二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）课件2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3

二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时

第二章一元二次函数、方程与不等式学习目标1.了解一元二次不等式的概念和一般形式2.能理解三个二次的关系，并能够利用这种关系求解一元二次不等式问题导入任务1

一元二次不等式的概念

思考：在初中数学学习中，我们依托一次函数的视角探究一元一次方程与一元一次不等式，厘清三者蕴含的内在逻辑关联。借助这一联系，能够简化思路，更为便捷地求解相关问题。

y=x-1-11方程x-1=0的解为x=1不等式x-1>0的解为x>1不等式x-1>1的解为x>2对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，他们的联系又是怎样的呢？y=ax2+bx+cax2+bx+c=0

x2+bx+c>0

y=x+1-11方程x+1=0的解为x=-1不等式x+1>0的解为x>-1不等式x+1>1的解为x>0问题导入

设矩形的一边长为x

m，则另一边长为(12－x)

m，由题意，得(12－x)x>20,0<x<12.求得该不等式的解集，就得到了问题的答案．

整理得x2－12x＋20＜0，x∈｛x|0＜x＜12｝．探究新知

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.概念生成

一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.例如，刚刚问题中得到的x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}就是一个一元二次不等式.那么，如何求解这个不等式呢？如何理解一元二次不等式中的“一元”与“二次”？探究新知思考

类比一次函数与一元一次不等式的联系，我们能否依托二次函数研究一元二次不等式，进而得出一元二次不等式的求解方法？以前面的x2－12x＋20＜0和y=x2－12x＋20为例．一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使得ax2+bx+c=0的实数x叫做函数y=ax2+bx+c的零点.实数根x1=2,x2=10y=x2－12x＋20x2－12x＋20=0零点x1=2,x2=10任务2

一元二次不等式的解法探究新知零点x1=2，x2=10将x轴分成三段.x2－12x＋20＜0y=x2－12x＋20x2－12x＋20=0x2－12x＋20＞0∆＞0，∆=0，∆＜0探究新知

上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)和ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集.首先求出一元二次方程ax2+bx+c=0的根，再根据二次函数图像求解.一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根∆=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c的零点对应二次函数图象三种情况0

0

0

探究新知二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系＞00＜0（＞0）的图象=0（＞0）的根

＞0）的解集

＜0（＞0）的解集

0

0

0

没有实数根

RØØ

例题讲解例1求不等式x2-5x-6＞0的解集.解:对于方程x2-5x-6=0,因为∆＞0，所以它有两个实数根.解得x1=-1，x2=6.画出二次函数y=x2-5x-6的图象.结合图像，可知不等式x2-5x-6＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞6}.-16yx-6例题讲解例2求不等式9x2-6x+1＞0的解集.解:对于方程9x2-6x+1=0,因为∆=0，所以它有两个相等的实数根.解得

.画出二次函数y=9x2-6x+1的图象，结合图像得不等9x2-6x+1＞0的解集为

.0.20.6yx0.4y=9x2-6x+1例题讲解例3求不等式-x2+2x-3＞0的解集.解:不等式x2-2x+3＜0.画出二次函数y=x2-2x+3的图象.结合图象得不等式x2-2x+3＜0的解集为Ø，因此，原不等式的解集为Ø.因为∆=-8＜0，所以方程x2-2x+3=0无实数根.26yx43方法归纳用二次函数解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)和ax2+bx+c＜0(a＞0)的一般步骤：(1)检查二次项系数a的符号，对于a<0的一元二次不等式，把它的二次项系数化为正数；(2)计算判别式∆的值.如果∆≥0,求方程ax2+bx+c=0的根；如果∆<0,说明方程ax2+bx+c=0无实数根；(3)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，结合图象得出不等式的解集.方法归纳解不含参数的一元二次方程式的步骤变形求根求解画图通过变形化成标准的一元二次不等式的形式（要求二次项系数为正且不等式的右边为0）

画出对应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中

方法归纳用框图表示求解过程：将原不等式化成的形式计算的值方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，解得x1，x2(x1＜x2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，解得方程x2+bx+c=0没有实数根原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}原不等式的解集为原不等式的解集为R探究新知例4

解不等式x2－2x－k2+1⩾0.思考:

该不等式与我们例1~3求解过的不等式,有什么异同点?

在解决该题目时需要注意什么?答:与前面我们求解的不等式的相同点在于,都是一元二次不等式;不同的地方在于,前面的不等式对应的方程的解的个数是确定的,本题中的不等式是含参数的,对应一元二次方程x2－2x－k2+1=0的Δ=4k2,可能为0,也可能为正,方程的解的个数不确定.在解决该问题时,需要注意分类讨论,通过分类讨论将方程的解的个数确定下来.探究新知例4

解不等式x2－2x－k2+1⩾0.解：原不等式变形为（x+k－1）(x－k－1)⩾0,方程（x+k－1）(x－k－1)＝0的两根为x1=－k+1，x2=k+1.①若k=0,则x1=

x2

,此时不等式的解集为R②若k>0,则x1<

x2

,此时不等式的解集为{x|x

⩽－k+1

或x

⩾k+1}③若k<0,则x1>

x2

,此时不等式的解集为{x|x

⩽k+1

或x

⩾－k+1}练一练

（1）2x2－x－1>0；解：2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，

则由2x2－x－1=0，得(2x＋1)(x－1)=0，解得x1

=1或

，画出二次函数y=2x2－x－1的图象，结合图像得不等2x2－x－1＞0的解集为{x|或x

>1}.2-1yx-131、求下列不等式的解集：练一练

（2）-6x2-x+2≤0；解：不等式可化为6x2+x-2≥0，

则由6x2+x-2=0，得(2x-1)(3x+2)=0，解得

或

，画出二次函数y=6x2+x-2的图象，结合图像得不等6x2+x-2≥0的解集为{x|或

}.2-1yx-13练一练(3)6x-x2＜0.

方程x2－6x=0有两个不同的实数根

yx

练一练(4)(3－x)(x＋2)≤0.原不等式可化为(x－3)(x＋2)≥0.方程(x－3)(x＋2)＝0的两根为x1＝-2，x2＝3.结合二次函数y＝(x－3)(x＋2)的图象知原不等式的解集为{x|x≤－2,或x≥3}.yx3-2

ACA练一练

-1-6

练一练练一练5、已知f(x)=x²+3x−a．(1)若f(x)<0的解集为{x|−4<x<b}，求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式f(x)>ax+2a．解:(1)因为f(x)<0的解集为{x|−4<x<b}，所以x=−4为方程f(x)=0的根，所以(−4)²+3×(−4)−a=0，解得a=4，所以由f(x)=x²+3x−4<0，解得{x|−4<x<1}，所以b=1;(2)f(x)>ax+2a等价于x2+(3−a)x−3a>0，整理得：(x+3)(x−a