2025~2026学年甘肃省酒泉市部分学校高一下册5月阶段检测数学试题【含答案】

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（）A.30° B.45° C.150° D.30°或150°4.“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D.6.已知钝角的三边长分别为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则10.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（

）A.为实数 B.C.若，则 D.11.已知，且，则以下结论正确的是（）A. B.有最大值C.有最大值 D.有最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的虚部是________.13._________．14.如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）求；（2）若，求．16.已知向量，．（1）求与垂直的单位向量的坐标；（2）若，求的坐标；（3）若，求与的夹角的余弦值．17.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若且，求的值．18.剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，C是扇形弧上的动点，D在线段上，A，B均在线段上．（1）求圆心角的大小（用弧度表示）；（2）设，且，求的长；（3）求矩形面积的最大值．19.记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的周长；（3）若为边上一点，且的面积为，求的值.数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．2.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以．3.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（）A.30° B.45° C.150° D.30°或150°答案：A解析：思路：运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.解答过程：因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以．故选：A4.“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立；当复数为纯虚数时，有，解得，必要性成立，则“”是“复数为纯虚数”的充要条件.5.如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可.解答过程：.6.已知钝角的三边长分别为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由为钝角的三边长，得，解得，所以实数的取值范围是.7.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断.解答过程：，，由，则，故，显然，即．8.已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：取的中点D，则，，所以，因为，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则答案：BD解析：解答过程：向量不能比较大小，A错误；表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确；若，则不能推出，C错误；根据平面向量相等的定义，D正确．10.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（

）A.为实数 B.C.若，则 D.答案：ABD解析：思路：设复数，然后逐个分析判断即可.解答过程：对于A，设复数，则，则，为实数，故A正确；对于B，，，则，故B正确；对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；对于D，，则，，则，则，故D正确.故选：ABD.11.已知，且，则以下结论正确的是（）A. B.有最大值C.有最大值 D.有最小值答案：AC解析：思路：利用两角差正弦公式和条件得判断A；令，则，利用两角差的正切公式得，然后使用基本不等式求得有最大值，即可判断BCD.解答过程：对于A，因为，又，所以，则，故A正确；对于BCD，令，则，因为，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最大值，故C正确，BD错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的虚部是________.答案：解析：思路：直接利用复数的乘除运算法则化简即可.解答过程：因为，所以其虚部为.故答案为：方法提示：本题主要考查复数的乘除运算及复数的概念，考查基本运算能力，属于基础题.13._________．答案：##解析：思路：根据结合二倍角的正弦公式即可得解.解答过程：.故答案为：.14.如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．答案：解析：解答过程：在中，由余弦定理得，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，所以，在中，，故．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）求；（2）若，求．答案：（1）z=（2）解析：思路：（1）利用复数乘法运算化简，结合共轭复数即可求出；（2）通过复数相等求出的值，再利用模长公式即可求出.（1）z=所以z=（2）由az+z即32所以，解得，，故|a+bi16.已知向量，．（1）求与垂直的单位向量的坐标；（2）若，求的坐标；（3）若，求与的夹角的余弦值．答案：（1）或（2）或（3）解析：思路：（1）由向量垂直的坐标公式和向量模长公式联立方程组计算可得结果；（2）由向量共线定理设，利用模长坐标公式计算得到的值，从而可得的坐标；（3）由可得，再用夹角公式计算即可.（1）设与垂直的单位向量的坐标为，所以，解得或，即与垂直的单位向量的坐标为或．（2）因为，设，则，解得．因此或．（3）因为，所以，解得，设与的夹角为，所以，即与的夹角的余弦值为．17.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若且，求的值．答案：（1），单调递增区间为（）（2）解析：思路：（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得；（2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可.（1）因为，所以的最小正周期，令（），解得（），所以的单调递增区间为（）；（2）由（1）可得，所以，因为，所以，所以，所以.18.剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，C是扇形弧上的动点，D在线段上，A，B均在线段上．（1）求圆心角的大小（用弧度表示）；（2）设，且，求的长；（3）求矩形面积的最大值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用扇形面积公式计算可得结果；（2）利用同角三角函数的关系计算得到，再由正弦的两角和差公式得到的值，最后由得到的长；（3）设，利用图形关系分别表示出和的长，再由表示矩形的面积，根据二倍角公式和辅助角公式化简可得最值.（1）设扇形的圆心角，由扇形的面积，解得，所以．（2）由（1）知，，则，由，得，因此，所以．（3）设，在中，，，在中，，则，因此矩形的面积，由，得，则当，即时，矩形的面积取得最大值．19.记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的周长；（3）若为边上一点，且的面积为，求的值.答案：（1）（2）3+3解析：思路：(1)利用余弦定理求出的余弦值，从而得到角的大小；(