2025~2026学年广东省惠州市华罗庚中学高二下册期中质量检测数学试题【含答案】

/数学满分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．选对得5分，选错得0分．1.已知离散型随机变量的方差为1，则（）A.1 B.2 C.3 D.42.下列选项正确的是（）A. B.C. D.3.某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（）A. B. C. D.4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（）．X012PA. B. C. D.5.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.480 C.420 D.3606.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A. B.e C. D.7.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（）A. B. C. D.8.已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分．9.已知随机变量，且，，则给出的下列命题中正确的是（）A. B. C. D.10.定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”.给出的下列命题中正确的是（）.A.记第行中从左到右的第个数为，则数列的通项公式为B.第k行各个数的和是C.n阶“杨辉三角”中共有个数D.n阶“杨辉三角”的所有数的和是11.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中按x的升幂排列的第4项是______．13.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________；14.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知a−x5（1）求的值；（2）求的值．16.已知函数．（1）求的极值；（2）若在区间上有三个零点，求的取值范围．17.为迎接“五一劳动节”，某校举行“劳动最光荣”知识竞赛.竞赛共有A､B两类试题，每类试题各10道，答对1道A类试题得10分，答对1道B类试题得20分，答错不扣分.参赛者从这两类试题中挑一类来回答（只需选择其中一类回答），每类抽出3道题回答（抽后不放回）.已知小明在A类试题中有7道题会答对，B类试题中每道答对的概率均为.（1）若小明选择回答A类试题，设小明回答结束后的总得分为，求的分布列和期望.（2）若小明选择回答B类试题，设小明回答结束后的总得分为，从得分期望考虑，小明应该选择哪类试题回答得分更高？请说明理由.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，求证．19.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．

数学满分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．选对得5分，选错得0分．1.已知离散型随机变量的方差为1，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：根据方差的性质即可求解.解答过程：因为离散型随机变量的方差为1，所以.故选：D.2.下列选项正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：求出求导公式、导数运算法则逐项求解判断.解答过程：对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：C3.某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：基本事件总数为，大学恰好被选中的基本事件为：，根据古典概型概率公式即可求解.解答过程：依题意，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：，大学恰好被选中的基本事件为：，所以大学恰好被选中的概率为：.故选：B.4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（）．X012PA. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由已知分布列的性质可知，，即，解得或（舍去），故，，．5.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.480 C.420 D.360答案：C解析：思路：考查排列组合涂色问题，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理来求解.解答过程：完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂，区域有5种颜色可选，区域有4种颜色可选，区域有3种颜色可选，若区域与区域颜色相同，区域有1种颜色可选，则区域有3种颜色可选；若区域与区域颜色不同，区域有2种颜色可选，则区域有2种颜色可选；再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算，可得共有.6.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A. B.e C. D.答案：C解析：思路：根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．解答过程：依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．7.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由条件概率和贝叶斯公式计算．解答过程：设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.由题意得，，，，，.由贝叶斯公式有.故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为.8.已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：构造函数，对函数求导利用不等式可求出在上单调递减，再由函数奇偶性可得为偶函数，且在上单调递增，解不等式可得结果.解答过程：令，则；又因为当时，，所以；因此可得在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以，因此也是定义在上的偶函数，且在上单调递增；则不等式可化为,因此，可得，解得或.即不等式的解集为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分．9.已知随机变量，且，，则给出的下列命题中正确的是（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：利用正态分布曲线关于对称轴对称的性质，先求解均值，再结合正态分布的概率特征、期望方差的定义逐一判断各选项的正误.解答过程：∵随机变量，且，正态曲线关于对称，故.对于选项B：正态分布的期望，故B正确.对于选项D：正态分布的方差，故D错误.对于选项C：∵正态分布曲线关于对称，对称轴左侧的概率为，故，故C正确.对于选项A：∵与关于对称，故，又∵，∴，∴，故A错误.10.定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”.给出的下列命题中正确的是（）.A.记第行中从左到右的第个数为，则数列的通项公式为B.第k行各个数的和是C.n阶“杨辉三角”中共有个数D.n阶“杨辉三角”的所有数的和是答案：BCD解析：思路：明确第i行各个数是的展开式的二项式系数，即可判断A;各行的所有数的和是各行对应的二项式系数和,由此判断B;根据杨辉三角每行的数的个数，可计算n阶“杨辉三角”中共有个数，判断C;计算“杨辉三角”的所有数的和，即可判断D.解答过程：第i行各个数是的展开式的二项式系数，则数列的通项公式为，故A错误；各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和，第k行各个数的和是，故B正确；第k行共有（k+1）个数，从而n阶“杨辉三角”共有个数，故C正确；“杨辉三角”的所有数的和是，故D正确.,故选：BCD11.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线答案：AC解析：思路：利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.解答过程：由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中按x的升幂排列的第4项是______．答案：解析：解答过程：x升幂排列依次为常数项、一次项、二次项、三次项，第4项为三次项，即.13.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________；答案：58解析：思路：从8个顶点中选4个，排除6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况.解答过程：首先从8个顶点中选4个，共有种结果，其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况，所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是.故答案为：58.14.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.答案：解析：思路：先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.解答过程：由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）1（2）243解析：（1）令，得，即，令，得，则.（2）令，得，则.16.已知函数．（1）求的极值；（2）若在区间上有三个零点，求的取值范围．答案：（1）极大值为，极小值为；（2）解析：思路：（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值.（2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围.（1）函数的定义域为.∵，∴.令，解得或.当时，，故，单调递增.当时，，故，单调递减.当时，，故，单调递增.∴为的极大值点，极大值为.为的极小值点，极小值为.（2）计算在区间端点的函数值：，.∵在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使在上有3个不同的零点，需满足：解得，即的取值范围为.方法提示：方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围.17.为迎接“五一劳动节”，某校举行“劳动最光荣”知识竞赛.竞赛共有A､B两类试题，每类试题各10道，答对1道A类试题得10分，答对1道B类试题得20分，答错不扣分.参赛者从这两类试题中挑一类来回答（只需选择其中一类回答），每类抽出3道题回答（抽后不放回）.已知小明在A类试题中有7道题会答对，B类试题中每道答对的概率均为.（1）若小明选择回答A类试题，设小明回答结束后的总得分为，求的分布列和期望.（2）若小明选择回答B类试题，设小明回答结束后的总得分为，从得分期望考虑，小明应该选择哪类试题回答得分更高？请说明理由.答案：（1）分布列见解析，21；（2）应该选择类试题，理由见解析.解析：思路：（1）根据已知有可能的取值为，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望；（2）设表示小明回答类试题中答对的题数且，应用二项分布的期望及期望性质求，结合（1）结果得结论.（1）由题设，可能的取值为，，，所以的分布列为0102030所以（2）设表示小明回答类试题中答对的题数，易知，故，又，则.因为，故小明应该选择类试题回答得分更高.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，求证．答案：（1）（2）单调递减区间为，单调递增区间为（3）证明见解析解析：思路：（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间；（3）由，转化问题为证明当时，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求证即可.