2025-2026学年浙江省衢州市高二下册6月期末数学试卷（含解析）

/数学试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，集合，则()A. B. C. D.2.设复数，则z的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.43.已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（

）A. B. C. D.4.设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（）A. B. C. D.5.函数fx的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.函数fx在上单调递减 B.函数fx在上单调递减C.函数fx在上不单调 D.3是函数fx6.已知，都是锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.7.一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为（）A. B. C. D.8.若不等式恒成立，则的最小值是（）A. B.0 C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.样本数据2，3，4，6，7，8的中位数为6B.若，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为5C.若随机变量，则D.若随机变量且，则10.如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，BC的中点，则（）A.平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形B.平面C.异面直线与所成角的余弦值为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为奇函数，则（）A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于直线对称C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中的系数为______．（用数字作答）13.已知一个圆锥的底面半径，母线长，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发，沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A，则这只蚂蚁爬行的最短路程是______．14.在中，若，则面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，．（1）求角B的大小；（2）若，，点D在边AC上，且BD平分，求BD的长．16.某企业为研究团队月度生产效益与员工技能培训的关系，开展调查分析，根据过往统计经验知，团队月度生产效益y（单位：万元）与员工技能培训投入x（单位：万元）满足一元线性回归模型，现连续统计了近10个月的数据，，…，，经计算得：，，，．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该企业计划下月拨付10万元专项资金用于团队发展建设，现拟定了两套方案：方案一：将10万元全部用于员工技能培训；方案二：将10万元中的一部分用于员工技能培训，剩余的部分用于发放员工绩效奖金．根据长期运营经验，绩效奖金投入t万元可产生的额外效益为万元．方案一和方案二中的员工技能培训所带来的生产效益仍满足（1）中的线性回归关系，试对比两套方案，如何分配资金可使团队月度生产效益最大，请说明理由．参考公式：线性回归方程中，，．17.如图，在三棱锥中，，，，．设二面角的大小为．（1）当时，（ⅰ）求证：；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（2）当时，求点B到平面的距离．18.在一个不透明的袋子中装有分别标注数字1，2，…，n的n个小球，这些小球除标注的数字外，大小、质地完全相同，现从中一次性随机抽取m个，记这m个球上的数字的最大值为X，其中，m，．（1）当，时，（ⅰ）求的概率；（ⅱ）求X的分布列及数学期望；（2）求所有满足的正整数组．19.已知函数，，其中，函数的导函数为．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）判断的零点个数，并说明理由；（3）若，且，求证：．

数学试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，集合，则()A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因，，则.2.设复数，则z的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.4答案：D解析：解答过程：由复数得，则其虚部为4.3.已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据，结合向量夹角的范围可得结果.解答过程：由题意得，，∵，∴.故选：A.4.设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题设及条件概率计算公式可得答案.解答过程：因为A的对立事件，且，则，又，则.5.函数fx的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.函数fx在上单调递减 B.函数fx在上单调递减C.函数fx在上不单调 D.3是函数fx答案：A解析：思路：通过导函数的正负来判断原函数的单调性与极值，依据导数与函数单调性、极值的关系，对各选项逐一分析得出结论.解答过程：由题意可知，在A选项中，当时，，因此在上单调递减，A正确，在B选项中，当时，，因此在上单调递增，B错误，在C选项中，当时，恒成立，因此在上单调递增，是单调函数，C错误，在D选项中，左侧（递增），右侧（递减），因此是的极大值点，不是极小值点，D错误.6.已知，都是锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：已知是锐角，，则，，都是锐角，则，又，则，故，．7.一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：3个人随机入座6个座位，等价于6个座位中选3个进行排列；种，3个人全排列，有种排法，3人排好后形成4个空隙，从4个空隙中选2个，插入“双空位”和“单空位”，共计种，故恰有2人相邻的概率为：．8.若不等式恒成立，则的最小值是（）A. B.0 C. D.答案：B解析：解答过程：设．当时，；当时，．因为对定义域内的恒成立，所以在上恒成立，且在上恒成立．又是开口向上的二次函数，故必为的较大零点．于是，整理得所以因为的两根乘积为，所以另一根为要使在上恒成立，需另一根不大于，即同时，由于是较大零点，且两根乘积为，所以．令则，且由基本不等式得所以当，即时取等，此时代回可知的两根为和，而，，满足在上成立，在上成立．因此的最小值为0.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.样本数据2，3，4，6，7，8的中位数为6B.若，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为5C.若随机变量，则D.若随机变量且，则答案：BCD解析：解答过程：选项A：6个样本数据升序排列为2，3，4，6，7，8，中位数为第3，4个数的平均值，即，故A错误；选项B：根据平均数的线性性质可知，的平均数为，则的平均数为，已知，则，故B正确；选项C：随机变量，则，故C正确；选项D：随机变量的图象关于对称轴对称，则，由得，故，又，故，故D正确．10.如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，BC的中点，则（）A.平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形B.平面C.异面直线与所成角的余弦值为D.三棱锥外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：对于A，结合中位线定理、正方体性质及平面定理判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，求出平面，根据线面平行的向量求法证明即可；对于C，根据异面直线所成角的向量求法求解即可；对于D，设出外接球球心，建立方程组求出球心，进而得到半径，代入球的表面积公式求解即可.解答过程：对于A，取中点，连接，，因M，为中点，所以，，正方体中，，，则，，易得，故四边形为等腰梯形，且平面与平面为同一平面，即平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形，A正确.对于B，以为原点，分别以，，为，y，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，则，即，故可取.因为，所以，又平面，所以平面，B正确.对于C，由上建系，，，设异面直线与所成角为，则，C错误.对于D，设三棱锥外接球的球心为，则，即，解得，即球心，所以外接球半径，故三棱锥外接球的表面积为，D正确.11.已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为奇函数，则（）A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于直线对称C. D.答案：BC解析：思路：先根据函数奇偶性判断函数的对称性，再通过求导、变量代换等方法推导函数的周期性，最后通过举例判断选项D是否成立.解答过程：对于A，由是奇函数得，则关于点中心对称，不是关于直线对称，因此A错误；对于B，对两边对求导得：，所以关于直线对称，因此B正确；对于C，因为为奇函数，所以又由可得所以令则所以为常数．又由为奇函数，取得所以因此即于是故C正确．对于D，取则为奇函数．又所以也是奇函数，满足题设条件．此时每4项和为0．又所以.因此D不一定成立，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中的系数为______．（用数字作答）答案：10解析：解答过程：的展开式通项为，使，得，故系数为.13.已知一个圆锥的底面半径，母线长，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发，沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A，则这只蚂蚁爬行的最短路程是______．答案：解析：思路：将圆锥侧面展开，利用余弦定理可得最短距离.解答过程：如下图将圆锥侧面展开，得扇形，则最短距离为线段长度.由题意圆锥底面圆周长为，则圆弧长度为，又扇形半径为4，则扇形圆心角为，从而为等腰直角三角形，从而.14.在中，若，则面积的最大值为______．答案：解析：思路：设点为线段的三等分点，利用向量线性运算得到，利用基本不等式及三角形面积公式求最值.解答过程：设点为线段的三等分点，因为，又，，所以，则，当且仅当时取等号，由，当且仅当且时，等号成立，故面积的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，．（1）求角B的大小；（2）若，，点D在边AC上，且BD平分，求BD的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由三角恒等变换及正弦定理求解即可；（2）利用求解即可.（1）将展开，得,即,因为，则，又因为，所以；（2）设，因为，BD平分，所以，又因为，解得，故.16.某企业为研究团队月度生产效益与员工技能培训的关系，开展调查分析，根据过往统计经验知，团队月度生产效益y（单位：万元）与员工技能培训投入x（单位：万元）满足一元线性回归模型，现连续统计了近10个月的数据，，…，，经计算得：，，，．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该企业计划下月拨付10万元专项资金用于团队发展建设，现拟定了两套方案：方案一：将10万元全部用于员工技能培训；方案二：将10万元中的一部分用于员工技能培训，剩余的部分用于发放员工绩效奖金．根据长期运营经验，绩效奖金投入t万元可产生的额外效益为万元．方案一和方案二中的员工技能培训所带来的生产效益仍满足（1）中的线性回归关系，试对比两套方案，如何分配资金可使团队月度生产效益最大，请说明理由．参考公式：线性回归方程中，，．答案：（1）（2）方案二，投入6万元用于员工技能培训，4万元用于发放绩效奖金时团队月度生产效益最大.解析：（1）由题意知，，，，则.所以y关于x的线性回归方程是.（2）若选择方案一，当时，代入（1）中的回归方程得万元；若选择方案二，假设投入万元用于发放绩效奖金，万元用于员工专项技能培训，其中，故团队月度生产效益，当时，万元．由于，故选择方案二，其中投入6万元用于员工专项技能培训，剩余4万元用于发放绩效奖金，能实现团队月度生产效益最大化．17.如图，在三棱锥中，，，，．设二面角的大小为．（1）当时，（ⅰ）求证：；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（2）当时，求点B到平面的距离．答案：（1）（ⅰ）方法一：由可知，平面平面，已知，平面平面，平面，故平面，又平面，因此；方法二：以C为坐标原点，所在直线为轴，y轴，过C作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系．由已知条件可知,由二面角定义及可知，,因为则,所以，即；（ⅱ）；（2）解析：思路：（1）（ⅰ）方法一：由面面垂直的定义和性质定理可得平面，再由线面垂直的性质定理即可得证；方法二：以C为坐标原点，所在直线为轴，y轴，过C作垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可；（ⅱ）取AC的中点H，由、面面垂直的性质定理及直线与平面所成角的定义，可得是直线与平面所成角，在直角三角形中，由正弦的定义求解即可；（2）方法1：取AB的中点，连接，由题意可得,求得点到平面的距离为，由等体积法求解即可；方法2：取AB的中点，连接，由题意可得,,求得点到平面的距离为，根据B到平面的距离是点到平面的距离的2倍，求解即可；方法3：求出平面的法向量为及，利用空间向量法求解即可.（1）（ⅰ）略；（ⅱ）取AC的中点H，由，可知，因为，所以平面平面，又因为平面平面，平面，所以平面．连接，所以是直线与平面所成角，由（ⅰ）可知是直角三角形，解得，因为，所以;（2）方法1：取AB的中点，连接，由已知条件可知，故，所以，所以点到平面的距离为，三棱锥的体积：，又因为三棱锥的体积，所以，解得；方法2：取AB的中点，连接，所以且，则，,所以点到平面的距离为，因为B到平面的距离是点到平面的距离的2倍，所以B到平面的距离；方法3：取AB的中点，连接，由已知条件可知，故，所以,由，可得，则，设平面的法向量为，由，得，得法向量，所以点B到平面的距离.18.在一个不透明的袋子中装有分别标注数字1，2，…，n的n个小球，这些小球除标注的数字外，大小、质地完全相同，现从中一次性随机抽取m个，记这m个球上的数字的最大值为X，其中，m，．（1）当，时，（ⅰ）求的概率；（ⅱ）求X的分布列及数学期望；（2）求所有满足的正整数组．答案：（1）（ⅱ）X345P（2），，．解析：思路：（1）（ⅰ）利用组合知识、古典概型直接求解即可；（ⅱ）X的可能取值为3，4，5，分别求出每个的概率即可求解；（2）X的可能取值为m，，…，n，