2025~2026学年广东省中山市东区中学高一下册4月月考数学试题【含答案】

/数学一、单选题1.设集合，则（）A. B. C. D.2.已知向量，向量，若向量，则实数m=（）A.-2 B.2 C.-1 D.13.在锐角三角形中，，则（）A. B. C. D.4.如图，在太极图中，大圆半径是小圆半径的6倍，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，过A作黑色小圆的切线，切点为C，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知，，则（）A. B. C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.8.若函数在区间上恰有两个零点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题9.记的内角的对边分别为，若，则（）A. B.C. D.外接圆的面积为10.已知向量，，则（）A.与的夹角余弦值为B.C.向量在向量上的投影向量的模为D.若，则11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.在区间上单调递减B.C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数三、填空题12.若，，则__________________．13.计算：________．14.已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________.四、解答题15.已知，，，，O为坐标原点．（1）求向量与的夹角；（2）求的面积．16.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，求的面积．17.如图，在中，已知为线段上一点，.（1）若，求实数，的值；（2）若，，，且与的夹角为120°，求的值.18.已知函数（1）求的最小正周期;（2）求在区间上的最大值与最小值;（3）若，且，求的值.19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离；（2）在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？

数学一、单选题1.设集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解不等式，求得整数解集，再根据交集定义即可求得.解答过程：因为，所以.故选：C.2.已知向量，向量，若向量，则实数m=（）A.-2 B.2 C.-1 D.1答案：C解析：思路：计算出，根据向量垂直得到方程，求出答案.解答过程：，又，故，解得.故选：C3.在锐角三角形中，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用正弦定理即可求解.解答过程：解：在锐角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.故选：A.4.如图，在太极图中，大圆半径是小圆半径的6倍，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，过A作黑色小圆的切线，切点为C，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意结合投影向量的定义分析求解.解答过程：如图，设大圆、小圆的圆心分别为O，，小圆半径为r，大圆半径为R，则，因为AC与圆相切，则，所以在上的投影向量为，又因为，，即，所以在上的投影向量为．故选：B.5.已知，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题干条件及二倍角公式，可得，结合同角三角函数的基本关系即可得解.解答过程：因为，,所以原式可化简为：，因为，所以，所以，又，所以或（舍去）.故选：B.6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正弦和差公式化简，联立求出，，两式相除得到答案.解答过程：，，故联立可得，，两式相除可得，即.故选：B.7.把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先由辅助角公式化简，再结合奇偶函数特征即可求解.解答过程：，函数向左平移个单位后可得，因为关于轴对称，为偶函数，所以，解得，当时，取到最小正值.故选：D8.若函数在区间上恰有两个零点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：令，可得，由可求得，根据三角函数的图象及性质可求得，从而可求解.解答过程：因为，所以，当时，，则．令，可得，要使得在区间[0,2]上恰有两个零点，则，解得，故的最小值为．故选：B.二、多选题9.记的内角的对边分别为，若，则（）A. B.C. D.外接圆的面积为答案：AC解析：思路：对于A，运用余弦定理求解即可；对于B,C,D借助正弦定理求解即可.解答过程：对于A，由，得，解得或（舍去），故A正确.对于B、C，因为，所以，解得，故B错误，C正确.对于D，设外接圆的半径为，因为，所以外接圆的面积为，故D错误.故选：AC.10.已知向量，，则（）A.与的夹角余弦值为B.C.向量在向量上的投影向量的模为D.若，则答案：ACD解析：思路：对于A：由已知得，根据向量夹角的计算公式计算可判断；对于B：由已知得，由此可判断；对于C：由已知得向量在向量上的投影，从而可判断；对于D：由，可判断.解答过程：解：对于A：因为向量，，所以，所以与的夹角余弦值为，故A正确；对于B：因为，所以，所以，故B不正确；对于C：向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量的模为，故C正确；对于D：因为，所以，所以，故D正确，故选：ACD.11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.在区间上单调递减B.C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数答案：BC解析：思路：结合图像得出周期，求出判断B；根据图像以及周期得出一个单调区间，即可判断A；检验是否为判断C；根据变换求出的解析式即可判断D.解答过程：由题意可得，，则，故B正确；由图像可得，，则恰好在区间单调递减，，则恰好在区间单调递增，故A错误；因在取得最大值，则，得，因，则，，，C正确；，则，故为偶函数，故D错误.故选：BC三、填空题12.若，，则__________________．答案：解析：思路：先由已知条件求出的值，而，所以，然后利用两角差的正弦公式展开计算即可解答过程：解：因为，所以，因为，所以，所以，故答案为：13.计算：________．答案：##解析：思路：利用两角差的正弦公式及特殊角的三角函数值化简即可.解答过程：．故答案为：.14.已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________.答案：解析：思路：以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算直接求解.解答过程：如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.因为菱形ABCD的边长为2，，则,,,.因为点P在BC边上（包括端点），所以,其中.所以,,所以.因为，所以.故答案为：四、解答题15.已知，，，，O为坐标原点．（1）求向量与的夹角；（2）求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先求得，然后由向量夹角的计算公式求解即可；（2）计算出，结合三角形面积公式即可求解.（1）由题意，因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的余弦值为，故向量与的夹角为；（2）因为，与的夹角为，所以的面积为.16.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）用正弦定理化简边角关系，解出tanB的值，从而得到答案;（2）利用余弦定理解出a的值，再用正弦面积公式求出答案.（1）由正弦定理得，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以．（2）由余弦定理，得，解得或（舍去），所以．17.如图，在中，已知为线段上一点，.（1）若，求实数，的值；（2）若，，，且与的夹角为120°，求的值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据平面向量基本定理可得，整理可得结果；（2）根据平面向量基本定理可求得，，根据数量积的运算法则代入模长和夹角，整理可求得结果.（1）由得：，∵，（2）由得：∴又，，且与的夹角为120°，则所以18.已知函数（1）求的最小正周期;（2）求在区间上的最大值与最小值;（3）若，且，求的值.答案：（1）（2）最大值为，最小值为（3）解析：思路：根据二倍角的三角函数进行代换，，求出周期.将定义域进行转化，得到，再带入方程，得到值域.由得，根据简单三角恒等变换得到，再利用二倍角公式求解即可.（1）由，；（2），，所以的最大值为，最小值为；（3）由得，由得，所以，所以，，19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离；（2）在点P从开始转动的一