人教版小学五年级上册第七章数学广角植树问题知识点及习题

一、引言植树问题是小学数学中一个经典的趣味问题，它不仅能锻炼我们的数学思维，还能帮助我们理解生活中许多类似的现象。本章我们将深入探讨植树问题的几种基本类型，掌握其内在规律，并通过练习加以巩固。二、核心知识点梳理（一）理解“间隔”的含义在植树问题中，“间隔”是一个非常重要的概念。它指的是两棵树之间的距离，或者更广义地说，是两个相邻物体之间的距离或空隙。例如，我们排队时，每个人之间的距离就是一个间隔；路边的路灯，每两盏灯之间的距离也是一个间隔。（二）植树问题的基本类型及规律植树问题主要有以下几种情况，我们需要根据不同的情境判断属于哪一种类型，再应用相应的规律求解。1.**两端都栽的情况***情境描述：在一条直线形的路的两端都要栽上树。*规律探究：我们来思考一下，如果这条路长10米，每隔2米栽一棵树（两端都栽）。那么，间隔数=总长÷间距=10÷2=5个间隔。这时候，树的棵数是多少呢？我们可以画个简单的示意图：树__树__树__树__树__树可以看到，5个间隔对应了6棵树。*公式总结：*棵数=间隔数+1*间隔数=总长÷间距*（总长=间距×间隔数，间距=总长÷间隔数）2.**只栽一端的情况***情境描述：在一条直线形的路的一端栽树，另一端不栽。（这种情况也常见于封闭图形的植树问题的理解基础）*规律探究：同样假设路长10米，每隔2米栽一棵树（只栽一端，比如只在路的起点栽）。间隔数依然是10÷2=5个。示意图：树__树__树__树__树这时候，5个间隔对应了5棵树。*公式总结：*棵数=间隔数*间隔数=总长÷间距*（总长和间距公式同上）3.**两端都不栽的情况***情境描述：在一条直线形的路的两端都不栽树。*规律探究：还是路长10米，每隔2米栽一棵树（两端都不栽）。间隔数还是10÷2=5个。示意图：__树__树__树__树__这时候，5个间隔对应了4棵树。*公式总结：*棵数=间隔数-1*间隔数=总长÷间距*（总长和间距公式同上）4.**封闭图形上的植树问题***情境描述：在一个封闭的图形（如正方形、长方形、圆形、三角形等）的边上植树。*规律探究：这种情况可以想象成将直线形的路的两端连接起来，形成一个闭环。此时，起点和终点重合，相当于“只栽一端”的情况的一种特殊形式。例如，一个周长为10米的正方形池塘，每隔2米栽一棵树。间隔数=周长÷间距=10÷2=5个。由于是封闭图形，栽树的棵数就等于间隔数。*公式总结：*棵数=间隔数*间隔数=封闭图形的周长÷间距*（周长=间距×间隔数，间距=周长÷间隔数）（三）解题关键步骤1.分析题意：仔细阅读题目，明确是哪一种类型的植树问题（两端都栽、只栽一端、两端都不栽、封闭图形）。这是解决问题的前提。2.确定“总长”和“间距”：找到题目中给出的总长度（如路长、周长）和每两棵树之间的距离（间距）。有时这两个量不是直接给出的，需要通过计算得到。3.计算“间隔数”：根据公式“间隔数=总长÷间距”（或“间隔数=周长÷间距”）求出间隔数。4.根据类型求“棵数”：利用不同类型对应的“棵数”与“间隔数”的关系公式，求出最终需要栽树的棵数。5.注意特殊情况：有些题目可能会涉及“路的两旁都栽树”，此时需要将一旁的棵数乘以2。三、典型习题演练（一）基础巩固题1.填空题(1)在一条20米长的小路一旁栽树，每隔4米栽一棵（两端都栽），一共要栽（）棵树。(2)一个圆形花坛的周长是24米，现在要在花坛边上每隔3米摆一盆月季花，一共需要摆（）盆月季花。(3)一根木头，要把它锯成5段，需要锯（）次。（提示：锯成的段数相当于间隔数）2.选择题(1)学校有一条长30米的走道，计划在道路一旁栽树，每隔6米栽一棵（两端都不栽），共需栽（）棵。A.4B.5C.6(2)一个正方形操场，每边都栽有5棵树（四个角各栽一棵），四边一共栽了（）棵树。A.20B.16C.123.解决问题(1)在一条长48米的街道一旁安装路灯，每隔6米安装一盏（两端都要安装），一共要安装多少盏路灯？(2)公园里有一条小径长36米，在它的一旁从头到尾每隔6米插一面彩旗，一共要插多少面彩旗？如果小径两旁都插，一共要插多少面？（二）变式提高题1.一根钢管长18米，要把它锯成每3米一段，每锯一次需要2分钟，全部锯完需要多少分钟？2.为迎接校庆，同学们在一条长50米的走廊一侧悬挂气球，每隔2米挂一个，起点和终点都挂，一共需要准备多少个气球？如果现在有20个气球，并且起点终点都挂，那么每两个气球之间的距离是多少米？3.一个圆形的人工湖周长为40米，现在要在湖边每隔5米种一棵柳树，每两棵柳树之间种一棵桃树。柳树和桃树各种了多少棵？（三）思考题1.小学生进行队列表演，排成一个正方形队列。如果这个队列横竖每行都是8人，那么最外层一共有多少名学生？整个队列一共有多少名学生？（提示：最外层人数可看作是封闭图形的植树问题）2.时钟4点钟敲4下，用了6秒钟敲完。那么8点钟敲8下，需要几秒钟敲完？（提示：敲钟的间隔数比敲的次数少1）四、参考答案与思路点拨（一）基础巩固题1.填空题(1)间隔数：20÷4=5（个），两端都栽：棵数=5+1=6（棵）。答案：6。(2)封闭图形，棵数=间隔数=24÷3=8（盆）。答案：8。(3)锯成5段，间隔数为5段，锯的次数=间隔数-1=5-1=4（次）。答案：4。2.选择题(1)间隔数：30÷6=5（个），两端都不栽：棵数=5-1=4（棵）。答案：A。(2)每边5棵，四边共5×4=20棵，但四个角的树重复计算了一次，所以实际是20-4=16棵。也可理解为每边间隔数5-1=4，四边间隔数4×4=16，封闭图形棵数=间隔数=16。答案：B。3.解决问题(1)间隔数：48÷6=8（个），两端都安装：8+1=9（盏）。答：一共要安装9盏路灯。(2)间隔数：36÷6=6（个），从头到尾（两端都插）：6+1=7（面）。两旁都插：7×2=14（面）。答：一共要插7面彩旗；如果两旁都插，一共要插14面。（二）变式提高题1.思路：先求锯成的段数，再求锯的次数，最后求总时间。段数：18÷3=6（段），锯的次数：6-1=5（次），总时间：5×2=10（分钟）。答：全部锯完需要10分钟。2.思路：第一问是两端都挂的植树问题；第二问已知棵数和总长（隐含起点终点都挂，即两端都栽），求间距。第一问：间隔数=50÷2=25（个），气球数=25+1=26（个）。第二问：间隔数=20-1=19（个），间距=50÷19≈2.63米？不对，题目应该是整数。哦，50米和20个气球，起点终点都挂。间隔数=20-1=19，间距=50÷19，除不尽。可能题目数据应为57米？或者就是考察计算。按原题50米：50÷(20-1)=50/19米。如果是57米，则57÷19=3米。此处按原题50米作答。答：一共需要准备26个气球；每两个气球之间的距离是50/19米（或约2.63米）。（实际教学中可能会调整数据使结果为整数，此处仅按给定数据计算）3.思路：圆形湖是封闭图形，柳树棵数=间隔数。每两棵柳树间种一棵桃树，即桃树的棵数与柳树的间隔数相等，也就是与柳树棵数相等。柳树间隔数：40÷5=8（个），柳树棵数：8棵。桃树棵数：8棵。答：柳树种了8棵，桃树种了8棵。（三）思考题1.思路：最外层人数，可将正方形的四条边看作封闭图形，每边8人，四个角的人重复计算。或者每边间隔数为8-1=7，四边间隔数7×4=28，即最外层人数28人。整个队列人数是8×8=64人。最外层间隔数：(8-1)×4=28（个），最外层人数（相当于封闭图形棵数）：28名。整个队列人数：8×8=64（名）。答：最外层一共有28名学生，整个队列一共有64名学生。2.思路：敲钟问题，时间间隔数=敲钟次数-1。先求每次间隔时间，再求敲8下的总时间。敲4下间隔数：4-1=3（个），每个间隔时间：6÷3=2（秒）。敲8下间隔数：8-1=7（个），总时间：7×2=14（秒）。答：需要14秒钟敲完。四、拓展思考植树问题的思想方法不仅适用于“栽树”，还广泛应用于生活中的其他场景，例如：*安装路灯：相当于两端都栽或封闭图形。*摆放花盆：根据摆放位置判断类型。*锯木头：锯的次数=段数-1（相当于两端都不栽的间隔数与棵数关系）。*爬楼梯：爬到N楼，走的楼梯段数=N-1（相当于两端都栽，棵数是楼层数，间隔数是楼梯段数）。*队列问题：方阵外层人数计算。*敲钟报时：间隔数=