(人教A版数学必修一讲义)第5章第06讲542正弦函数、余弦函数的性质(知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第06讲5,4.2正弦函数、余弦函数的性质

03知识清单

知识点01：函数的周期性

1.周期函数的定义

一般地，设函数/(幻的定义域为。，如果存在一个非零常数7,使得对每一个Xw。，都有x+TeD,且

f(x+T)=/(A-)，那么函数/(.r)就叫做周期函数.非零常数7叫做这个函数的周期.

2.最小正周期的定义

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做/(-r)的最小正周期.

知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数奇偶性

/(x)=sinx奇函数

/(X)=cosX偶函数

f(x)=Asin(<yx+0)当力工+W=Z4时，J\x)=Asin(sr+伊)为奇函数；

乃

当数v+e=+一时，/(x)=Asin(©r+(p)为偶函数；

2

f(x)=Acos(cox+(p)乃

当CDX+(p=k7tJf—tl'j,f(X)=ACOS(69X+0)为奇函数；

当5+。=攵万时，/(x)=Acos(s+0)为偶函数；

【即学即练1】(24-25高一上•全国•课堂例题)判断下列函数的奇偶性.

一/\./33叫

(l)/(x)=sin^-x+yj；

⑵/(x)=|sinx|+cosx；

(3"(x)=/cos卜+').

知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期

函数最小正周期

/(汇)=4sin(s+0)+〃或g(x)=Acos(@x+e)+力(bwR)

T=—

㈤

f(x)=|Asin(5+°)|或g(x)=|ACOS(3X+0)|

T=—

㈤

/(x)=|z4sin(3x+°)+Z?|或g(x)=|4cos(3x+0)+Z?|

\(o\

(/?W0)

f(x)=sin|x|无周期

g(x)=8s|x|7=2万

【即学即练2](24-25高一上•全国•课堂例题)求下列三角函数的周期.

(l)y=7sinx,xeR；

(2)y=sin2x,xeR；

(3)y=|cosx|,XGR.

知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质

函数f(x)=sinxg(x)=cosx

图象yy

丁、丁/

定义域。-….\1^兀x-271\1Z_-12冗x

定义域RR

值域[-1,11[-1,1]

周期性T=2TTT=2兀

奇偶性奇函数偶函数

单调性7T7T在每一个闭区间［24万-乃,2k/r］

在每一个闭区间［2匕F—二■,2%）+—］（%wZ）上都

22

（%£Z）上都单调递增;在每一个闭区

单调递增;在每一个闭区间［2攵4+-,2^4-—］间［2Z4,2%乃+乃［（左£Z）上都单调递

22

减

（ZcZ上都单调递减

最值

当_r=2Z乃+?(AeZ)时，)需=1；当x=2k/r(Z£Z)时，ymax=1;

当x=2ki+"(〃wZ)时，

当X=2^-y(%£Z)时，Xnin=一1；%in=-1；

图象的对称对称中心为（七r,0）（AwZ）,对称中心为（攵乃+色,0）（AwZ）,

性2

对称轴为直线x=Qr+工（ZwZ）

2对称轴为直线x=jbr（AeZ）

【即学即练3］（24-25高一上•全国•课后作业）下列各点中，可以作为函数/（x）=2cos（x+?+l图象的对

称中心的是（）

A.(y,1)B.(―,1)C.(―,0)D.(―,0)

'P___________________

04梅叫3

题型01三角函数的周期问题及简单应用

【典例1］（24-25高一上•全国•课后作业）下列函数中，以2兀为最小正周期的是（）

A.y=|siru|B.y=sin2.rc.y=cos4xD.y=cos^

【典例2】（多选）（24-25高一上•全国•课后作业）（多选）下列函数中周期为71,且为偶函数的是（）

A.y=|co&r|B.y=sin2x

【变式1］（2024高二下•云南•学业考试）函数），=cos12x+Wj的最小正周期是（）

A.4兀B.2兀C.兀D.—

2

【变式2］（23-24高一下•上海•期末）下列四个函数中，以式为最小正周期的奇函数是（）

A.y=sinxB.y=cos2x

C.y=|siiir|D.y=sin2x

【变式3】（23-24高一上•河北石家庄•期末）函数/"）=|3sin&-》-当的最小正周期是一

J45

题型02三角函数的奇偶性及其应用

【典例1］（23-24高一•上海•课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

（1）y=sin3x；

（2）y=|sinA-|；

⑶〉=xsinx；

（4）y=2sin|x+^|.

【典例2］（23-24高一下•上海•期中）已知函数），=Gcos（x+6）（rW6W0）是奇函数，则。=

【变式1］（2024•贵州黔南•二模）若函数/（"二必［'+可为偶函数，则夕的值可以是（）

5714兀兀

A.—B.­C.兀D.-

632

【变式2］（多选）（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）下列xeR的函数是偶函数的是（）

A.尸sin（sinx）B.y=cos（sinx）C.y=cos（cos.v）D.y=sin（cosx）

题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题

【典例1］（23-24高一下•四川内江•期中）已知函数/（x）=2sin（5+0）（0>0,|勿<冗）的最小正周期为冗，函

数f（x）图象关于点（-去0）对称，且满足函数/*）在区间［-盟上单调递增，则。=（）

【典例2］（23-24高一下•陕西渭南•期中）同时具有下列性质："①对任意xwR,/。+兀）=/。）恒成立;

②图象关于直线％=三对称；③在上是增函数"的函数可以是（）

A./（x）=sin（；+?］B.f（x）=s\n（2x-^

126JI6）

C./（x）=cos（2x+/）D.f（x）=cos2x-^

【典例3】（多选）（2024•全国•模拟预测）己知函数/（X）=2COS（5+Q）。>0,|同在2兀）上单调,

且有，停｝则（I

A.直线x=J是“X）图像的一条对称轴

6

B./（x）的最小正周期为4兀

仔,0）是“X）图像的一个对称中心

C.点

【变式1】（24-25高一上•全国•课后作业）已知函数/（x）=-2sin（2%+8）\<p\<^\,若/（力关于x=g对

称，则〃”的一个单调递增区间可以是（）

，兀3冗］「5兀9兀

AL8,-8__|B・至一

「3n兀］兀5兀

仁hr司口.匠不

【变式2］（多选）（23・24高二下•贵州贵阳•阶段练习）设函数/（x）=2sin（2x+?）,则下列结论错误的

是（）

A./（'）的最小正周期为乃

B./（力的图象关于直线x=!对称

0

c.“X）的一个零点为工=-2

D./（力在区间0,y上单调递增.

【变式3］（多选）（2024•福建莆田•三模）已知函数/（x）=3cos（5+。）（3＞0,（）＜夕＜兀）的图象既关

于点JR。］中心对称，也关于直线工=手轴对称，且/“）在"，号］上单调，则”的值可能是（）

y2）43_

2614

A.—B.—C.2D.—

555

题型04求三角函数的单调区间

Z\

【典例1］（24-25高一L全国♦课堂例题〉求函数，-sin的单调递增区间.

1JZ

【典例2］（23-24高一上•江苏无锡•期末）已知函数小）=242%-部.*

⑴求函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值；

（2）求函数/（'）在区间［0,可上的单调递增区间.

【变式1】（23-24高一上•湖北孝感•期末）已知函数/（x）=&sin（2x+：

⑴求在区间［o1卜的最大值和最小值：

（2）求“力在区间［0,2可上的单调递减区间.

【变式2】（24-25高一上•上海•随堂练习）已知函数y=2cos《-24xe0,y.求函数的单调增区间和

值域.

题型05利用单调性比较三角函数值的大小

【典例1］（24-25高一上•全国•课堂例题）比较大小:

（1）sin220与sin230：

【典例2】（2024高一上•全国•专题练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的人小.

(l)sin

(2)sin196与cos156

17

T

【变式1】（23-24高一・上海•课宜例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小:

sin——sin--；

1112

(2)sin-

【变式2】（24-25高一上•全国•课后作业）比较下列各组数的大小.

⑴sin也与sin出

55

⑵cos与与cos券

题型06已知三角函数的单调情况求参数问题

【典例1】（2024•广东佛山•模拟预测）已知函数/（1）=如（3+夕）（|0|捺诋1＜）在区间q，3上单调,

/（£!=；’且对任意的xeR‘部有/。）之一（言〉则初相。的值为（）

71

D.

3

【典例2］（23-24高二下•河南新乡・期末）若函数〃x）=cos（〃村）在上单调递减，则满

足条件的〃的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【变式1］（多选）（23-24高一下•辽宁抚顺・期中）若函数/（》）=cos（5一展］（0＞0）在上单调,

则0的取值可能为（）

【变式2］（24-25高三上・广东•阶段练习）若函数〃x）=sin与g（x）=sins+［在区间0,守上

均单调递增，则实数G的取值范围为.

题型07三角函数的对称性

【典例11（23-24高一下•江苏常州•期中）已知函数/（x）=sin（的+0）3＞0,0＜。＜兀）的图象关于点（当,0

对称，且〃0）=*，则®的最小值为.

（g可对称，那么|同的

【典例2】（2024高三•全国•专题练习）已知函数/0）=2cos（3/+*）的图象关于点

最小值为.

【变式1】（2024•湖南娄底•一模）己知函数小）="畀+司+卜-2|的图象关于直线x=2对称，则。可

以为.

（写出一个符合条件的夕即可）

【变式2］（23-24高一上•广东深圳•期末）记函数/"）=84。*+。）（。＞0,0＜。＜万）的最小正周期为7；若

/（r）-1,^,o为启）图像的对称中心.则。的最小值为.

Zz

题型08利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大（小）值

/xr

【典例1】（2024•天津•高考真题）已知函数〃%）=sin35+g（。＞。）的最小正周期为兀.则/（%）在-f

的最小值是（）

A.B.—C.0D.一

222

【典例2】（2024高三上•全国・专题练习）函数），=3-23伍-乩彳杂，外的值域为.

【变式1］（23-24高一下•辽宁辽阳•期末）已知函数〃戈）=耐5+，］+；（0＜/＜7）,且

16J2

Vx（（GR,/（Xy）„/fyl

⑴求◎的值；

⑵求/（X）的单调递增区间；

「3

⑶若xe［0,川J（x）的值域是1,-,求用的取值范围.

【变式2】（23-24高一下•河南南阳•期末）已知函数"x）=2ccs（2x+1）+l.

⑴求/（X）的单调递增区间;

⑵求/（'）在。卷上的值域.

题型09求值域（可化为一元二次函数型）

【典例1］（23-24高一下.北京怀柔・期中）函数y=3finx_2ccCx,xs的值域为,

OO

【典例2］（24-25高一上•全国•课堂例题）求函数y=cos?.r-4cosx+5,xwR的值域.

【变式1］（24-25高一上・全国.课后作业）函数/（力=38§2%一48$上+1,,16^，当工=时,

/⑺最小且最小值为

【变式2】（23-24高三上•黑龙江大庆•阶段练习）若方程cos?x-sinx+«=0在（0,］］内有解，则〃的取值

范围是.

题型10分式型求值域或最大（小）值

（23-24高一•全国•课后作业）函数），=婚斗的定义域是,值域是

【典例1】

COSX-I

cos'X

【典例2】（2024•河北邯郸•二模）当0<xv£时，函数/（外=一、的最大值为.

4sin'x-cosxsinx

3—cosx

【变式1】（24-25高一上•上海•课堂例题）求函数）』三经的最大值、最小值及值域.

2-cosx

05回疆J

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高一下•山东日照•期中）函数），=cosg+F）的最小正周期是（）

6

A.nB.2兀C.1D.2

2.（24-25高一上•全国•课后作业）在［0,2可上，函数）,=j2sinx-夜的定义域是（）

八兀］「兀3兀

A.0,-B.

_4」1_44一

Hn~\「3冗

C.D.二-，兀

42jL4」

3.（23-24高一下•北京怀柔・期末）下列函数中，周期是兀，又是奇函数的是（）

A.y=sinxB.y=cos2x

/、

-c兀

C.V=sin2x+—D.y=taiiv

I

4.（24-25高三上•浙江•开学考试）函数/（x）=cos（0X+》（o>O）的图象在区间（0,1）上恰有一个对称中心,

6

〃史N-K|/(xJ-/(x2)|+|/(xJ-/(x3)|4-...4-|/(xMf.J-/(xJ=2024,(,n＞2,/nGN+),则满足条件的实

数州的最小值为()

A.506B.507C.508D.509

2.(23-24高一下•新疆伊犁・期末)已知函数/(x)=sinx-cosx+卜inx+8s］,下列结论中错误的是()

A.函数图像关于直线上=与对称B.在区间［-千,壬］上是增函数

4L44_

C.函数是周期函数，最小正周期是24D.函数的值域是卜代,2-

C综合素养

1.(23・24而一下•江西萍乡•期末)已知函数/(x)=2sin3x+s)(。＞0,嗣＜与)在区间一£,£上单调

2L36

递增，/(看)=2,且______.从下列两个条件中选择一个补充在即中的横线上，再解答.

①/卜1二。；②VaeR,/(X)在区间［«〃+兀］上至少有2个零点.

⑴求函数/(工)的解析式；

⑵对任意的xw，/2(司―〃*力+2之0恒成立，求实数，〃的取值范围.

【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】

2.(23-24而一下•广东广州•期中)对于三个实数db,k,若(1+/)(1+/)之幻。一回|］_。/,|成立，则称小

b具有“性质r.

(1)VXGR,判断无，0是否具有“性质2〃？

⑵“e（U），判断⑶”，0是否具有“性质4〃？

64

⑶若存在天）£停,2兀）及办品⑵，使得sin2xo-2sin%-fo-；-〃?4°成立，sinx0,1具有“性质2”,求实

42r（）

数，〃的取值范围.

第06讲5.4.2正弦函数、余弦函数的性质

01学习目标

课程标准学习目标

①结合正弦函数、余弦函数的图象掌握

正、余弦函数的性质。

②会求正、余弦函数的周期，单调区间、对会求正、余弦函数的最小正周期，单调区间，对称点，

称点、对称轴及最值，及结合函数的图象会对称区间，会求两类函数的最值.

求函数的解析式，并能求出相关的基本量。

正弦函数

03知识清单

知识点01：函数的周期性

1.周期函数的定义

一般地，设函数/(幻的定义域为。，如果存在一个非零常数7,使得对每一个Xw。，都有x+TeD,且

f(x+T)=/(A-)，那么函数/(.r)就叫做周期函数.非零常数7叫做这个函数的周期.

2.最小正周期的定义

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做/(-r)的最小正周期.

知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数奇偶性

/(x)=sinx奇函数

/(X)=cosX偶函数

f(x)=As\n(cox+(p)当力工+W=Z4时，J\x)=Asin(sr+伊)为奇函数；

乃

当数v+e=+一时，/(x)=Asin(©r+(p)为偶函数；

2

f(x)=Acos(cox+(p)乃

当CDX+(p=k7tJf—tl'j,f(X)=ACOS(69X+0)为奇函数；

当5+。=攵万时，/(x)=Acos(s+0)为偶函数；

【即学即练1】(24-25高一上•全国•课堂例题)判断下列函数的奇偶性.

一/\./33叫

(l)/(x)=sin^-x+yj；

⑵/(x)Hsinx|+cosx；

(3"(x)=/cos卜+').

【答案】(1)偶函数

(2)偶函数

(3)奇函数

【分析】根据函数奇偶性的定义判断.

【详解】(1)/(x)=sin]x+,]=-cos]x,xwR,

(4Z)4

因为X/xwR,都有一XGR.

又/(-A)=-cosl--XI=-cos-x=/(.r),

所以函数〃x)=sin臣+明是偶函数：

(2)函数f(x)=(sinx|+cosx的定义域为R,

因为wR,都有-x£R,

.又/(—x)=|sin(—x)|+cos(—.v)=|sinx\+cosx=f(x),

所以函数/(x)¥sinx|+cosx是偶函数；

(3)/(x)=A:2cosfx+y=-x2s-nx»xeR,

因为也wR,都有—xtR,

又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sinx=-/(x),

所以函数/（.x）=fCos［x+］J为奇函数.

知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期

函数最小正周期

/(x)=Asin(8+e)+Z?或g(x)=Acos(twx+0)+〃(beR)T上

\(o\

/(x)=|Asin(0x+°)|或gCr)=|Acos(ox+0)|

T=—

㈤

f(x)=|Asin(©x+0)+/?|或g(x)=|Acos((vx+(p)+bl

T=—

(〃工。)1。1

/(x)=sin|^|无周期

g(x)=cos|x|T=2TT

【即学即练2］（24-25高一上•全国•课堂例题）求下列三角函数的周期.

（l）y=7sinx,xeR；

（2）y=sin2x,XGR；

（3）y=|cosx|,xeR.

【答案】（l）2E（kwZ）

（2）E（ZeZ）

⑶E（攵eZ）

【分析】结合三角函数的图象与性质，利用周期函数的定义求解即可.

【详解】⑴因为7sin（x+2兀）=7sinx,由周期函数的定义知，y=7sinx的周期为2E仕eZ）.

（2）因为sin2（x+7i）=sin（2x+2ji）=sin2x,由周期函数的定义知，），=5亩2］的周期为日（攵三2）.

（3）y=lcost的图象如图（实线部分）所示.

%

1

-2n至、W,匹.］。匹、、、巴2n工

一2222

由图象可知，y=|cosx|的周期为E（ZeZ）.

知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质

函数/U)=sinxg(x)=cosx

图象y，厂

定义域

-271二!O,X1Z2冗X

定义域RR

值域[-1,1][-U]

周期性T=2;rT=2兀

奇偶性奇函数偶函数

单调性7171在每一个闭区间［22万-兀、2k7i］

在每一个闭区间［2左不一万,2攵〃十万］(ZwZ)上都

(ZwZ)上都单调递增;在每一个闭区

单调递增；在每一个闭区间［2%乃+2,2火万+网］

间［2壮,2Z4+4］(A£Z)上都单调递

22

减

(keZ上都单调递减

最值?当X=2&万（攵£Z）时，Nmax=1；

当Xh2"；r+q（%eZ）时，3nwx=1;

当X=2k/r+"（4£Z）时，

当x=2k兀-3（攵wZ）时，Nmin=-1；

%in=-1；

图象的对称对称中心为(左肛0)j£Z),7T

对称中心为(2)+一,0)(ZEZ),

性2

对称轴为直线x=k7rJ(keZ)

2对称釉为直线x=Qrj£Z)

【即学即练3］(24-25高一上•全国•课后作业)下列各点中，可以作为函数/'(*)=2cos(x+5)+l图象的对

称中心的是()

A.(―J)B.(―,1)C.(-,0)D.(―,0)

3o36

【答案】D

【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解.

【详解】对于AC,.吗)=285(］+至+1=0.1，AC不是；

对于BD,/(^)=2cos(^+^)+l=l,B是，D不是.

663

故选：B

A11Hpl

04，垄”沈

题型01三角函数的周期问题及简单应用

【典例1］（24-25高一上全国•课后作业）下列函数中，以2兀为最小正周期的是（）

A.y=|siru.*|B.y=sin2xC.y=cos4.vD.y=cos—

【答案】D

【分析】对于AD,根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC,根据周期公式分析判断.

【详解】对于A,），=同回的图象是由）』sinx把x轴下方的图象翻折上去、x轴上方的图象保持不变得到的，

则最小正周期为兀，故A错误；

对于B,），=sin2］的最小正周期为号=冗，故B错误；

对于C,>-cos4x的最小正周期为华=］,故C错误；

对干D,），=859的图象是由），=<：35把/轴卜方的图象翻折上去、X轴上方的图象保持不变得到的，

则最小正周期为2兀，故D正确.

故选:D.

【典例2】（多选）（24-25高一上•全国•课后作业）（多选）下列函数中周期为N,且为偶函数的是（）

A.y=|cos.r|B.y=sin2x

/吟1

C.y=sinl2x+yID.y=cos-x

【答案】AC

【分析】根据周期的定义以及奇偶性的定义判断A；根据丁=sin2x是奇函数，y=cos|x的周期为4n,

分别判断BD；化简y=sin（2x+S=cos2x,再判断C.

【详解】对于A,因为|cos（x+4）|=|-co£r|=|cosx|,

所以），=|COSA|的周期为TT,

因为|cos（-x）|=|cosx|,

所以），二|COSA|是偶函数,A符合题意；

对于B,y=sin2x是奇函数，B不合题意;

.幺=4

对于D,y=cos：x的周期为了，所以D不合题意;

22

对1'C,y=sin2x+—=cos2x,

<2J

因为cos(-2x)=cos2x,

所以.y=sin[2x+]J是偶函数,

因为y=sin2x+^=cos2x的周期是^271=n,C符合题意.

2

故选:AC.

【变式1】（2024高二下•云南•学业考试）函数产cos（2x+/J的最小正周期是（）

A.471B.2兀C.兀D.—

2

【答案】C

【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解.

【详解】由题意可得：函数），=ccs（2x+g）的最小正周期是丁=与=冗.

故选：C.

【变式2】（23-24高一下•上海•期末）下列四个函数中，以冗为最小正周期的奇函数是（）

A.y=sinxB.y=cos2x

C.y=|siav|D.y=sin2x

【答案】D

【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项.

【详解】对于A,y=simr是以2兀为最小正周期的奇函数，故A不符合题意;

对干B,），=cos2x是以“为最小正周期的偶函数，故B不符合题意；

对于C,若），=/3=忖皿,为偶函数，故C不符合题意:

对于D,若y=g（x）=sin2x,显然其定义域为全体实数,且g（-x）=-g（x）,所以y=sin2x是奇函数,且它

的最小正周期为兀，故D符合题意.

故选：D.

【变式3】（23-24高一上•河北石家庄•期末）函数/"）=|3疝（9-2）-2的最小正周期是____.

J45

【答案】6

【分析】利用正弦型函数的周期，结合图形求解即可.

【详解】函数g(x)=3singx-f)-的最小正周期为‘二三二,，

345-

显然/(x+6)=|3sin咛*+6)-f1=13sin(袅一。一]1=，即6是函数/*)的周期,

345345

在同一坐标系内作出函数)，=f[x\y=g(.r)的图象，如图，

观察图象知，函数)，=/*),)，=g(x)的周期相同，所以函数的最小正周期是6.

故答案为：6

题型02三角函数的奇偶性及其应用

【典例1](23-24高一•上海•课堂例题)判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

⑴y=sin3x；

(2)y=|sinx|；

(3)y=xsinx；

⑷y=2sin卜+J

【答案】(1)奇函数；理由见解析

(2)偶函数；理由见解析

⑶偶函数：理由见解析

⑷非奇非偶函数；理由见解析

【分析】先求出函数的定义域，求出/(-X),然后利用函数奇偶性的定义进行判断即可.

【详解】(1)函数的定义域为R,

/(t)=sin3(-.r)=-sin3x=-f{x\,

则y=fM=sin3x为奇函数.

(2)函数的定义域为R,

f(-x)=|sin(-x)|=|-sin乂=|sin目=f(x),

则y=fM=|sin为偶函数.

(3)函数的定义域为R,

/(-.r)=—rsin(—.r)=.rsinx=f(.v),

则），=/（x）=xsinx为偶函数

（4）函数的定义域为R，

/（0）=2sin1=1^0,所以、=2岫+胃不是奇函数

/（-^）=2sin0=0,/（^）=2siny=V3,则仆.工吗），则y=2网崂）不是偶函数，

所以丁=/（幻=2sin卜+非奇非偶函数.

【典例2］（23-24高一下•上海•期中）已知函数），=6cos（x+C）（—兀《"0）是奇函数，则。=

【答案】-

【分析】根据函数对称性解得9=H+：,kwZ,结合题中。的范围分析求解.

【详解】由题意可知：y=Gcos（x+。）关于原点对称，可知0=H+

且一兀＜。＜0,所以％=—1,。=一四.

2

故答案为：一5.

【变式1］（2024•贵州黔南•二模）若函数〃x）=cos卜-1+可为偶函数，则8的值可以是（）

5兀4兀71

A.—B.——C.兀D.—

632

【答案】D

【分析】由题意可知：x=0为函数/（x）的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.

【详解】由题意可知：x=（）为函数”力的对称轴，

则一三+e=E"wZ，贝IJ9=E+：，ACZ,

对于选项A：令。=履+：=学，解得太=:^Z,不合题意；

362

对干选项B：令夕:面+^二?，解得A=leZ,符合题意：

JJ

对于选项C：令0=桁+^=兀，解得女=：/Z,不合题意；

对于选项D：令8=E+?=W，解得&=!EZ,不合题意；

326

故选:B.

【变式2］（多选）（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）下列xeR的函数是偶函数的是（）

A.ksin(sinx)B.y=cos(sinx)C.y=cos(cosx)D.y=sin(cosx)

【答案】DCD

【分析】根据题意结合正、余弦函数的奇偶性逐项分析判断.

【详解】因为函数的定义域为R,

对「选项A：因为sinsin-sin(-l)-sinLsinj$i吟sin1

可知y=sin(sinx)不是偶函数，故A错误；

对于选项B：|i^cos[sin(-x)]=cos(-sinx)=cos(sinx),

所以y=cos(sinx)是偶函数，故B正确；

对于选项C：因为cos[cos(-x)]=cos(cosx),

所以y=cos(8sx)是偶函数，故C正确；

对干选项D：囚为sin[cos(-x)]=sin(cosx),

所以y=sin(cosx)是偶函数，故D1E确：

故选：BCD.

题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题

【典例1](23-24高一下•四川内江•期中)已知函数/(x)=2sin(s+0)(0>O,SK冗)的最小正周期为幕,函

数3)图象关于点(-二,°)对称，且满足函数/*)在区间【4由上单调递增，则。=