去），，，，，，所以AD正确，BC错误.10.点、、、分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下图中，直线与不是异面直线的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据平行直线、异面直线的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.解答过程：A，B中平行，D中直线与相交（或），即直线与共面，均不是异面直线；C中的直线与是两条既不平行，又不相交的直线，即直线与是异面直线．故选：ABD11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（）A.若则B.若则可能是直角三角形C.若则D.若是锐角三角形，答案：ABD解析：思路：利用正弦定理判断A；余弦定理判断角C，然后可判断B；举反例可判断C；利用诱导公式和正弦函数的单调性可判断D..解答过程：对于A，若，，在中，由正弦定理可得，则，故选项A正确；对于B，若，则由余弦定理可得，，因为，所以角为锐角，所以角或有可能是直角，则可能是直角三角形，故选项B正确；对于C，若，由正弦定理可得，即得，并不能得出，故选项C错误；对于D，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，即，同理，则，故选项D正确，故选：ABD.三、填空题12.已知函数，则_____．答案：解析：解答过程：因为，所以13.圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________.答案：解析：思路：首先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可求解.解答过程：设圆台上、下底面的圆心分别为，轴截面为梯形，如图，，过作的垂线，垂足为，则，由勾股定理知，即圆台的高为3，所以圆台的体积为，故答案为：.14.对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______．答案：9解析：思路：令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值；解答过程：令，则．为非负实数，且，，．且当时，的最小值为9.四、解答题-问答题15.如图，在正四棱柱中，，垂足为E．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.解析：思路：（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行；（2）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可.（1）由正四棱柱性质可得：，由平面，平面，所以平面，又由平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）连接，由正四棱柱可知，平面，因为平面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．16.已知函数的解析式为（1）画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值；（2）解关于的不等式.答案：（1）；单调减区间为，最大值为4（2）或解析：思路：（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求单调递减区间和最值；（2）分段求解不等式，再求并集即可得.（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处）则函数的单调减区间为，当时，取得最大值4；（2）当时，，所以恒成立；当时，，所以；当时，，所以；综上可知，或，所以不等式的解集为或.17.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．（1）因为，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，故．18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论；（3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值.（1）连接，因为底面为平行四边形，为中点，故与相交于，因为为的中点，则，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，，由余弦定理得，即，解得，因为，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，且交于，所以平面.（3）取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，则为直线与平面所成角，其中，故，因为，，由勾股定理得，故，由勾股定理得，所以，即直线与平面所成角的余弦值为．19.已知函数的最小正周期为.（1）求的值.（2）已知直线是曲线的一条对称轴.（i）求的单调区间；（ii）若对于任意的，总存在，使得，求A的取值范围.答案：（1）（2）（i）单调递增