空间向量的数量积运算课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.类比平面向量，说出空间向量夹角、数量积定义，会计算两向量数量积；2.类比平面向量，说出空间向量数量积几何意义；3.会转化、画出空间向量投影，解释向量在向量/直线/平面上投影的含义;4.会运用空间向量数量积及其运算律求解简单的立体几何问题.学习目标温故知新空间向量及其线性运算定义表示特殊的空间向量零向量单位向量相反向量共线（平行向量）相等向量空间向量的线性运算空间向量的相关概念加法运算减法运算数乘运算运算律平面向量及其线性运算类比空间向量的基本定理共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理第一章

空间向量与立体几何1.1

空间向量及其运算《普通高中教科书数学选择性必修第一册（人教A版2019）》1.1.2空间向量的数量积运算新知1：空间向量的数量积问题1：由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的线性运算与平面向量完全一致，进而我们通过类比学习了空间向量的线性运算.类比平面向量的运算，接下来我们应研究哪一种运算？有哪些研究内容？可以利用这种运算解决哪些几何问题？问题2：平面向量夹角和数量积的定义是什么？新知1：空间向量的数量积追问：由此，通过类比平面向量的数量积运算，你会如何定义空间向量的数量积呢？并完成以下表格.平面空间夹角数量积

类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积满足如下的运算律：新知1：空间向量的数量积（交换律）；,；

（分配律）.请同学们课后给出运算律的证明新知1：空间向量的数量积思考1.对于三个均不为0的数

，若

，则

．对于向量

，

，

，由

，你能得到

吗？如果不能，请举出反例．设

是非零向量，且

，求证：OBCA不能.①若a=0时，a·b=a·c=0，显然不满足b=c.②若a≠0时，新知1：空间向量的数量积思考2.对于三个均不为0的数

，若

，则

(或

)．对于向量

，

，若

，能不能写成

（或

）的形式？3.对三个不为0的数

,有

,对于向量,,,

成立吗？为什么?

2.

不能！因为没有定义向量的除法运算.3.不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和

a(b·c)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律.新知2：空间向量的投影向量思考

在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？如图1.1-11(1)，在空间，向量

向向量

投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面

内，进而利用平面上向量

的投影，得到与

向量共线的向量

，

，向量

称为向量

在向量上

的投影向量．图1.1-11(1)图1.1-11(2)新知2：空间向量的投影向量思考

在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？如图1.1-11(3)，向量

向平面

投影，就是分别由向量

的起点

和终点

作平面

的垂线，垂足分别为

，

，得到向量

，向量

称为向量

在平面

上的投影向量．这时，向量

，

的夹角就是向量

所在直线与平面

所成的角．AB(3)图1.1-11例题讲解D'C'B'DABCA'空间向量运算自带几何意义，可用向量运算求解立体几何问题。求线段长度：即求向量的模(目标向量用已知模和夹角的向量表示)mngl例题讲解巩固新知求异面直线所成角：即求两向量的夹角或其补角(目标向量用已知模和夹角的向量表示,先求数量积,再除以模之积)课本P8-1巩固新知课本P9-4巩固新知课本P10-7巩固新知证线线垂直：证明两向量的数量积为0(目标向量用已知模和夹角的向量表示)课本P10-7巩固新知证线线垂直：证明两向量的数量积为0(目标向量用已知模和夹角的向量表示)(法1)(法2)课本P10-9课堂小结空间向量的数量积运算空间两向量的数量积运算空间两向量的夹角定义性质运算律平面向量的数量积运算类比定义范围作用①求两向量的数量积②求线段长度(即求向量的模)③求异面直线所成角(即求向量的夹角或其补角)④证线线垂直(即证两向量数量积为0)⑤证线面垂直(即证两次线线垂直，同④)投影向量课堂小结空间向量的数量积运算空间两向量的数量积运算空间两向量的夹角定义性质运算律平面向量的数量积运算类比定义范围作用①求两向量的数量积②求线段长度(即求向量的模)③求异面直线所成角(即求向量的夹角或其补角)④证线线垂直(即证两向量数量积为0)⑤证线面垂直(即证两次线线垂直，同④)布置作业01