2025~2026学年广东省广州市部分学校高二下册期末考试数学试题【含答案】

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则A∩BA. B. C. D.2.设，则（）A. B.2 C. D.23.已知，则（）A.－10 B.－40 C.10 D.404.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.3是fxB.fxC.fx在区间上单调递减D.曲线在x=1处的切线斜率小于零5.已知数列an满足，，则an=A. B. C. D.6.已知，过点P作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆C于点A、，则的最大值为（）A.1 B.12 C. D.67.设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（）A. B.−2,−1 C. D.8.已知，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.2π为fB.的图象关于直线x=4C.的一个零点为D.fx在区间上单调递减10.下列命题中正确的是（）A.若回归方程为，则变量与成负相关B.数据的上四分位数为C.某校高三年级男生的身高X（单位：）近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则（若，则，）D.已知数据、x2、…、的平均数，方差为s12．设，数据、、…、的方差为，数据、x2、…、、、、…、的方差为，则11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1A.平面B.与平面所成角的余弦值为C.若点P在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点P有9个D.若点P在侧面内运动，且满足，则存在P点，使得与所成角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为______．13.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正､副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有__________种.14.已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC的中点．若PO＝，则·的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为a,b,c，，角A的平分线交于点，且AD=1．（1）求A的大小；（2）若a=25，求16.已知函数.（1）当时，讨论f(x（2）若f(x)17.如图所示，已知四棱锥中，.（1）求证：平面PAC；（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小.18.已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且（1）求直线AB的斜率(用表示)；（2）设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1.①求证：直线l恒过定点Q；②若向量，且，求△AMN的面积S的取值范围.19.甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．设投掷n次后n∈N∗（1）求P2和P（2）求数列Pn（3）设bn=−8n2+18n−19n⋅

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则A∩BA. B. C. D.答案：C解析：思路：解绝对值不等式得A，根据交集的定义计算即可.解答过程：解得，即，B为奇数集，故.故选：C2.设，则（）A. B.2 C. D.2答案：D解析：思路：先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.解答过程：依题意得，，故.故选：D3.已知，则（）A.－10 B.－40 C.10 D.40答案：D解析：思路：根据二项式定理性质运算.解答过程：.故选：D4.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.3是fxB.fxC.fx在区间上单调递减D.曲线在x=1处的切线斜率小于零答案：D解析：思路：根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项.解答过程：A选项：由导函数图象可知3是函数fxfx的极小值为，A选项错误；B选项：fxC选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，C选项错误；D选项：由图象可知，即函数fx在x=1故选：D.5.已知数列an满足，，则an=A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用已知条件得到，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和.解答过程：由得：，即，所以.故选：A.方法提示：方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：1.型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；2.形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；3.形如：的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列，4.形如：的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式；5.形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.6.已知，过点P作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆C于点、，则的最大值为（）A.1 B. C. D.64答案：C解析：思路：分析可知圆心C在直线上运动，设，则，求得，利用弦化切可得出，求出的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最大值.解答过程：圆心，半径为1，圆心C在直线上运动，设，则，由圆的几何性质可知，所以，，当直线与直线垂直时，取最小值，则取最小值，且，则，则，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，且，故函数在上为减函数，故当时，取得最大值.故选：C.7.设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（）A. B.−2,−1 C. D.答案：C解析：思路：先求出函数f(x)的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的解答过程：因为函数，当且时，.解不等式组得，；当且时，.解不等式组得，；当且时，.解不等式组得，；所以，①当

时，，若

a+2<−1

，即

，则

，不等式

恒成立，故符合题意；若，即，则

，不等式化为，解得a<−2

或

，所以符合题意，所以

a<−2②当

时，，此时，故，不等式为

，即

，解得

，综合可得符合题意；③当

时，，，不等式为

，即

，无解．综上所述，实数的取值范围为

．8.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.解答过程：[方法一]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以f(x)在故，所以，所以，所以，故选A[方法二]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法三]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以f(x)在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．方法提示：方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.2π为fB.的图象关于直线x=4C.的一个零点为D.fx在区间上单调递减答案：AC解析：思路：根据周期的公式即可求解A，代入验证即可求解BC，利用整体性即可判定D.解答过程：对于A，根据函数知最小正周期为2π，故A正确；对于B，当x=4π对于C，，故C正确；对于D，由于，则，故在上不单调递减，D错误.故选：AC.10.下列命题中正确的是（）A.若回归方程为，则变量与成负相关B.数据的上四分位数为C.某校高三年级男生的身高X（单位：）近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则（若，则，）D.已知数据、x2、…、的平均数，方差为s12．设，数据、、…、的方差为，数据、x2、…、、、、…、的方差为，则答案：ABD解析：思路：对A，根据回归系数即可判断；对于B，根据条件，利用百分位数的求法，直接求出上四分位数，即可求解；对C，利用正态分布的性质，即可求解；对D，根据条件先求出，再利用分层抽样的平均数和方差的求法，即可求解.解答过程：对于A，因为回归方程为的回归系数为，所以变量与成负相关，故A正确，对于B，因为，所以数据的上四分位数为，故B正确，对于C，因为身高，则，所以，故C错误，对于D，因为数据、x2、…、的平均数，方差为s12，又，则，，所以数据、x2、…、、、、…、的平均数为，方差为，故D正确.11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1A.平面B.与平面所成角的余弦值为C.若点P在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点P有9个D.若点P在侧面内运动，且满足，则存在P点，使得与所成角为答案：AC解析：思路：建立以为原点空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，可得，即可判断A；设与平面所成的角为θ，由，即可判断B；由正方体各个顶点到平面的距离与比较，即可判断C；点P在侧面内运动，且满足，可得点P在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，而当点P于或C1重合时与所成角为，即可判断D.解答过程：对A，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为n=x则，令x=1，则，则，所以，即，所以平面，故A正确；对B，设与平面所成的角为θ，则，故B错误；对C，因为正方体ABCD−A1B1正方体的对角线，设到平面的距离为h，由，则，则，则到平面的距离为，因为，所以在以为顶点的棱上，满足条件的点P共有3个，又与平面所成角的正弦值为，所以到平面的距离为，因为，所以在棱上都存在满足条件的点P，同理在都存在满足条件的点P，而棱到平面最近的距离为，所以不存在满足条件的点P，所以满足条件的点P共有9个，故C正确；对D，设，则，又，所以，即，则点P在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，而当点P和或C1重合时与所成角为，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为______．答案：2解析：思路：由题意可得m=1解答过程：解：因为双曲线的一个焦点坐标为（2，0），所以，解得m=1，即有，所以离心率.故答案为：213.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正､副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有__________种.答案：14解析：思路：由分类加法和分步乘法计数原理即可求解．解答过程：若恰有1名女生被选中，则有种选法；若有2名女生被选中，则有种选法，所以共有种选法，故答案为：.14.已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC的中点．若PO＝，则·的最大值为________．答案：解析：解答过程：分析：由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得·＝－sin（2α－），或·＝＋sin（2α＋），然后结合三角函数的性质即可确定·的最大值．详解：如图，OA＝1，OP＝，则由题意可知OA⊥PA，则由勾股定理可得PA＝＝1，则∠APO＝45°，当点A，D位于直线PO异侧或点D与点O重合时，设∠OPC＝α，0≤α＜，则·＝||·||cos（α＋）＝1×cosαcos（α＋）＝cosα（cosα－sinα）＝cos2α－sinαcosα＝－sin2α＝－sin（2α－）.又0≤α＜，则－≤2α－＜，所以当2α－＝－时，·有最大值1.当点A，D位于直线PO同侧时，设∠OPC＝α，0＜α＜，则·＝||·||cos（α－）＝1×cosαcos（α－）＝cosα（cosα＋sinα）＝cos2α＋sinαcosα＝＋sin2α＝＋sin（2α＋）.又0＜α＜，则＜2α＋＜，所以当2α＋＝时，·有最大值.综上可得，·的最大值为.本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为a,b,c，，角的平分线交于点，且AD=1．（1）求的大小；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理把边化成角，进而求解；（2）由三角形面积公式并利用S△ABD+S△（1）因为，所以由正弦定理可得．因为，所以sinB≠0所以，故，又因为，所以．（2）由题意可知S△即，化简可得．在中，由余弦定理得，从而，解得或（舍）．则．16.已知函数.（1）当时，讨论f(x（2）若f(x)答案：（1）f(x)的减区间为，增区间为；（2）.解析：思路：（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若f(x)有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.解答过程：（1）当时，，，令，解得x<0，令，解得，所以f(x)的减区间为，增区间为（2）若f(x)从方程可知，不成立，即有两个解，令，则有，令，解得，令，解得或，所以函数h(x)在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，所以当有两个解时，有，所以满足条件的的取值范围是：.方法提示：本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.17.如图所示，已知四棱锥中，.（1）求证：平面PAC；（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用三角形全等及三线合一证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）先通过二面角定义作出二面角的平面角，求出四棱锥体积最大时，从而在直角三角形中求解即可.（1）因为，所以，所以，设，连接PQ，则，点为的中点，又，所以，又，且，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；（2）由（1）可知，平面PAC，平面，所以平面平面PAC，取的中点为O，连接，则，平面平面PAC=AC，平面PAC，所以PO⊥平面，过点作OH⊥BC，垂足为H，连接PH，则，所以∠PHO为二面角的平面角，因为四棱锥的体积为，当且仅当即体积最大，此时，在Rt△POH中，，所以，所以二面角的大小为.18.已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且（1）求直线AB的斜率(用表示)；（2）设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1.①求证：直线l恒过定点Q；②若向量，且，求的面积S的取值范围.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得解；（2）①设直线MN方程为，将其与抛物线方程联立，设，由斜率之和为1，结合韦达定理可证明结论；②由于轴，则，进而化简求最值.（1）根据题意，将点代入抛物线方程，得4=2p，所以抛物线C：，则，由于，则，所以；（2）①设，直线MN的方程为，所以，联立，消去并化简得：，所以，，所以，即，所以，所以，所以直线MN的方程为，即所以直线MN过定点，该点坐标为；②由，，可得轴，且，联立与，并令，得，则，且由得，由，即，得，由于得，且，则的面积，而，由于，