2025-2026学年陕西省西安市西电中学高二下册期末考试数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（共8小题，每小题5分）1.若，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，4.为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（）A.24 B.36 C.96 D.1445.下列函数中最小值为的是（）A. B.C. D.6.当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.7.若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.48.若函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.二、多选题（共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（）A.直线的倾斜角为B.直线在轴上的截距为C.过且与直线平行的直线方程为D.过且与直线垂直的直线方程为10.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为1120 B.第4项二项式系数最大C.所有项的二项式系数和为 D.所有项的系数和为11.如图，已知棱长为2的正方体，，，则下列说法正确的是（）A.B.C.直线与平面所成角的正切值为3D.平面截正方体的截面周长为三、填空题（共3小题，每小题5分）12.已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______．13.函数，则______．14.若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________.四、解答题（共5小题，共77分.）15.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角；（2）若，求边长和的面积.16.在数列中，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和．17.在正三棱柱中，已知分别是棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢不喜欢合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4．（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由；（3）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）若，且存在，，使得，证明：．

数学一、单选题（共8小题，每小题5分）1.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用虚数单位的幂次周期性化简分子和分母，再通过分母实数化计算得到的代数形式解答过程：因为，，所以.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为集合，，所以3.已知命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：解答过程：命题，，则可得为，.4.为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（）A.24 B.36 C.96 D.144答案：D解析：思路：相邻元素用捆绑法解题即可.解答过程：三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其他三个节目进行排列，共有种不同排法.5.下列函数中最小值为的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：对于A，，当且仅当时，等号成立，所以最小值为3，故A错误；对于B，因为函数定义域为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为4，故B正确；对于C，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以等号取不到，故C错误；对于D，的定义域为，所以，当时，，故D错误.6.当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得.解答过程：因为，且满足，，即，则，即，当且仅当时，等号成立，又因为恒成立，所以，即，即，解得.7.若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4答案：C解析：解答过程：对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为.对双曲线：，其中，所以，.又椭圆与双曲线焦点相同，所以.所以双曲线的离心率为：.故选项C正确.8.若函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：确定的取值范围，根据余弦函数的单调性列出不等式即可求解.解答过程：令，因为，且，所以，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，因为余弦函数在上单调递减，则，解得，所以的取值范围为.二、多选题（共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（）A.直线的倾斜角为B.直线在轴上的截距为C.过且与直线平行的直线方程为D.过且与直线垂直的直线方程为答案：AC解析：解答过程：直线，化为斜截式.A：斜率，倾斜角，正确.B：代入得轴截距为，非，错误.C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确.D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误.10.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为1120 B.第4项二项式系数最大C.所有项的二项式系数和为 D.所有项的系数和为答案：ACD解析：解答过程：对于A，展开式的常数项为，A正确；对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误；对于C，所有项的二项式系数和为，C正确；对于D，取，得所有项的系数和为，D正确.11.如图，已知棱长为2的正方体，，，则下列说法正确的是（）A.B.C.直线与平面所成角的正切值为3D.平面截正方体的截面周长为答案：ACD解析：思路：建立空间直角坐标系，检验是否为0即可判断选项；检验与是否存在数量关系即可判断选项；先求出与平面的法向量夹角余弦的绝对值，再利用同角三角函数关系即可判断选项；先取靠近点的四等分点，找到平面即为截面，即可判断选项.解答过程：选项A，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，所以，，则，所以，故A正确；选项B，因为，，所以，所以不平行，故B错误；选项C，因为正方体，所以平面，因为平面，所以，因为，，，平面，所以平面，即是平面的一个法向量，又，，设直线与平面所成角为，则．所以，所以，所以C正确；选项D，取靠近点的四等分点，易证,，，，四点共面，所以平面即为平面截正方体的截面，所以截面周长为，因此选项D正确.三、填空题（共3小题，每小题5分）12.已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______．答案：解析：解答过程：已知，则设，则因为，所以（*），因为，所以，将其代入（*），可得，解得13.函数，则______．答案：解析：思路：先求出导函数，再赋值计算得出，最后得出函数值.解答过程：函数，所以，令，则，所以，则．14.若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________.答案：解析：思路：根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积.解答过程：根据条件，作出正四棱台如图所示，

则其外接球球心在直线上，设，，设，因为该棱台的体积为，所以，所以，，当球心在线段延长线时，由，设，可得，即，解得，所以外接球半径即，当球心在线段上时，同理可得，即，解得舍去，所以其外接球表面积为.四、解答题（共5小题，共77分.）15.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角；（2）若，求边长和的面积.答案：（1）（2），面积解析：思路：（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解；（2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解．（1）已知，由余弦定理得：，所以，化简可得：．又，故．（2），由正弦定理，代入；所以．因为，所以．16.在数列中，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）因为，且，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）解析：思路：（1）利用等比数列的定义证明.（2）利用分组求和法求数列的前项和.（1）略（2）由（1）得，.所以.所以.17.在正三棱柱中，已知分别是棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）根据面面平行的判定定理来证明（2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值.（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则，在与中，易得，，因为，所以，因为平面，平面，所以平面，同理，，因为平面，平面，所以平面，又因平面，故平面平面.（2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向，过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，因，，则，即令，则，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢不喜欢合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4．（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由；（3）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）

喜欢不喜欢合计男生401050女生203050合计6040100（2）依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关；（3）数学期望为.012解析：思路：（1）根据题目所给条件填写表格即可.（2）根据（1）问完成的列联表计算的值，然后依据临界值表判断即可.（3）先求出的取值，然后确定的分布列，最后计算数学期望.（1）略（2）零假设喜欢《最强大脑》与性别无关..故有充分的证据认为不成立，即依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关.（3）由题意，可取.,,，的分布列如下：012.19.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）若，且存在，，使得，证明：．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）由题意在上恒成立，参