矩阵代数简单介绍资料

矩阵代数简单介绍（完整版）实

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线性代数复习

1.1矩阵的概念

给定数域K上nK个数％（，=1,2,=1,2,把它们按一定次序排成一个〃行K列的长方形数表

41%2a\K

a

。222K

A=・

■

・

an\an2anK

称为数域K上的一个〃行K列的矩阵，简称为〃xK矩阵。其中均称为矩阵的第i行、第/列的元素。1x4矩阵

（只有一行）称为左维行向量；〃xl矩阵（只有一列）称为〃维列向量。

零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵

所有元素为零的矩阵称为零矩陇，记为0.A+0=A4）=0。

如果矩阵的行、列数都是〃，则称A为〃阶方阵；

八阶方阵A的元素按次序构成的〃阶行列式，称为矩阵A的行列式，记为|A|。

在〃阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为A；若对角矩阵的主对角线元素全

为1,则称之为单位阵，记为/;特别地，〃称为数量矩阵

1.2矩阵的运算

•矩阵的加、减运算以及数乘运算

当矩阵A和B的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A+B等于所有对应位

置的元素相加、减。

数乘运算就是数〃乘矩阵A中所有元素得到的矩阵。

A+B=B+A

(A+8)+C=4+(5+C)

A+O=AA+(-4)=0,

左(必)=(幼A(左+/)A=fc4+/A

k(AB)=kA+kBIA=A

0A=O.(-1)A=-A

•矩阵相乘

记A=(%)〃…B=(bij)sx〃,。=(%.)*〃，且

C=AB,那么A和B相乘得到的矩阵C的元素可用公式表示为

&二Z%也(i=L・・•，m;j=L・・・，ri)注

意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BA

A^OSAB=AC不能推出B=CO

矩阵相乘满足如下运算规则:

若二

|A|0A是奇异矩阵。

逆矩阵具有的性质:

(AT)7=A(人一》=(4)一1

9

(AB)1=BlAi

•分块矩阵的运算（重点！）

在运算中，可以把子块当作数量元素处理；但矩阵的分块方式要与运算相配套。

B12

Ai2Bn

AAB=

人21B21

记42B22

那么

Ai+41Ac+B

A+B=JL乙12

“22+B

41+区2122

A1^11+A2^21

A百2+A2^22

AB=

入2百I+42282141与2+^22^22

Al人21

A=ff

AA

2/a

_

A-xAl+A1A2c2241alA1A2c22

_C22A2141

其中。22=(42-A2141A2)-i

，A“和A,,都是非奇异的方阵。

特别地，设A是〃?阶方法,3是〃阶方阵，那么

(A0「o、OA\O

OI°3O)A-1O,

(A(A0、

1°(OBk)f

(AcY1(A-1-ACBn

1°o

A0}

CB,-B'CA1B'x)

方阵的迹

记/⑷N"于

方阵的迹定义为矩阵主对角线上元素之和，

根X〃矩阵A和MXm有若

矩阵B,tr(AB)=tr(BA)

多个矩阵不同次序相乘都是方阵，那么有

tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)

1.3线性组合、线性无关与矩阵的秩

•线性组合

给定R”内一个向量组a\'=2,•一，as,乂给定实数域R内S个数

k\,k?，…,,称向量匕%+k2a2-卜心名为向量

ry(y...(7

组5],ex2，'5s的一个线性组合c

线性组合通常可表示为：Ak-a、％+...+4%，其中A是

〃XS矩阵，化是sxl的向量.

•线性相关与线性无关

给定一组"维向量1二1，々2,•…，a$),如果存在一组不仝为零的数

匕，心…k§,使得ha、+k2a2+卜k。s=°成立，则称

"1a?a§线性相关，换句话说，向量组线性相关等价于组中至少有一个向量可以

写成其他向量的线性组合,

{%,02，”s}是线性无关当且仅当

H-----bk,a,=0

11乙JKJ推出

ocx—oc2=...=ocs=0

•矩阵的秩

矩阵的秩就是矩阵列向量组中极大线性无关组的向量个数，记为rank(A)o

它满足以下性质：

，，I

1)rank(A)=rank(A)=rank{AA)=rank{AA);

mxnrank(A)<ri)

2)对于矩阵A,min(m,

3)若A是n阶方阵且秩为n,那么A是非奇异的，即|A|存在。

1.4矩阵的特征根与特征向量

•特征根与特征向量的定义

设A是n维矩阵，若存在一个数2以及一个非零的n维列向量c,使得AC=AC

那么4就是A的特征根，c就是A的特征向量。

通过求解特征方程|A—〃|=0得到特征根，再计算其特征向最。

•特征根和特征向量满足的性质：

1）所有特征根的和等于A的迹；

2）所有特征根的乘积等于A的行列式;

3）非零特征根的数目等于A的秩；

1.5一些重要的矩阵

正交矩阵

对于〃维向量a=［与，。2，1和夕=［四，尸2,…，尸"，称以

下运算为。和0的内积:

aB=。向量a的长度定义为

i=\

|a|=』aa

I°I—1,则称n

O若s为单位向量。若

a0=0,则称向量a、B正交。

如果n阶方阵Q满足QQ=QQ=IQ为正交矩阵。方阵

.则称Q

为正交矩阵的充要条件就是2的所有行（列）向量都是单位向量，而且两两正交。

•对称矩阵

如果〃阶方阵。满足。=Q,则称Q为对称矩阵。

•辕等矩阵

若n阶方阵M=M2=A/3=…，那么M称为〃X八嘉

等矩阵。

舞等矩阵的性质：

1)哥等矩阵的特征根或者是1或者是()，所以它的秩等于它的迹；即rank(M)=tr(M)；

2)M是半正定的.

例子(一个常用的塞等矩阵)

给定一个列向量工、以及元素全为1的，，维列向量/,那么有：

几

2必='丫na=aii丫=/丫

i=\；;n

(用内积表示多元素相加)

%=/-%)

令n.

易证是对称辕等矩阵，因此M°M°=Mo；MoMo=M。；

y-丫

M0Y=…

-Y

也就是说左乘矩阵M。能使Y中的原始数据转换成离差形式。

MQi=oz(%—y)=，My=°

；Z=1；

之(％-y)2=(Moy)'(Moy)=Y'M0Y

i=\:

X(y/-y^-x)=(MoY)'(Mox)=yMox

i=l：

此外，P三X(Xxy'x',M三/X(X'X)TX'=/”-尸都是对称暴等矩阵，前者秩等于k,

后者秩等于n-k。

1.6二次型与正定矩阵

含有n个变量的二次齐次函数/(3,与「、匕)的一般形式是

“Xi，/,…，为)=阳马

z=lj=\;并约定

%•/=〃•/*尸12・,・,〃)，

那么二次型可以表示为

I

q=xAx

其中A=(%)的n阶对称矩阵，夕是数量，%是门维列向量。

正定矩阵、半正定矩阵

若对于任意的非零向量x,g都严格为正，那么A就称为正定矩阵；若对于任意的非零向量

x,夕都非负，那么A就称为非负定矩阵.，

正定矩阵的性质：

1)实对称矩阵A是正定(半正定)的充要条件是A所有的特征根都是大于零(不小亍零)

的。

2）若A是正定，A也是正定。

3）若A是正定，B是非奇异矩阵，那么BAB是正定的。

4）若A是"X"矩阵，那么AA和AA都是半正定矩阵；若A是

nxk矩阵，而且runk^A）=左，那么AA是正定矩阵，因此

也是非奇异的。

1.7线性二次型的微分运算

假设一个多元函数产/（%,...,%）三/（X）

,那么一个梯度向量为

dy/dx{力（x）

D/f(x)

dX

Sy/dxnfn。)

海赛矩阵（二阶偏导矩阵）为

22

dy/dx}dx}dy/dx}dxn

i2f(X)

~dXdX

22

dy/dxndx1dy/dxndxn

通常涉及的一些运算:

1)当D=Ax那么SD/8r=A

2）令丁一。x,a是给定的〃x1向量，那么//&二ao

3）令二次型g（X）=xAx,A是给定的对称矩阵，那么

dg(X)/dx=2Ax,

3

A=

34'

例子:

x'Ax=lx；+4%2+6%i孙

ax’Ax2jq+6X22

6XI+8x26

1.8随机向量的分布与数字特征

・协方差矩阵

即y=（"…匕）1那

设Y是一个由多个随机变量组成的向量，

么

Y的期望为

4）一

4=E（y）=...

百匕）」4J

Y的协方差矩阵为

z=a（y_〃）（—）］

一仇（Y—4力...现代―4）（4—M,）］

仇（匕-〃〃）&-M）］…a区—4）2］

对于n个随机变量的线性组合a7,有

E{a}Y}+...+anYn)=E(aY)=a/u

I!

Var(aY)=afa

•多变量的正态