不等式及其性质课件2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.1不等式及其性质新课程标准解读核心素养理解不等式的概念，掌握不等式的性质数学抽象、逻辑

推理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

【问题】

不等式还有哪些重要的性质呢？

知识点一

比较实数

a

，

b

的大小1.

a

－

b

＜0⇔

⁠.2.

a

－

b

＝0⇔

⁠.3.

a

－

b

＞0⇔

⁠.a

＜

b

a

＝

b

a

＞

b

【想一想】1.在比较两实数

a

，

b

大小的依据中，

a

，

b

两数是任意实数吗？提示：是.2.

p

⇔

q

的含义是什么？提示：

p

⇔

q

的含义是：

p

可以推出

q

，

q

也可以推出

p

，即

p

与

q

可

以互推（等价）.

＞

＞

＜

＞

b

＜

a

＞

＞

＞

＞

＞

【想一想】1.若

a

＞

b

，

c

＞

d

，那么

a

＋

c

＞

b

＋

d

成立吗？

a

－

c

＞

b

－

d

呢？提示：

a

＋

c

＞

b

＋

d

成立，

a

－

c

＞

b

－

d

不一定成立，但

a

－

d

＞

b

－

c

成立.2.若

a

＞

b

，

c

＞

d

，那么

ac

＞

bd

成立吗？提示：不一定，但当

a

＞

b

＞0，

c

＞

d

＞0时，一定成立.

1.设

M

＝（

x

－1）（

x

－5），

N

＝（

x

－3）2，则

M

与

N

的大小关系

是（

）A.

M

＜

N

B.

M

＞

N

C.

M

＝

N

D.不能确定解析：

由

M

＝（

x

－1）（

x

－5），

N

＝（

x

－3）2，则

M

－

N

＝（

x

－1）（

x

－5）－（

x

－3）2＝（

x2－6

x

＋5）－（

x2－6

x

＋

9）＝－4＜0，所以

M

＜

N

.

故选A.2.对于实数

a

，

b

，

c

，下列命题中是真命题的是（

）A.若

a

＞

b

，则

ac2＞

bc2

3.已知

a

＋

b

＞0，

b

＜0，那么

a

，

b

，－

a

，－

b

的大小关系是

⁠

（用“＞”连接）.解析：如图，在数轴上分别找出四个数所对应

的点，从左往右所对应的数依次变大.即－

a

＜

b

＜0＜－

b

＜

a

.a

＞－

b

＞

b

＞－

a

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一作差法比较大小【例1】

（1）已知

t

＝2

a

＋2

b

，

s

＝

a2＋2

b

＋1，则（

C

）A.

t

＞

s

B.

t

≥

s

C.

t

≤

s

D.

t

＜

s

解析：t－

s

＝（2

a

＋2

b

）－（

a2＋2

b

＋1）＝－（

a

－1）2≤0，故

t

≤

s

.故选C.

a

＜b

通性通法作差法比较大小的步骤【跟踪训练】1.已知

x

≠2，

y

≠－1，

M

＝

x2＋

y2－4

x

＋2

y

，

N

＝－5，则

M

与

N

的

大小关系是（

）A.

M

＞

N

B.

M

＜

N

C.

M

＝

N

D.不能确定解析：

因为

M

－

N

＝

x2＋

y2－4

x

＋2

y

＋5＝（

x

－2）2＋（

y

＋

1）2，且

x

≠2，

y

≠－1，所以

M

－

N

＞0，所以

M

＞

N

，故选A.

a

≥

b

题型二利用不等式性质判断命题的真假【例2】

若实数

a

，

b

，

c

满足

a

＞

b

＞

c

，则下列不等式正确的是

（

）A.

a

＋

c

＞

b

B.

a

｜

c

｜＞

b

｜

c

｜

通性通法运用不等式的性质判断命题真假的技巧（1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱

化条件，尤其是不能随意捏造性质；（2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取

值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简

单，便于验证计算.【跟踪训练】（多选）下列命题正确的是（

）A.若

a2＞

b2，则

a

＞

b

C.若

ac2＞

bc2，则

a

＞

b

题型三利用不等式性质求代数式的值或范围【例3】

（1）已知1＜

a

＜4，2＜

b

＜8，试求2

a

＋3

b

与

a

－

b

的取

值范围；解：∵1＜

a

＜4，2＜

b

＜8，∴2＜2

a

＜8，6＜3

b

＜24.∴8＜2

a

＋3

b

＜32.∵2＜

b

＜8，∴－8＜－

b

＜－2.又∵1＜

a

＜4，∴1＋（－8）＜

a

＋（－

b

）＜4＋（－2），即－7＜

a

－

b

＜2.故2

a

＋3

b

的取值范围是（8，32），

a

－

b

的取值范围是（－

7，2）.（2）已知－1≤

a

＋

b

≤1，1≤

a

－2

b

≤3，求

a

＋3

b

的取值范围.

通性通法利用不等式的性质求代数式范围的策略（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等

式的性质进行运算，求得待求的范围；（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是

等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩

大其取值范围.

（－3，4）

题型四利用不等式性质证明不等式

（2）用反证法证明：

n2＋3

n

（

n

∈N*）为偶数.证明：假设

n2＋3

n

（

n

∈N*）为奇数，因为

n2＋3

n

＝

n

（

n

＋3），所以

n

与

n

＋3均为奇数，所以

n

＋

n

＋3为偶数，而

n

＋

n

＋3＝2

n

＋3为奇数，所以假设不成立.故

n2＋3

n

（

n

∈N*）为偶数.通性通法

利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点（1）实质：就是根据性质把不等式变形；（2）注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确

地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成

立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质

与法则.证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式

可以灵活选择分析法与反证法.【跟踪训练】（1）设

a

≥

b

＞0，求证：

a3＋

b3≥

a2

b

＋

ab2；证明：（

a3＋

b3）－（

a2

b

＋

ab2）＝（

a3－

a2

b

）＋（

b3－

ab2）＝

a2（

a

－

b

）＋

b2（

b

－

a

）＝（

a2－

b2）（

a

－

b

）＝（

a

＋

b

）（

a

－

b

）2，又

a

＞0，

b

＞0，∴

a

＋

b

＞0，而（

a

－

b

）2≥0，∴（

a

＋

b

）（

a

－

b

）2≥0，故（

a3＋

b3）－（

a2

b

＋

ab2）≥0，即

a3＋

b3≥

a2

b

＋

ab2.

实际问题中的不等关系

糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效.可以作为糖水的材料有很

多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性.

根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果.专家称，

喝糖水可缓解烦躁失眠.在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生

大量血清素，亦可助眠.【问题探究】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？（1）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；

（2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到

的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；

（3）如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.

【迁移应用】

建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按

采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个

比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板

面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？

1.已知0＜

a1＜1，0＜

a2＜1，记

M

＝

a1

a2，

N

＝

a1＋

a2－1，则

M

与

N

的大小关系是（

）A.

M

＜

N

B.

M

＞

N

C.

M

＝

N

D.

M

≥

N

解析：

∵0＜

a1＜1，0＜

a2＜1，∴－1＜

a1－1＜0，－1＜

a2－1

＜0，∴

M

－

N

＝

a1

a2－（

a1＋

a2－1）＝

a1

a2－

a1－

a2＋1＝

a1（

a2

－1）－（

a2－1）＝（

a1－1）（

a2－1）＞0，∴

M

＞

N

.

2.若

abcd

＜0，且

a

＞0，

b

＞

c

，

d

＜0，则（

）A.

b

＜0，

c

＜0B.

b

＞0，

c

＞0C.

b

＞0，

c

＜0D.0＜

c

＜

b

或

c

＜

b

＜0解析：

由

a

＞0，

d

＜0，且

abcd

＜0，知

bc

＞0，又∵

b

＞

c

，

∴0＜

c

＜

b

或

c

＜

b

＜0.故选D.3.已知1≤

a

≤2，－1≤

b

≤4，则

a

－2

b

的取值范围是（

）A.－7≤

a

－2

b

≤4B.－6≤

a

－2

b

≤9C.6≤

a

－2

b

≤9D.－2≤

a

－2

b

≤8解析：

因为－1≤

b

≤4，所以－8≤－2

b

≤2，由1≤

a

≤