2025~2026学年广东深圳第二外国语学校高三下册5月学情自测数学试题【含答案】

/数学满分150分，考试用时120分钟一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则＝（）A. B. C. D.2.已知为的共轭复数，若，则A. B. C. D.3.某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（）A.0.4 B.0.44 C.0.56 D.0.64.如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A.10 B.11 C.12 D.135.正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（）．A. B. C. D.6.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为.若，则（）A. B. C.2 D.37.已知命题p：函数在上是单调函数，命题q：函数的定义域为R，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（）A. B. C. D.3二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.现有一组数据为，下列说法正确的是（）A.该组数据的中位数为6B.该组数据的平均数为5C.该组数据的方差为D.该组数据的第45百分位数为410.若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（）A.若，则为递减数列B.若，则为递增数列C.若，则D.若，则是等比数列11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的周期为B.的图象关于对称C.在上恰有3个零点D.若在上单调递增，则的最大值为三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数的图像关于直线对称，则_____________.13.函数的最大值与最小值之差为_______.14.已知直线与函数，的图象分别交于A，B两点，则最小值为______，此时______．四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记为等比数列的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和．16.如图，已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.17.一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用随机变量表示k次摸球后得1分的总次数，用随机变量X表示k次摸球后总得分.（1）若摸球100次.①求的数学期望；②求X的数学期望；（2）当摸球次数k为何值时，的概率取得最大值.18.已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为（1）求C的方程；（2）设原点为O，点P，Q均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值.19.已知函数，．（1）求在内的单调性；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围；（3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．

数学满分150分，考试用时120分钟一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则＝（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意∁RB=−∞2.已知为的共轭复数，若，则A. B. C. D.答案：C解析：思路：先由已知求出，进而可得，则复数的模可求.解答过程：由题意可知，从而.故选：C.方法提示：本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3.某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（）A.0.4 B.0.44 C.0.56 D.0.6答案：B解析：思路：根据相互独立事件同时发生的概率公式,结合对立事件的概率即可得到结果．解答过程：设“甲地降雨”为事件，“乙地降雨”为事件，则,，“甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即，，，利用独立事件的性质可知，事件与相互独立，所以，所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为．故选：B4.如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A.10 B.11 C.12 D.13答案：B解析：思路：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围．解答过程：以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，，，设，则（其中），，，所以，当时，取得最小值11.故选：B．5.正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（）．A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积.解答过程：如图，设为外接球球心，底面于点，设，由正四棱锥的体积为8，即，解得，则，又，所以，，在中，，即，解得，所以外接球的表面积为.故选：C.6.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为.若，则（）A. B. C.2 D.3答案：C解析：思路：根据题意，则，再解方程即可．解答过程：易知，则，即，由，可知，于是．故选：C．7.已知命题p：函数在上是单调函数，命题q：函数的定义域为R，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由题意得为真当且仅当或，为真当且仅当或，然后分两种情况讨论即可得解.解答过程：因为在上单调递减，在上单调递增，所以为真当且仅当或，函数的定义域为R，当且仅当恒成立，即，解得或，所以为真当且仅当或，当为真为假时，的范围为与的交集，即，当为假为真时，的范围为与的交集，即为空集，综上所述，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为.故选：A.8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（）A. B. C. D.3答案：C解析：解答过程：由结合正弦定理可知.因为，则.即，结合正弦定理得，即得.将上式代入，得，故，又，.所以，，.所以的面积为.二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.现有一组数据为，下列说法正确的是（）A.该组数据的中位数为6B.该组数据的平均数为5C.该组数据的方差为D.该组数据的第45百分位数为4答案：BC解析：思路：根据中位数、平均数、方差以及百分位数的定义和计算公式，分别对各选项进行分析判断.解答过程：将数据，，，，，从小到大排序为，，，，，.这组数据有个，是偶数个，所以中位数为，故选项错误.该组数据的平均数为，故选项正确.已知该组数据的平均数为，则方差为：，故选项正确.由于，2.7不是整数，向上取整为，所以第45百分位数是第个数，即，故选项错误.故选：BC.10.若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（）A.若，则为递减数列B.若，则为递增数列C.若，则D.若，则是等比数列答案：ABD解析：思路：根据递增，递减数列的定义即可判断AB正确，利用特殊数列可知C错误，根据等比数列的定义可知D正确．解答过程：在等比数列中，，当时，显然有，故数列为递减数列，故A正确；当，显然有，故为递增数列，故B正确；若等比数列满足，则则，故C不正确；设等比数列的公比为，若，则，所以是等比数列，公比为，故D正确；故选：ABD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的周期为B.的图象关于对称C.在上恰有3个零点D.若在上单调递增，则的最大值为答案：BD解析：思路：先根据角的象限分类得出分段函数，应用周期定义计算判断A，根据对称性定义计算判断B，应用函数图象得出零点个数判断C，根据函数图象判断D.解答过程：①当时，，②当时，，③当时，④当时，，因此，，所以函数的图象，如图所示：A选项：因为，故A不正确；B选项：因为，所以的图象关于对称，故B正确；C选项：由的函数解析式以及函数图像可知：当时，，当时，，当时，，所以在上有无数个零点，故C错误；D选项：由，，得，因为在上单调递增，所以由的图象可知，解得，则的最大值为，故D正确；故选：BD．三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数的图像关于直线对称，则_____________.答案：2解析：思路：求出函数定义域，由函数图像关于直线对称得到定义域也关于直线对称，求得的值，由对称轴得到，代入函数解析式，整理求得，即可得出结果.解答过程：∵函数的定义域为，即，解得或，即函数的定义域.∵函数图像关于直线对称，∴，∵则，即，即，∴，∴.故答案为：2.13.函数的最大值与最小值之差为_______.答案：4解析：思路：对原函数变换得到，结合余弦函数的值域得到，进而求出值域.解答过程：.因为，则，所以所以最大值与最小值之差为4.14.已知直线与函数，的图象分别交于A，B两点，则最小值为______，此时______．答案：①.②.0解析：思路：根据互为反函数的两函数图象关于直线对称，且直线，互相垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解.解答过程：由可得，，即其反函数为，可知函数，互为反函数，图象关于直线对称，因为直线，互相垂直，问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍，可得，且，构建，，则，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，则，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，此时．故答案为：；0.四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记为等比数列的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）等比数列基本量运算得出等比数列的通项公式;（2）根据数列通项公式结合等比数列求和,应用分组求和即可.（1），（2）由已知得：，，．16.如图，已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）分别取棱BC，DE的中点G，H，连接FG，GH，AH，结合正方形的性质利用线面垂直的判定定理证明，进而证明，从而利用线面垂直的性质定理得；（2）通过线面垂直的性质定理得GH，BC，GM两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的平面角的余弦值.（1）如图，分别取棱BC，DE的中点G，H，连接FG，GH，AH，因为已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合．所以所有棱长均相等，所以，，又为正四棱锥，所以底面BCDE为正方形，所以，由，平面，所以平面，因为，所以平面，由，，且，平面，故平面，所以平面FGH与平面AHG重合，即平面，而，所以，所以．（2）由（1）可知，在平面AFGH中，，，所以四边形AFGH为平行四边形，所以．取棱AF的中点M，连接GM，AG，可得，因为GM在平面AFGH中，所以，可得，由平面，而平面，得，则GH，BC，GM两两垂直．设棱长为a，则，，以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面BCF的一个法向量为，则即，令，则，，即平面BCF的一个法向量为，又平面BCD的一个法向量为，，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.17.一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用随机变量表示k次摸球后得1分的总次数，用随机变量X表示k次摸球后总得分.（1）若摸球100次.①求的数学期望；②求X的数学期望；（2）当摸球次数k为何值时，的概率取得最大值.答案：（1）①；②（2）当摸球次数时，的概率取得最大值解析：思路：（1）①分析可知，结合二项分布的期望公式运算求解；②分析可知，结合期望的性质运算求解；（2）设摸到白球的次数为，可得，，列式求最值即可.（1）①由题意可知：每次摸到黑球的概率均为，即得1分的概率均为，则，所以的数学期望；②因为，所以X的数学期望.（2）设摸到白球的次数为，则摸到黑球的次数为，则，则，由题意可得：，解得，且，可得，所以当摸球次数时，的概率取得最大值.18.已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为（1）求C的方程；（2）设原点为O，点P，Q均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值.答案：（1）（2）是定值，2（3）解析：思路：（1）利用线段的中点在直线上列式计算求解；（2）设直线PQ的方程为，且，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算定值即可；（3）设，先求出，可得直线的方程为，再应用点到直线距离结合韦达定理