第二课时　集合的表示及区间课件2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第二课时集合的表示及区间目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同

的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日

快樂”，英文为“HappyBirthday”……【问题】

对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？

知识点一

列举法把集合中的元素

出来（相邻元素之间用

⁠分

隔），并写在

内，以此来表示集合的方法称为列举法.一一列举逗号

大括号提醒

使用列举法表示集合的四个注意点：①元素间用“，”分隔

开，其一般形式为{

a1，

a2，…，

an

}；②元素不重复，满足元素的互

异性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含有有限个元素且

个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且

集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列

举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.知识点二描述法这种表示集合的方法，称为

，简称为描述法.特征性质描述法【想一想】集合

A

＝{

x

｜

x

－1＝0}与集合

B

＝{1}表示同一个集合吗？提示：

A

＝{

x

｜

x

－1＝0}＝{1}与集合

B

表示同一个集合.知识点三区间的概念及表示1.区间定义及表示设

a

，

b

是两个实数，而且

a

＜

b

.（

a

，

b

）

定义名称符号数轴表示{

x

｜

a

≤

x

≤

b

}闭区间[

a

，

b

]

{

x

｜

a

＜

x

＜

b

}开区间

⁠

定义名称符号数轴表示{

x

｜

a

≤

x

＜

b

}半开半闭区间

⁠

{

x

｜

a

＜

x

≤

b

}半开半闭区间

⁠

[

a

，

b

）

（

a

，

b

]

2.无穷的概念及无穷区间的表示定义R{

x

｜

x

≥

a

}{

x

｜

x

＞

a

}{

x

｜

x

≤

a

}{

x

｜

x

＜

a

}符号（－∞，

＋∞）

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠（－∞，

a

）[

a

，＋

∞）

（

a

，

＋∞）

（－

∞，

a

]

【想一想】1.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间

表示.2.“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可

以是中括号吗？提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.所以“－∞”

或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.

A.{（1，－1），（－1，1）}B.{（1，1），（－1，1）}C.{（1，－1），（－1，－1）}D.∅

2.集合{

x

∈N｜

x

－2＜3}用列举法表示是（

）A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4，5}C.{0，1，2，3，4，5}D.{0，1，2，3，4}解析：

由题知{

x

∈N｜

x

－2＜3}＝{

x

∈N｜

x

＜5}＝{0，1，

2，3，4}.故选D.

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一用列举法表示集合【例1】

（链接教科书第9页练习A组3题）用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数组成的集合；解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于

0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.（2）方程

x3＝

x

的所有实数解组成的集合；解：方程

x3＝

x

的解是

x

＝0或

x

＝1或

x

＝－1，所以方程的

解组成的集合为{0，1，－1}.（3）直线

y

＝2

x

＋1与

y

轴的交点所组成的集合.解：将

x

＝0代入

y

＝2

x

＋1，得

y

＝1，即交点是（0，1），故交点组成的集合是{（0，1）}.通性通法用列举法表示集合的3个步骤（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来.提醒

用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次

序，且元素与元素间用“，”隔开.【跟踪训练】（多选）下列集合中，可以表示为{2，3}的是（

）A.方程

x2＋5

x

＋6＝0的解集B.最小的两个质数C.大于1小于4的整数

题型二用描述法表示集合【例2】

（链接教科书第9页练习A组4题）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合；解：根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为

{

x

｜

x

＝3

n

＋1，

n

∈N}.（2）坐标平面内第一象限的点的集合；解：第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可

表示为{（

x

，

y

）｜

x

＞0，

y

＞0}.（3）大于4的所有偶数.解：偶数可表示为2

n

，

n

∈Z，又因为大于4，故

n

≥3，

从而用描述法表示此集合为{

x

｜

x

＝2

n

，

n

∈Z且

n

≥3}.通性通法1.描述法表示集合的2个步骤2.选用列举法或描述法的原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是

能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合

中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简

单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元

素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.【跟踪训练】1.集合

A

＝{

x

∈N｜

xy

＝16，

y

∈N}的元素个数为（

）A.3B.4C.5D.6解析：

因为

x

∈N，

y

∈N，

xy

＝16，所以

x

，

y

是16的因数，所

以

x

的取值有：1，2，4，8，16，共5个元素，故选C.2.用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合

A

＝

⁠

⁠.解析：被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，因此

A

＝{

n

｜

n

＝4

k

＋3，

k

∈N}.{

n

｜

n

＝4

k

＋3，

k

∈N}

题型三区间及其表示【例3】

（链接教科书第9页练习A组5题）将下列集合用区间及数轴

表示出来：（1）{

x

｜

x

＜2}；解：

{

x

｜

x

＜2}用区间表示为（－∞，

2），用数轴表示如下：（2）{

x

｜

x

≥3}；解：

{

x

｜

x

≥3}用区间表示为[3，＋

∞），用数轴表示如下：（3）{

x

｜－1≤

x

＜5}.解：

{

x

｜－1≤

x

＜5}用区间表示为[－1，5），用数轴表

示如下：通性通法用区间表示数集的原则和方法（1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区

间的开闭不能弄错；（2）用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字（或字

母）之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实

心点与空心点的区别.【跟踪训练】1.不等式

x

－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（

）A.[2，＋∞]B.[2，＋∞）C.（－∞，2）D.（－∞，2]解析：

不等式

x

－2≥0的所有解组成的集合为{

x

｜

x

≥2}，表示

成区间为[2，＋∞）.2.已知△

ABC

的两边长

AB

＝2，

BC

＝3，则第三边

AC

的长的取值范

围用区间表示为

⁠.解析：因为△

ABC

的两边长

AB

＝2，

BC

＝3，所以

BC

－

AB

＜

AC

＜

AB

＋

BC

，即1＜

AC

＜5.（1，5）题型四集合与方程的综合问题【例4】

（1）若集合

A

＝{

x

∈R｜

ax2＋2

x

＋1＝0，

a

∈R}中只有一

个元素，则

a

＝（

D

）A.1B.2C.0D.0或1

【母题探究】（变条件）若本例（1）中“只有一个元素”变为“至少有一个元

素”，求

a

的取值范围.

通性通法集合与方程综合问题的解题策略（1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，

求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于

方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0，当

a

＝0，

b

≠0时，方程有一个解；当

a

≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程

无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根；（2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数

（含参数）的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进

而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的

讨论中的作用.【跟踪训练】

已知集合

A

＝{

x

｜

mx2－3

x

＋2＝0}.（1）若

A

是单元素集，求

m

的值及集合

A

；

（2）求集合

P

＝{

m

｜

m

使得

A

至少含有一个元素}.

以实际问题为背景的集合问题幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验.每年，家有即将

幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，

所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区

今年率先发布了幼升小入学政策：（1）本市户籍适龄儿童入学.凡年满6周岁（2018年8月31日以前

出生）的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证（监护人

持有）的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登

记入学.（2）非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东

城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登

记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市

非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育

的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区

内多校划片入学.该市东城区2024年的入学顺位可以参考2023年公布的入学顺位

说明：第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父

或母”；第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户

口”；第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或

其父或母”；第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或

母”；第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；第七顺序：“本片户口＋‘（外）曾祖父’房屋产权”.1.若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合

A

，某儿童

a

具有该

市户口（非本区），

a

是集合

A

的元素吗？提示：

a

不一定是

A

中的元素，由于

a

不是东城区户口，还需满足房

屋产权所有人为儿童本人或其父或母.【问题探究】2.某儿童

b

的父母在东城区有房屋产权，则

b

是集合

A

中的元素吗？提示：

b

不一定是

A

中的元素，因为

b

不一定具有本片区户口.【迁移应用】给定数集

A

，若对于任意

a

，

b

∈

A

，有

a

＋

b

∈

A

，且

a

－

b

∈

A

，则称集合

A

为闭集合.判断集合

A

＝{－4，－2，0，2，4}，

B

＝

{

x

｜

x

＝3

k

，

k

∈Z}是不是闭集合，并给出证明.解：因为4∈

A

，4＋4＝8∉

A

，所以

A

不是闭集合；任取

a

，