高二数学辗转相除法

辗转相除法与更相减损术算法案例第一课时第1页1.回顾算法三种表示方法：（1）、自然语言（2）、程序框图（3）、程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）复习引入第2页2.思索：

小学学过求两个数最大条约数方法？

先用两个公有质因数连续去除，一直除到所得商是互质数为止，然后把全部除数连乘起来.第3页例：求下面两个正整数最大条约数：（1）求25和35最大条约数（2）求49和63最大条约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35最大条约数为5所以，49和63最大条约数为7思索：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：怎样算出8251和6105最大条约数？第4页新课讲解：一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定两个数，用较大数除以较小数。若余数不为零，则将余数和较小数组成新一对数，继续上面除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数就是原来两个数最大条约数。第5页

2、步骤：（以求8251和6105最大条约数过程为例）第一步用两数中较大数除以较小数，求得商和余数

8251=6105×1+2146结论：8251和6105条约数就是6105和2146条约数，求8251和6105最大条约数，只要求出6105和2146条约数就能够了。第二步对6105和2146重复第一步做法

6105=2146×2+1813

同理6105和2146最大条约数也是2146和1813最大条约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？第6页完整过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例：用辗转相除法求225和135最大条约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37最大条约数，也就是8251和6105最大条约数显然45是90和45最大条约数，也就是225和135最大条约数思索1：从上面两个例子中能够看出计算规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0第7页

辗转相除法是一个重复执行直到余数等于0才停顿步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思索2：辗转相除法中关键步骤是哪种逻辑结构？第8页思索：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？(1)、算法步骤：第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n最大条约数等于m；不然转到第二步.第五步：输出最大条约数m.第9页(2)、程序框图：开始输入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r

输出m结束第10页(3)、程序：INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND第11页二、更相减损术

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大数减较小数，接着把所得差与较小数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得减数和差相等为止，则这个等数就是所求最大条约数。（1）、《九章算术》中更相减损术：1、背景介绍：（2）、当代数学中更相减损术：第12页2、定义：

所谓更相减损术，就是对于给定两个数，用较大数减去较小数，然后将差和较小数组成新一对数，再用较大数减去较小数，重复执行此步骤直到差数和较小数相等，此时相等两数便为原来两个数最大条约数。第13页例:用更相减损术求98与63最大条约数.解：因为63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63最大条约数等于73、方法：第14页1、用更相减损术求两个正数84与72最大条约数．

练习：思绪分析：先约简，再求21与18最大条约数,然后乘以两次约简质因数4。2、求324、243、135这三个数最大条约数。思绪分析：求三个数最大条约数能够先求出两个数最大条约数，第三个数与前两个数最大条约数最大条约数即为所求。第15页(1)、算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：若a不等于b,则执行第三步；不然转到第五步；第三步：把a-b差赋予r;第四步：假如b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;不然把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大条约数b.***思索：你能依据更相减损术设计程序，求两个正整数最大条约数吗？第16页(2)、程序框图开始输入a,ba≠b?是否

输出b结束b=ra=br=a-br<b?a=r否是第17页(3)、程序INPUT“a,b=“;a,bWHILEa<>br=a-bIFb>rTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWENDPRINTbEND第18页比较辗转相除法与更相减损术区分（1）都是求最大条约数方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少