2025~2026学年安徽蚌埠京师实验高级中学等多校联考高一下册5月月考（2）数学试题【含答案】

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.2.若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（）A.1 B.2 C.3 D.43.为了得到一个偶函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度4.已知，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.一物体在力的作用下，由点移动到点．已知力，则力对该物体所做的功为（）A.14 B.12 C.8 D.66.如图为四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形的两锐角分别为α，β（），则（）A. B. C. D.7.在中，边上的中线为，的中点为E，过点E的一条直线与，分别交于点F，G．若，，则（）A. B. C. D.8.若，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数和，则（）A.和的图象的对称轴相同 B.和的值域相同C.和的最小正周期相同 D.和的零点相同10.已知函数，则（）A.为偶函数 B.的值域为C. D.的零点为11.在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（）A.B.若为等边三角形，则其布洛卡角C.若，则D.若，，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则__________.13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________．14.已知是的重心，若，则的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量．（1）求向量与的夹角的余弦值；（2）当为何值时，与垂直？16.如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记，．（1）若，求；（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC和△BOD的面积分别为，，若，求．17.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，，，，求．18.已知函数．（1）求在上的值域；（2）解不等式；（3）若方程在上的根从小到大依次为，，…，，求的值．19.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）设，记在上的最小值为，求；（3）设，若，，使得成立，求β的最小值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以在复平面内对应点的坐标为．2.若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：设该扇形的圆心角为α，半径为r．因为扇形的弧长与面积的数值相等，所以，解得．3.为了得到一个偶函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度答案：A解析：思路：先根据三角函数图象的平移规律得到平移后的函数表达式，再根据偶函数的性质判断平移的单位长度即可.解答过程：由题意知，平移后函数为偶函数，结合原函数的解析式，可设其解析式为，设将原函数的图象向左平移个单位长度，即得，因该函数为偶函数，则有，则得2m+π故当时，，将函数的图象向左平移个单位长度，即得的图象.4.已知，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：当时，为纯虚数，故充分性成立；当为纯虚数时，解得，故必要性成立．所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件．5.一物体在力的作用下，由点移动到点．已知力，则力对该物体所做的功为（）A.14 B.12 C.8 D.6答案：A解析：思路：根据做功的意义，运用数量积的坐标表示计算即可.解答过程：由题意得，又，所以力对物体所做的功．6.如图为四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形的两锐角分别为α，β（），则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设直角三角形的直角边分别为a，b，使用三角函数的定义和二倍角公式求解.解答过程：不妨设直角三角形的直角边分别为a，b，且，则，所以，解得（负值舍去），所以．所以，，所以，，则．7.在中，边上的中线为，的中点为E，过点E的一条直线与，分别交于点F，G．若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由中线与中点关系，推导出，因三点共线，所以，由、，对比两组基底系数，消去中间参数，化简算出.解答过程：如图：由题意可得．因为E是AD的中点，所以．因为F，E，G三点共线，所以，因为，所以，所以消去x，可得．8.若，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用和差化角与积化和差公式化简题设等式，代入条件，利用二倍角公式将其整理成关于的一元二次方程即可求解．解答过程：由，可得（*），因为，，代入（*）可得．因为，则，，则得，即，设,则得,即．因为，所以，解得,即．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数和，则（）A.和的图象的对称轴相同 B.和的值域相同C.和的最小正周期相同 D.和的零点相同答案：BC解析：思路：化简可得，作两函数图象，结合图象判断结论.解答过程：，作出和的图象如图所示，由图可知，A，D错误，B，C正确．10.已知函数，则（）A.为偶函数 B.的值域为C. D.的零点为答案：ACD解析：思路：根据偶函数定义判断A，应用正弦及余弦函数单调性及值域判断B，C，应用正弦函数值及零点定义计算判断D.解答过程：对于A，因为的定义域为R，且，所以为偶函数，故A正确；对于B，令，则，由正弦函数在上单调递增，可得的值域为，故B错误；对于C，，，因为，，所以，，所以，，则，故C正确；对于D，令，可得，又，所以，则，故D正确．11.在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（）A.B.若为等边三角形，则其布洛卡角C.若，则D.若，，则的最小值为答案：ABC解析：思路：先利用三角形内角和与诱导公式，证明A选项；再结合等边三角形的对称性与正弦定理，求解B选项的布洛卡角；接着对、用正弦定理，结合正弦定理的边角关系推导出C选项的比例式；最后利用余弦定理和均值不等式分析D选项的最值，得出D错误．解答过程：对于A，因为，所以，而，所以，即，所以，A正确；对于B，因为为等边三角形，，所以，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，，B正确；对于C，在中，，即，在中，，即，所以，由正弦定理得，因为，所以，即，C正确；对于D，由，可得，在中，由余弦定理得，因为，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为，D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则__________.答案：解析：思路：由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解.解答过程：，.故答案为：.13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________．答案：解析：思路：根据题目条件与余弦定理求出边长，再使用面积公式求出面积.解答过程：由余弦定理得，解得（负值舍去），所以．又因为，所以，所以△ABC的面积为．14.已知是的重心，若，则的最大值为___________．答案：解析：思路：利用重心向量公式，结合数量积为零，可得边角关系，再结合余弦定理，可利用基本不等式来求最值．解答过程：设角的对边分别为．因为是的重心，所以，．因为，所以，所以，即，又，代入可得，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量．（1）求向量与的夹角的余弦值；（2）当为何值时，与垂直？答案：（1）（2）．解析：思路：（1）由向量线性运算的坐标运算可求得的坐标，进而利用夹角的坐标运算求得向量与的夹角的余弦值；（2）由向量线性运算的坐标运算可求得的坐标，利用数量积的坐标运算可求得的值.（1）因为，所以．所以．设与的夹角为，则．（2）因为，所以．因为与垂直，所以，即，解得．16.如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记，．（1）若，求；（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC和△BOD的面积分别为，，若，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据三角函数值的定义得到，的值，进而根据两角和差公式即可求解；（2）结合（1），倍角公式，及同角三角函数的关系即可求解．（1）因为，所以．由题可知，，，，且，，，．若，即，则，所以．（2）结合（1），有，，又，则，所以．因为，则，所以，．17.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，，，，求．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，所以，由正弦定理得，则，因为，所以，所以，又因为，所以，即，因为，所以．（2）因为，所以点在直线上．因为，所以，即为边上的高．由余弦定理可得，所以．由等面积法可得，即，解得．18.已知函数．（1）求在上的值域；（2）解不等式；（3）若方程在上的根从小到大依次为，，…，，求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据的取值范围求出函数的值域；（2）先通过换元法，将关于的一元二次不等式转化为关于的不等式，解出的范围；再结合的值域，舍去无意义的解；最后解三角不等式，得到的解集；（3）先求解方程，得到的表达式，再根据的取值范围确定根的个数，最后计算的值.（1），令，因为，所以，由正弦函数的性质可知，，，故在上的值域为．（2）令，则：，因式分解：，解得：或，因为，且，所以无解，则，所以：，即：，所以π3解得：π12所以原不等式的解集为：x∣（3）作出的图象和直线，如图所示，因为，所以，即，所以，或，解得：或，由图可知，的图象与直线在内有5个交点，则所有根从小到大依次为：，由正弦函数图象的对称性，可知的图象关于或对称，因此：，，，，所以.19.已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）设，记在上的最小值为，求；（3）设，若，，使得成立，求β的最小值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据图像求