2025-2026学年浙江强基联盟高一下册5月题库数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则为（）A. B. C. D.2.的值为（）A. B. C. D.3.已知复数，则（）A. B. C. D.4.已知平面向量，，若，则实数（）A.2 B. C. D.5.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（）A.1 B. C. D.6.在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（）A. B. C. D.7.在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则（）A.0 B.2 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，下列说法正确的是（）A.的实部为1 B.的虚部为C. D.10.已知正实数，满足，则（）A. B.的最大值为16C.的最小值为9 D.的最小值为311.在棱长均为1的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则（）A.当时，三棱锥的体积为定值B.存在点，使得C.当时，存在两个点，使得D.当时，的周长的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示）13.已知复数满足，，其中为虚数单位，则的最大值为_____.14.在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________．四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在上的值域．16.如图，在长方体中，，，为线段上的动点，（1）求三棱锥的体积；（2）若，求点到平面的距离．17.在中，角，，所对的边分别为，，，（1）求；（2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①；条件②；条件③．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.如图，已知三棱锥，，，，，，（1）求证：平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值．19.已知函数，（1）若，当时，求的最小值；（2）若，当时，（ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围；（ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题设A∩2.的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据诱导公式及特殊三角函数值求解即可.解答过程：.故选：C.3.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：．4.已知平面向量，，若，则实数（）A.2 B. C. D.答案：A解析：解答过程：若，则，则．5.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（）A.1 B. C. D.答案：D解析：思路：根据余弦定理求解即可.解答过程：由余弦定理a2所以．6.在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：如图可得：.7.在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：不妨设棱长为1，取中点为，由为的中位线知，，所以是异面直线，所成角的平面角，在中，，，.8.若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则（）A.0 B.2 C. D.答案：D解析：思路：由偶函数与奇函数性质可推导出为周期函数并可得到周期，再利用代入计算即可得.解答过程：由为偶函数可得，即由为奇函数可得，即，即有，则，则，故，即有，故为周期函数且，由，则，即，则.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，下列说法正确的是（）A.的实部为1 B.的虚部为C. D.答案：ACD解析：解答过程：选项A：的实部，说法正确；选项B：的虚部是实数，不是，说法错误；选项C：∣z选项D：共轭复数实部不变、虚部变号，得z=1+210.已知正实数，满足，则（）A. B.的最大值为16C.的最小值为9 D.的最小值为3答案：AC解析：思路：根据正数的性质、特值法，结合基本不等式、不等式的性质逐一判断即可.解答过程：因为是正实数，所以由，所以，故A正确；当，时，满足，而，故B错误；由，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为9，故C正确；因为为正数，所以由，由，得，故D错误．11.在棱长均为1的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则（）A.当时，三棱锥的体积为定值B.存在点，使得C.当时，存在两个点，使得D.当时，的周长的最小值为答案：ACD解析：思路：A.根据，确定点是位置，即可取得的体积是否为定值，判断A；B.根据在平面的射影是否和垂直，判断B；C.确定点的位置，从而确定C；根据三角形三条线段所在三角形，展开成一个平面，即可求解周长的最小值.解答过程：当时，取中点，中点，则点在线段上运动．由，平面，平面，知平面，则三棱锥的体积为定值，故A正确；点为正方形边及内部的点，过点向平面作投影，投影点为，则平面，则，若，则平面，则点满足，这与点在正方形中相矛盾，故B错误；当时，取中点，中点，则点在线段上运动．当点位于点点时，易证平面，则，或者在点时，易证平面，则，即存在2个点，满足，故C正确；当时，点在线段上运动，如图将和翻折到与在同一平面，可知的周长的最小值在、、、共线时取到，即，此时，，，所以，cos∠所以根据余弦定理得=1+1−2×1×1×−所以，所以的周长的最小值为，故D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示）答案：解析：思路：由投影向量计算公式结合题设可得答案.解答过程：根据投影向量定义知：在上的投影向量为a⃗⋅b13.已知复数满足，，其中为虚数单位，则的最大值为_____.答案：6解析：思路：利用复数模的几何意义求的最大值.解答过程：由复数的几何意义可知，复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，对应的点为定点，则表示，两点间距离，即求定点和单位圆上的点连线的最大值，由解析几何知识得最大值为.故答案为：614.在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________．答案：解析：思路：作交于点，可得在平面上，即可得该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体，结合锥体体积公式与割补法可求出四棱锥与四棱锥的体积比值，即可得.解答过程：作交于点，由，则，又，故，则在平面上，该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体，连接，则，则，故，，则.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在上的值域．答案：（1），单调递增区间为（2）解析：思路：（1）根据正弦型函数的周期及单调性求解即可.（2）结合正弦型函数的单调性求值域即可.（1）的最小正周期．令，，则，，所以函数单调递增区间为．（2）当时，，又函数在区间上递增，在上递减，且sin4π3<故当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值1，故在上的值域为．16.如图，在长方体中，，，为线段上的动点，（1）求三棱锥的体积；（2）若，求点到平面的距离．答案：（1）（2）解析：思路：（1）三棱锥以为底面，高为，直接代入体积公式计算；（2）由得，计算和面积；利用等体积法，以

体积为媒介，求出点到平面的距离.（1），易知的长即为三棱锥的高，所以V三棱锥（2）记点到平面的距离为，由AE=2EA由勾股定理，，又平面，为直角三角形，则S△EBC=1由（1）知V三棱锥17.在中，角，，所对的边分别为，，，（1）求；（2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①；条件②；条件③．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．答案：（1）（2）若选①不存在，若选②③，S△ABC解析：思路：（1）根据bcos（2）结合三角形的性质可知选①不存在，选②，由余弦定理结合三角形面积公式即可求解；选③，由正弦定理可得，结合余弦定理化简即可求解.（1）在中，,则sinAcosB由正弦定理可得：bcos所以bcos即，解得或（舍），由，则．（2）若选①得，不存在，若选②由余弦定理知b2=a故S△若选③由正弦定理知sinC=c余弦定理b2故S△18.如图，已知三棱锥，，，，，，（1）求证：平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值．答案：（1）由，则是的中点，又，则，又，，则，且∠ABO=∠CBO=所以在中，有OB=AB⋅cos所以在中，有PO=P又，则在中，有，所以，又，且，平面，所以平面．（2）（3）解析：思路：（1）根据等腰三角形的性质，三角函数的定义，及勾股定理推出，且，进而结合线面垂直的判定即可证明；（2）结合（1），先根据三角形外接圆的定义，及正弦定理求出该外接圆的半径，再根据外接球的定义，及勾股定理求出外接球的半径，进而即可求出该外接球的表面积；（3）法一：根据面积射影定理公式cosθ法二：先作出平面与平面的交线，再找出平面与平面的平面角，进而求出该平面角的余弦值即可．（1）略（2）设外接圆的半径为，为该外接圆圆心，则在直线上，由正弦定理可得，则R=O结合（1）有，则O1O设三棱锥外接球的半径为，为该外接球的球心，则在过圆的圆心且垂直于平面的直线上，结合（1）有平面，则在平面内，所以平面，设QO1=t，过作QQ1⊥PO，且在上，则，在中，有r2=在Rt△PQQ即t2+4=3−t2所以三棱锥外接球的表面积为．（3）法一：结合（2）可知在平面的投影三角形为，又结合（1）（2）有，，所以S△AOO又结合（2）有QA=QP=r=则边上的高为h=QA2−所以平面与平面所成角的余弦值为cosθ=S△法二：如图延长与相交于点，则平面与平面的交线为，过作，且在上，结合（1）有平面，又平面，则PO⊥AT，又，且，平面，所以平面，又平面，所以AT⊥PH，所以是平面与平面所成角，结合（1）（2）有，，QO1=1，，则O1TQO1=OT所以在中，有AT=O所以OH=又平面，又平面，则，所以平面与平面所成角的正切值为tan∠PHO=故平面与平面所成角的余弦值为cos∠PHO=19.已知函数，（1）若，当时，求的最小值；（2）若，当时，（ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围；（ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围．答案：（1）2（2）（ⅰ）；（ⅱ）−∞解析：思路：（1）利用基本不等式进行求解即可；（2）（ⅰ）根据基本不等式、公式法解绝对值不等式，结合基本不等式取等条件分类讨论进行求解即可；（ⅱ）根据任意性的定义，结合复合函数的单调性的性质分类讨论进行求解