2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题01 锐角的正弦、余弦、正切、余切及任意角(解析版)

复习专题01锐角的正弦、余弦、正切、余切及任意角

如图，将直角三角形中ABC中（其中C90）A、B,C的对边边长

分别记作a,b,c．在初中我们已经知道，锐角A的正弦、余弦、正切、余切的定

义分别为

abab

sinA,cosA,tanA,cotA.

ccba

由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论：

sinA

sin2Acos2A1,tanA,

cosA

cosA1

cotA,cotA,

sinAtanA

sin90AcosA,cos90AsinA,

tan90AcotA,cot90AtanA.

1.角在数学中有两种定义：

（1）静态定义：

具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

例如，我们日常生活中看到的三角板的各个角，就是由两条从同一顶点出发的射线构成的。这种定义直观

地描述了角的几何形态，让我们能通过观察图形明确角的构成要素。

（2）动态定义：

一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶

点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。比如，时钟的指针旋转，指针从一个

时刻位置转到另一个时刻位置，就形成了角。这种定义从运动变化的角度进一步深化了对角的理解，能更

好地解释角的大小变化以及角在不同情境下的形成过程。

2.角的分类：

习惯上规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转

所形成的角为负角，其度量值是负的．特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，称为

零角．零角的始边与终边重合．这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括

超过360的角．

设角由射线OA绕端点O旋转而成，角b由射线OA绕端点O旋转而成．

角的相等如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称b．

我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的

相反角

相反角记为．

角的加法把角的终边旋转角b，这时终边所对应的角是b．

角的减法像实数减法的＂减去一个数等于加上这个数的相反数＂一样，我们有b(b)．

1.象限角与轴线叫的定义

为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使得角的顶点与坐标原点重合，角的

始边与x轴的正半轴重合:此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几

象限.如图，60°和420°都是第一象限的角，135°和-225°都是第二象限的角.当角的终边在坐标轴上时，

就不说这些角属于哪一象限.

为简单起见，在不引起混淆的前提下，＂角＂或＂＂可简记作＂＂．

我们可以把所有与角α的终边重合的角(包括角α本身)的集合表示为

2.象限角的集合表示

象限角角的集合表示

第一象限角|k360k36090,kZ

第二象限角|k36090k360180,kZ

第三象限角|k360180k360270,kZ

第四象限角|k360270k360360,kZ

3.轴线角的集合表示

角的终边位置角的集合表示

终边落在x轴的非负半轴上|k360,kZ

终边落在x轴的非正半轴上|180k360,kZ

终边落在x轴上|k180,kZ

终边落在y轴的非负半轴上|90k360,kZ

终边落在y轴的非正半轴上|90k360,kZ

终边落在y轴上|90k180,kZ

终边落在坐标轴上|k90,kZ

角角的集合表示

锐角A|090

0°~90°的角B|090

小于90°的角C|90

第一象限角D|k360k36090,kZ

题型一、特殊角的三角函数值

1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在Rt△ABC中，C90，B30，AB16，则BC的长是.

【答案】83

【知识点】特殊角的三角函数值

【分析】直接由锐角三角函数即可求解.

3

【详解】由题意ABcosBBC1683.

2

故答案为：83.

3

2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，cot，则.

3

【答案】60°

【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角

【分析】根据特殊角的余切求角即可.

3

【详解】因为cot且090，

3

所以60.

故答案为：60.

题型二、任意角的概念

3．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（）

A．60oB．30oC．30oD．60o

【答案】B

【知识点】任意角的概念

【分析】根据任意角的概念计算可得；

【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过30o，则分针转动角为30o.

故选：B.

4．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与4的终边重合，则的值可能是（）

π2π5π7π

A．B．C．D．

3333

【答案】B

【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角

【分析】根据已知有432kπ,kZ，即可判断可能值.

2

【详解】由题设432kπ,kZ，可得kπ,kZ，

3

2π

所以各选项中只有满足.

3

故选：B

5．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象

限的角；③若090，则是第一象限的角；④小于90的角是锐角．其中错误的序号是．

【答案】②④

【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角、任意角的概念

【分析】根据角的定义和象限角的概念得到答案.

π7π

【详解】①终边相同的角不一定相等，比如,终边相同，①正确；

33

π4ππ4π

②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如,，>，②错误；

3333

③若090，则是第一象限的角，③正确；

④不妨考虑0，小于90，但0不是锐角，④错误.

故选：②④

题型三、找出终边相同的角

6．（24-25高一下·上海·阶段练习）以下四个命题中，正确的是（）.

A．若coscosb，则与b的终边相同

ìpüì2pü

B．íkp,kZýíbbkp,kZý

î3þî3þ

p

C．若与b的始边与x轴正半轴重合，终边互相垂直，则b±kp,kZ

2

ì3pü

D．第四象限角的集合为í2kp2kp,kZý

î2þ

【答案】BC

【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角

【分析】对于A，coscosb，则与b的终边相同或b=2kπ,kZ即可判断，对于B，

ππ2π

=kπk1ππk1π即可判断，对于C，与b的始边与x轴正半轴重合，终边互相垂

333

pì3πü

直，则b±即可判断，对于D，第四象限的集合为í2kp2kπ2π,kZý即可判断.

2î2þ

【详解】对于A：若coscosb，则与b的终边相同或b=2kπ,kZ，故A错误；

ππ2πìpüì2pü

对于B：=kπk1ππk1π，所以íkp,kZýíbbkp,kZý，

333î3þî3þ

故B正确；

p

对于C：若与b的始边与x轴正半轴重合，终边互相垂直，则b±kp,kZ，故C正确；

2

ì3πü

对于D：第四象限的集合为í2kp2kπ2π,kZý，故D错误.

î2þ

故选：BC.

7．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，2025是第象限角.

【答案】三

【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限

【分析】根据任意角定义找到2025对应的最小正角，即可得.

【详解】由2025360´5225，而225为第三象限角，

所以2025是第三象限角.

故答案为：三

8．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是.

①两个角的终边相同，则它们的大小相等；

②若角为第二象限角，则是第三象限角；

③第一象限角都是锐角；

ìπü

④终边在直线yx上的角的集合是íkπ,kZý.

î4þ

【答案】②④

【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、用弧度制表示角的集合

【分析】①③举反例即可；②与的终边关于x轴对称即可判断；④分别写出终边在直线yx上，

在第二象限和第四象限的角的集合，再求集合的并集即可.

【详解】对于①，390o与30o终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确；

对于②，因为与的终边关于x轴对称，故②正确；

对于③，第一象限角不都是锐角，比如390o为第一象限角，但不是锐角，故③不正确；

ì3πü

对于④，若终边在直线yx上的角在第二象限，则集合是í2kπ,kZý

î4þ

ìπü

í2k1π,kZý；

î4þ

ìπü

若终边在直线yx上的角在第四象限，则集合是í2kπ,kZý，

î4þ

ìπü

综上，终边在直线yx上的角的集合是íkπ,kZý，故④正确.

î4þ

故选：②④.

题型四、根据图形写出角范围

ìπü

9．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合íkπ££kπ,kZý中的角所表示的范围（阴影部分）是

î3þ

（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】根据图形写出角（范围）

【分析】对k按奇偶分类讨论可得．

p

【详解】当k2n(nZ)时，2np££2np(nZ)，

3

p

此时的终边和0££的终边一样，

3

p

当k2n1(nZ)时，2npp££2npp(nZ)，

3

p

此时的终边和p££p的终边一样．

3

故选：C．

10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．

【答案】(1)x|k360o135o£x£k360o135o,kZ

(2)x|n180o30o£x£n180o60o,nZ

【知识点】根据图形写出角（范围）

【分析】直接利用所给角，表示出范围即可.

【详解】图（1）中角x组成的集合为x|k360o135o£x£k360o135o,kZ；

图（2）中角x组成的集合为x|k360o30o£x£k360o60o,kZU

x|k360210£x£k360240,kZ

x|2k18030£x£2k18060或2k118030£x£2k118060,kZ}

x|n180o30o£x£n180o60o,nZ.

11．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合.

(1)终边在射线OA上；

(2)终边在直线AB上.

ì2πü

【答案】(1)í2kπ,kZý；

î3þ

ì2πü

(2)íkπ,kZý.

î3þ

【知识点】根据图形写出角（范围）

【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可.

（2）写出终边在OA和OB上角的集合，再取并集即可.

【详解】（1）由任意角的定义得，

ì2πü

终边在射线OA上的角为í2kπ,kZý.

î3þ

（2）由任意角的定义得，

ì5πü

终边在射线OB上的角为í2kπ,kZý，

î3þ

ì2πü

化简得í(2k1)π,kZý，

î3þ

ì2πü

所以终边在直线AB上的角为AÈBíkπ,kZý.

î3þ

题型五、轴线角

12．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）下列说法正确的是（）

A．角60和角600是终边相同的角

ì3πü

B．第三象限角的集合为íπ2kπ££2kπ,kZý

î2þ

ìπü

C．终边在y轴上角的集合为íkπ,kZý

î2þ

D．第二象限角大于第一象限角

【答案】C

【知识点】任意角的概念、轴线角、找出终边相同的角、由已知角所在的象限确定某角的范围

【分析】根据角的定义判断．

【详解】600360240，因此600的解与240角的终边相同，A错；

ì3πü

第三象限角的集合为íπ2kπ2kπ,kZý，B错；

î2þ

π

终边在y轴上角，终边可能在y轴正半轴，2kπ+，

2

3ππ

终边在y轴负半轴，2kπ+，其中kZ，终合为kπ+,kZ，C正确；

22

2π7π2π7π

是第二象限角，是第一象限角，但，D错．

3333

故选：C．

13．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）请用集合表示终边位于x轴的角的集合.

【答案】{|n180,nZ}

【知识点】轴线角

【分析】写出0~360落在x轴上的角，再根据终边相同的角写出所有的角即可.

【详解】在0,360内,终边在x轴上的角有两个,即0和180,与这两个角终边相同的角组成的集合依次为

S1k360,kZ,S2180k360,kZ.

为简便起见,我们把集合S1和S2的表示方法改为S12k180,kZ,

S22k1180,kZ,

因为mm2k,kZÈmm2k1,kZZ,

即集合S{|n180,nZ}是终边在x轴上的角的集合.

故答案为：{|n180,nZ}

14．（23-24高一·上海·课堂例题）分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于y轴正半

轴上的所有角．

【答案】答案见解析

【知识点】轴线角、找出终边相同的角

【分析】根据象限角和轴线角的特点进行求解.

ì3πü

【详解】第三象限的所有角：íxπ2kπx2kπ,kZý

î2þ

ìπü

y轴正半轴上的所有角：íxx2kπ,kZý

î2þ

15．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别写出角的终边在x轴正半轴、x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半

轴、y轴、x轴、坐标轴上角的集合．

【答案】答案见解析

【知识点】轴线角、找出终边相同的角

【分析】由终边相同角的性质求解．

【详解】解：终边在x轴的正半轴上：|k360,kZ；

终边在x轴的负半轴上：|k360180,kZ；

终边在y轴的正半轴上：|k36090,kZ；

终边在y轴的负半轴上：|k360270,kZ；

终边在y轴上：|k18090,kZ；

终边在x轴上：|k180,kZ；

终边在坐标轴上：|k90,kZ．

题型六、确定已知角所在象限

16．（24-25高一下·上海青浦·期中）366是第象限的角．

【答案】一

【知识点】确定已知角所在象限

【分析】由3663606确定终边相同的最小正角所在象限，即可得.

【详解】由3663606，即366与6的终边相同，故366为第一象限角.

故答案为：一

17．（24-25高一下·上海·阶段练习）若是第四象限角，则π是第象限角.

【答案】三

【知识点】确定已知角所在象限

【分析】利用坐标轴依次找到角、、p的终边即可.

【详解】在坐标系中标出角的终边，关于x轴对称得到角，再逆时针旋转p得到p的终边在第三

象限.

故答案为：三

18．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若3，则

是第象限角.

【答案】二

【知识点】确定已知角所在象限

【分析】弧度转化成角度，即可判断.

o

æ180öo

【详解】33´ç÷»171.88，是第二象限角.

èπø

故答案为：二

19．（24-25高一上·上海·期末）已知角1865o，则的终边在第象限

【答案】一

【知识点】确定已知角所在象限

【分析】把角化成0o到360o间角表示即可求出所在象限.

【详解】5´360oo665518o，即角与65o角终边相同，而65o角是第一象限，

所以的终边在第一象限.

故答案为：一

题型七、由已知角所在的象限确定某角的范围

20．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么2是（）

A．第一象限的角B．第二象限的角

C．小于180°的正角D．钝角

【答案】C

【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围

【分析】根据条件得到02π，再结合选项，即可求出结果.

π

【详解】因为是锐角，即0，所以02π，

2

故选：C.

21．（22-23高一上·上海宝山·期末）下列命题中真命题是（）

A．第一象限的角为锐角B．钝角是第二象限的角

π

C．小于的角是锐角D．终边在x轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角

2

【答案】B

【知识点】确定已知角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围

【分析】根据象限角和锐角和钝角的定义判断依次判断各选项即可.

7π

【详解】对于选项A，若，则为第一象限角，但不是锐角，A错误；

3

π

对于选项B，若b为钝角，则bπ，所以b为第二象限角，B正确；

2

π

对于选项C，若gπ，则g，但g不是锐角，C错误；

2

对于选项D，终边在x轴负半轴上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D错误；

故选：B.

22．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的条件.

【答案】必要不充分条件

【知识点】确定已知角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围

【分析】写出第二象限角的范围以及钝角的范围，再按照充分必要条件的定义判断.

p

【详解】第二象限上的角满足2kpp2kp,kZ，当k1时，这个角不是钝角，故不满足充分性，

2

π

钝角b满足bπ，这个角必在第二象限，满足必要性，

2

故“一个角在第二象限上”是“这个角为钝角”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分条件.

23．若角是第二象限角，试确定角2，是第几象限角．

3

【答案】2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象

3

限角或第四象限角

【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限

【分析】根据象限角的表示方法，得到2和的表示，进而判定其象限，得到答案.

3

【详解】因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)，

可得1802k36023602k360,kZ，

所以2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．

又由k12030k12060,kZ，

3

当k3n,kZ时，n36030n36060,kZ，此时是第一象限角；

33

当k3n1,kZ时，n360150n360180,kZ，此时是第二象限角；

33

当k3n2,kZ时，n360270n360300,kZ，此时是第四象限角．

33

综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．

3

题型八、确定n倍角所在象限

24．（2025高一下·湖南郴州·学业考试）下列说法正确的是（）

A．第一象限角一定是锐角B．若是钝角，则是第一象限角

2

C．大于90的角一定是钝角D．若是锐角，则2是第二象限角

【答案】B

【知识点】确定n分角所在象限、确定n倍角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围、确定已知

角所在象限

【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得,的取值范围，即可分析判断.

2

【详解】对于选项A：例如39036030为第一象限角，但不是锐角，故A错误；

对于选项B：若是钝角，则90180，

可得4590，所以是第一象限角，故B正确；

22

对于选项C：例如180>90，但180不是钝角，故C错误；

对于选项D：例如45为锐角，则290不是第二象限角，故D错误；

故选：B.

25．（24-25高一·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？2是第几象限的角？

2

【答案】是第一象限或第三象限的角，2是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上.

2

【知识点】确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限

【分析】由的范围，求出,2的范围，分类讨论可得到角的象限．

2

【详解】因为是第一象限角，

π

所以（2kπ，2kπ），kZ，

2

π

所以（kπ，kπ），kZ，

24

π

当k2n,nZ时，\（2nπ，2nπ），nZ，在第一象限；

242

5π

当k2n1,nZ时，\（2nππ，2nπ），nZ，在第三象限；

242

所以是第一象限或第三象限的角．

2

因为2（4kπ，4kππ），kZ，

所以2是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上.

26．（2025高三·全国·专题练习）若k360o24o，kZ，试确定2是第几象限角．

【答案】2为第一象限角

【知识点】确定n倍角所在象限

【分析】根据已知求得2，即可判断所在象限．

【详解】由k360o24o得：22k360o48okZ，

\2为第一象限角．

题型九、确定n分角所在象限

a

27．（24-25高一·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（）

2

A．第一或第三象限B．第二或第三象限

C．第二或第四象限D．第三或第四象限

【答案】C

【知识点】确定n分角所在象限

aa

【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限.

22

3p

【详解】由为第三象限角，得2kpp2kp,kZ,

2

p3p

则kpkp,kZ,

224

p3pa

当k2n,2np2np,nZ，此时在第二象限；

2242

3p7pa

当k2n1,2np2np,nZ，此时在第四象限.

2242

a

故是第二或第四象限角.

2

故选：C.

28．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是第二象限角，那么为第象限角

2

【答案】一或三

【知识点】确定n分角所在象限

ππ

【分析】根据题意推得kπkπ,kZ，再对k是偶数或奇数分类讨论即可得解.

422

πππ

【详解】因为是第二象限，所以2kππ2kπ,kZ，得kπkπ,kZ，

2422

当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角.

22

故答案为：一或三

29．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角．

2

【答案】第二或第四

【知识点】确定n分角所在象限

π3π

【分析】根据条件得到+kπ<<+kπ,kÎZ，再对k分类讨论，分k2m,mZ和k2m1,mZ，

224

即可求出结果.

3π

【详解】因为是第三象限的角，所以π+2kπ<<+2kπ,kÎZ，

2

π3π

得到+kπ<<+kπ,kÎZ，

224

π3π

当k2m,mZ时，2mπ2mπ,mZ，此时是第二象限的角，

2242

3π7π

当k2m1,mZ时，2mπ2mπ,mZ，此时是第四象限的角，

2242

所以是第二或第四象限的角.

2

例1在直角坐标系内，角，b的顶点均在坐标原点，始边均与x轴非负半轴重合，其终边在同一直线上，

则角b与的关系为()

A．bk360(kZ)B．b(2k1)180(kZ)

C．bk360(kZ)D．bk180(kZ)

【分析】由已知分与b的终边重合、与b的终边方向相反写出b与的关系，则答案可求．

【解答】解：当与b的终边重合时，有bk360(kZ)；

当与b的终边方向相反时，有b(2k1)180(kZ)．

综上，有bk180(kZ)．

故选：D．

【点评】本题考查终边相同角的概念与表示法，是基础题．

例2若角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{|k18045k18090，

kZ}中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是()

A．B．

C．D．

【分析】先看当k取偶数时，角的终边所在的象限，再看当k取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范

围取并集．

【解答】解：当k取偶数时，比如k0时，4590，故角的终边在第一象限．

当k取奇数时，比如k1时，225270，故角的终边在第三象限．

故选：C．

【点评】本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想．

1．（根据图形写出角（范围））用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部

分的角的集合（不包括边界），如图所示.

(1)

(2)

ìππü

【答案】(1)íq2kπq2kπ,kZý；

î63þ

ìπü

(2)íqnπqnπ,nZý.

î6þ

【知识点】

【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果.

ππππ

【详解】（1）因为330,的终边相同，60，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x

6363

ìππü

轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为íq2kπq2kπ,kZý.

î63þ

π7π

（2）因为30，210，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合

66

ìπüì7πü

为íq2kπq2kπ,kZýÈíq2kππq2kπ,kZý

î6þî6þ

ìπüìπü

íq2kπq2kπ,kZýÈíq2k1πq2k1π,kZý

î6þî6þ

ìπü

íqnπqnπ,nZý.

î6þ

2．（确定已知角所在象限）860o的角是第象限角．

【答案】二

【分析】根据象限角的定义可得出结论.

【详解】因为860o140o2´360o，且140o为第二象限角，故860o的角是第二象限角.

故答案为：二.

3．（确定n分角所在象限）若是第二象限角，则（）

A．是第一象限角B．是第一或第三象限角

22

C．是第二象限角D．是第二或第四象限角

22

【答案】