高中数学北师大版必修1《利用函数性质判定方程解的存在 》课件

利用函数性质判定方程解的存在数学北师大版高中数学

微课：中外古代数学家解方程的发展简史公元50年--100年一次方程、二次方程和正系数三次方程根的算法三次方程正根数值解法7世纪·隋唐·王孝通13世纪·南宋秦九韶给出了解任意次代数方程的正根解法。并在1247年发现了一元三次方程的求根公式。1824年挪威·阿贝尔证明了五次及以上方程是没有求根公式的。一次方程、二次方程的一般解法9世纪·阿拉伯花拉子米记载了费拉里的四次方程一般解法1545年·意大利卡尔达诺1541年·意大利塔尔塔利亚三次方程一般解法因此对于高次多项式方程及其它的一些方程，如求方程的根，有必要寻求其实数根的近似解的方法.

函数是应用广泛的数学模型，它是贯穿高中数学学习的一条主线，是高中数学的重要内容。它的应用主要反映在两个方面：一方面，在数学中，函数是基本的研究对象，与其他研究对象有着密切的联系，例如函数与方程；另一方面，在日常生活中，函数可以有效地描述、刻画、反映客观规律，用函数模型解决一些实际问题。通过本章的学习促进我们对函数的全面理解，加强应用数学的意识。函数应用数学应用：函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似值实际应用：函数建模实际问题的函数表示用函数模型解决实际问题1.学习本章前言，了解本章的知识框架和主要内容。2.探究方程的根与函数图像的关系,理解函数零点的定义，及三者之间的关系。3.探究函数零点存在满足的条件，并抽象总结出函数零点存在性定理，通过概念辨析，理解零点存在性定理。4.掌握判定方程的解（函数零点个数）的方法。一元一次方程的根和相应一次函数图像的关系方程的实数根就是函数与x轴交点的横坐标；y=3x+2xy01-1-112xy–4–3–2–1123–3–2–11234O(1)

x2+2x-3=0与y=x2+2x-3(2)

x2+2x+1=0与

y=x2+2x+1x1=-3,x2=1x1=x2=-1(-3,0)(1,0)(-1,0)一元二次方程的根就是相应二次函数的图像与x轴交点的横坐标。一元二次方程的根与相应二次函数图像的关系xy–4–3–2–1123–3–2–11234O一、方程的根与函数图像的关系1.一般地，方程f(x)=0的实数根就是相应函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.2.方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图像与x轴有交点.

二、函数的零点1.定义：函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．零点是实数，不是点。2.说明:练习.函数f(x)=x(x－4)的零点为(

)

A．(0，0)，(2，0) B．0C．(4，0)，(0，0)

D．4，0解：方程x(x－4)=0的根

得x=0或x=4.

求函数零点的方法：方程法图像法D(0,0)(4,0)xy4–3–2–1123–3–2–11234O3.函数的零点与函数的图像及方程的根三者之间有什么联系？

1.探究：观察右边四个函数在区间[a，b]上的图像，回答下列问题：（1）哪几个函数在(a，b)内有零点？（2）存在零点的函数图像有什么特点？（3）函数满足什么条件，在(a，b)内必有零点存在？

若函数y=f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线,且

成立，那么函数在区间(a,b)上有零点.f(a)·f(b)<0xyOabOyxbaOyxba④Oyxba三、函数零点存在性定理

若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解。xyOabOyxba

2.判断下列问题的对错？若对，说明理由，错，举出反例（可画图说明）（1）若函数满足f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a，b)内一定存在零点.（）（2）若函数图像连续，则函数在区间(a，b)内一定存在零点。（）（3）若函数y=f(x)在区间(a,b)内图像连续且f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a,b)内有唯一一个零点。（）（4）若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能有f(a)·f(b)<0成立。（）（5）若函数y=f(x)在区间(a,b)内f(a)·f(b)>0，则函数在区间(a,b)内一定

没有零点.（）3.那么函数y=f(x)满足什么条件，在(a,b)内存在唯一的一个零点？xyOabOyxbaOyxba结论:函数满足零点存在定理且区间[a，b]是单调函数，则函数在(a,b)内必有唯一一个零点.四、函数零点存在性定理应该注意的问题：(1)函数图像连续，

f(a)·f(b)<0

两个条件缺一不可。(2)函数零点存在性定理只能说明方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。(3)定理不可逆。(4)若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理及在区间[a,b]是单调函数，则这个函数在区间(a,b)内必有唯一的一个零点。练习.请你判定方程lnx+2x－6=0的解的个数。微课：练习题的讲解过程

由计算可知f(1)<0，f()>0，

从而f(1)·f()<0,∴函数f(x)在区间(0,+∞)内有唯一零点．246810–4–2246Oxy解：转化为考虑函数f(x)=lnx+2x－6零点个数问题．因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内图像是连续的,且是单调递增的。∴方程lnx+2x－6=0有唯一解。练习.请你判定方程lnx+2x－6=0的解的个数。f(x)=lnx+2x－6

方法一:函数零点存在性定理

由计算可知f(1)<0，f()>0，

从而f(1)·f()<0,246810–4–2246Oxy解：转化为考虑函数f(x)=lnx+2x－6与x轴交点的个数问题．因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内图像是连续的,且是单调递增的，函数图像与x轴只有一个交点。所以方程lnx+2x－6=0有唯一解。练习.请你判定方程lnx+2x－6=0的解的个数。f(x)=lnx+2x－6

方法二:图像法1x1234–11Oy6图像法2如图可知，两个函数只有一个交点，即方程lnx+2x－6=0有唯一实数解。y=lnxy=6-2x（2.72,1）（1,0）（0,6）（3,0）解：求方程lnx+2x-6=0的解的个数即求方程lnx=6-2x的解的个数转化为判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.练习.请你判定方程lnx+2x－6=0的解的个数。判定方程解（即函数零点个数）的主要方法：(1)方程法：直接解方程根。(2)定理法：利用零点存在定理判定方程解的存在（或函数零点的个数）．(3)图像法：画函数y＝f(x)的图像，观察它与x轴的交点个数，从而判定方程解的个数；或转化成两个函数图像的交点个数的问题．本节课我们学习了哪些内容？1个概念：函数的零点方程的根与函数的图像及函数