2026北师大版九年级数学下《圆》单元测试题

2026北师大版九年级数学下《圆》单元测试题本卷满分120分，考试时间90分钟。本单元测试旨在全面考察学生对圆的基本概念、性质、定理及相关计算的掌握程度，注重知识的综合应用与实际问题的解决能力。请同学们认真审题，仔细作答，规范书写。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法中，正确的是（）A.直径是弦，弦也是直径B.半圆是弧，弧是半圆C.圆上任意两点间的部分叫做圆弧D.过圆心的线段是直径2.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，若OC=2，则弦AB的长为（）A.√3B.2√3C.3D.4（此处应有图，为一个圆O，弦AB垂直平分半径OC于点D，C为半径端点）3.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定4.下列命题中，假命题是（）A.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B.同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C.圆的切线垂直于过切点的半径D.平分弦的直径垂直于弦5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若∠APB=60°，则∠AOB的度数为（）A.60°B.90°C.120°D.150°（此处应有图，显示从圆外一点P引两条切线PA、PB）6.一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则这个扇形的面积是（）A.6πB.3πC.12πD.2π7.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（）A.15πB.24πC.30πD.39π8.△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠BOC的度数为（）A.20°B.40°C.80°D.160°9.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和5，圆心距O1O2=8，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离10.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，若CD=3，AD=1，则BD的长为（）A.3B.6C.9D.12（此处应有图，显示直径AB，点C在圆上，CD垂直AB于D）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.圆的对称轴是_________________，它有_________条对称轴。12.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到弦AB的距离是_________。（此处应有图，显示圆O及弦AB）13.已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，当直线l经过点P且与OP垂直时，直线l与⊙O的位置关系是_____________。（用“相切”、“相交”或“相离”填空，需考虑不同情况）14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=110°，则∠C=_________度。（此处应有图，显示圆内接四边形ABCD）15.正六边形的边长为2，则它的外接圆的半径是_________，中心角是_________度。16.如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径为_________。（此处应有图，显示切线PA，PO交圆于B，其中B在P、O之间）三、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分8分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD交AB于点E，且AE=2，EB=8，∠CEA=30°，求CD的长。（此处应有图，显示直径AB，弦CD与AB交于E点，AE较短）18.（本小题满分10分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。（此处应有图，显示等腰三角形ABC，AB为直径的圆交BC于D，DE垂直AC）19.（本小题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，连接CD。（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=2，AB=4，求CD的长。（此处应有图，显示直径AB，BC为切线，OC平行AD，连接CD）20.（本小题满分12分）如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB=6cm。（1）求圆环（阴影部分）的面积；（2）若大圆的半径为5cm，求小圆的半径及弦AB所对的圆心角的度数（结果精确到度）。（此处应有图，显示两个同心圆，大圆弦AB切小圆于C）21.（本小题满分14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。过点Q作QE∥AC，交AB于点E。（1）用含t的代数式表示QE的长度；（2）设△PEQ的面积为Scm²，求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使以P、E、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。（此处应有图，显示Rt△ABC，点P在AC上，点Q在BC上，QE平行AC交AB于E）22.（本小题满分16分）已知：如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2√3。点C在弦AB所对的优弧上运动（不与点A、B重合）。（1）求∠ACB的度数；（2）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）当△ABC为等腰三角形时，求点C到直线AB的距离。（此处应有图，显示圆O及弦AB，点C在优弧AB上）参考答案与评分标准一、选择题（每小题3分，共30分）1.C2.B3.A4.D5.C6.A7.A8.C9.C10.C二、填空题（每小题3分，共18分）11.经过圆心的每一条直线，无数12.313.相切或相交（答对一种情况给1分，两种都对给3分）14.7015.2，6016.2.5（或5/2）三、解答题（共72分）17.（8分）解：连接OC………1分∵AE=2，EB=8∴AB=AE+EB=10∴OA=OB=OC=5………2分∴OE=OA-AE=5-2=3………3分在Rt△OEC中，∠CEA=30°即∠OEC=30°∴OC=2OE？不对，是直角边OE所对的角为30°，则OC是斜边。∴CE=√(OC²-OE²)=√(5²-3²)=4………5分（或利用三角函数：cos∠OEC=OE/OC，CE=OC·sin∠OEC=5·sin30°=2.5？此步错误，∠OEC=30°，对边是OC？不，OE=3，∠OEC=30°，则OC为斜边，所以OE=OC·cos30°？题目给出的是∠CEA=30°，即∠OEC=30°，OE=3，OC=5，所以CE²+OE²-2·CE·OE·cos30°=OC²？不，应该是过O作OH⊥CD于H，则可用垂径定理。啊，我之前的辅助线连接OC后，直接用勾股定理是对的，因为CD⊥AB于E？题目中“∠CEA=30°”，并未说CD⊥AB。哎呀，我审题失误了！【正确解法】连接OC，过O作OH⊥CD于H，则CH=HD=1/2CD………2分∵AE=2，EB=8∴AB=10，OA=5，OE=OA-AE=3………3分在Rt△OEH中，∠OEH=30°，OE=3∴OH=OE·sin30°=3×1/2=1.5(或3/2)………5分在Rt△OHC中，OC=5，OH=3/2∴CH=√(OC²-OH²)=√(5²-(3/2)²)=√(25-9/4)=√(91/4)=√91/2………7分∴CD=2CH=√91………8分（注：由于我最初审题错误，将∠CEA=30°当成了垂直，导致后续计算错误。上述为正确解法。如果原题图中确实有CD⊥AB的示意，则之前的解法CE=4，CD=8是对的。请根据实际图形判断。此处按原题文字描述“∠CEA=30°”进行修正。）18.（10分）证明：连接OD………1分∵AB=AC∴∠B=∠C………2分∵OB=OD∴∠B=∠ODB………3分∴∠ODB=∠C∴OD∥AC………5分∵DE⊥AC∴∠DEC=90°………6分∴∠ODE=∠DEC=90°即OD⊥DE………8分∵OD是⊙O的半径………9分∴DE是⊙O的切线………10分19.（12分）（1）证明：连接OD………1分∵OC∥AD∴∠1=∠ADO，∠2=∠DAO………2分∵OA=OD∴∠ADO=∠DAO∴∠1=∠2………3分在△OBC和△ODC中OB=OD，∠1=∠2，OC=OC∴△OBC≌△ODC(SAS)………5分∴∠OBC=∠ODC………6分∵BC切⊙O于点B∴∠OBC=90°………7分∴∠ODC=90°∴CD是⊙O的切线………8分（2）解：∵AB是直径，AD=2，AB=4∴OA=OD=2=AD∴△AOD是等边三角形∴∠DAO=60°∴∠2=∠DAO=60°………9分在Rt△OBC中，tan∠2=BC/OB∴BC=OB·tan60°=2·√3=2√3………11分由（1）知△OBC≌△ODC∴CD=BC=2√3………12分（或：在Rt△ODC中，OD=2，∠2=60°，则CD=OD·tan60°=2√3）20.（12分）解：（1）连接OC、OA∵AB切小圆于C∴OC⊥AB，且OC为小圆半径………2分∴AC=BC=1/2AB=3cm………3分圆环面积S=π·OA²-π·OC²=π(OA²-OC²)在Rt△OAC中，OA²-OC²=AC²=9………5分∴S=9πcm²………6分（2）∵大圆半径OA=5cm，AC=3cm∴OC=√(OA²-AC²)=√(25-9)=4cm即小圆半径为4cm………8分sin∠AOC=AC/OA=3/5=0.6∴∠AOC≈37°………10分∴∠AOB=2∠AOC≈74°即弦AB所对的圆心角约为74°………12分21.（14分）解：（1）∵QE∥AC∴△BQE∽△BCA………1分∴QE/AC=BQ/BC∵AC=6，BC=8，CQ=2t，∴BQ=BC-CQ=8-2t………2分∴QE/6=(8-2t)/8解得QE=(6(8-2t))/8=(48-12t)/8=(12-3t)/2=6-1.5t………4分（2）过P作PF⊥QE于F由题意得：AP=t，PC=6-t，CQ=2t∵QE∥AC，∠C=90°∴四边形PCEF是矩形（或利用QE与AC间距离为CQ）∴PF=CQ=2t………6分S=1/2·QE·PF=1/2·(6-1.5t)·2t=(6-1.5t)t=6t-1.5t²即S=-(3/2)t²+6t(0<t<4)………8分（3）存在。∵QE∥AC∴∠PQE=∠C=90°要使△PEQ与△ABC相似，则有两种情况：①PQ/AB=QE/BC………9分PQ=√(PC²+