2025~2026学年广东省中山市桂山中学高一下册5月段考检测数学试题【含答案】

/数学满分150分.考试时间120分钟.3.试卷共4页，答题卷共4页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处.一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.1.已知，则（）A.5 B. C. D.502.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）A. B. C. D.3.在中，为上一点，且，为中点，若，则（）A. B. C. D.4.已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（）A. B. C.8 D.245.若，则（）A.1 B. C.2 D.6.将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（）A. B. C. D.7.在中，角为三个内角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得得0分.9.下列命题中正确的有（）A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱.B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形.C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.10.函数，下列结论正确的有（）A.函数在上单调递增B.函数的图象关于直线对称C.若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则D.函数的最大值为11.设的内角的对边分别为，若，且，则（）A.B.C.的面积可以是1D.的周长可以是3第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______．13.已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________．14.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．16.在中，角的对边分别为．已知，，．（1）求A的值；（2）求c的值；（3）求的值．17.已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象．（1）求的解析式；（2）求在上的单调递减区间；（3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围．18.如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角．（1）求索道AB的长；（2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，θ∈0∘，180∘，e1，e2分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对x（1）若a=1，2，b=（2）若，a=1，2，b=−1（3）若a=1，1，b=3，

数学满分150分.考试时间120分钟.3.试卷共4页，答题卷共4页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处.一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.1.已知，则（）A.5 B. C. D.50答案：B解析：解答过程：由题得，所以.2.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设球的半径为，则球的体积，又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积，所以圆柱与球的体积之比为．3.在中，为上一点，且，为中点，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用向量的线性关系及加减法计算化简，再应用平面向量基本定理计算求解.解答过程：由题可知，，则，，.4.已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（）A. B. C.8 D.24答案：C解析：思路：先根据平面向量共线的坐标表示得到，再根据基本不等式“1”的代换求解即可.解答过程：由，得，即，又均为正数，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值是8.5.若，则（）A.1 B. C.2 D.答案：C解析：解答过程：因为所以可化为，所以6.将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用图象变换和诱导公式求出m的最小值.解答过程：，而.函数的图象向左平移个单位长度，可得，因为平移后所得函数图象与函数的图象重合，所以，，解得，，因为，所以当时，取得最小值.7.在中，角为三个内角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：将其转化为函数，结合图像即可求解解答过程：考虑为到的斜率，因为，因为函数在与上均递增，得大致图象，如图所示，若，则，而同号，由图及单调性可得；若，则必定成立，故为充要条件．8.已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值，再计算得到的坐标.解答过程：设，因为正方形的边长，所以，四边形周长为，其中，当时周长最大．此时，则，故点的坐标为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得得0分.9.下列命题中正确的有（）A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱.B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形.C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.答案：BCD解析：思路：根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果.解答过程：对于A：如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误；对于B：由平行六面体的概念和性质可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确；对于C：棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确；对于D：正棱锥的定义是：底面为正多边形，且顶点在底面上的投影为底面中心.容易得到，所有侧棱长度相等，底面边长相等，每个侧面三角形由两条侧棱和一条底边组成，因此正棱锥的侧面是等腰三角形，同时，所有侧面三角形的边长对应相等，故侧面三角形全等，故D正确.故选：BCD.10.函数，下列结论正确的有（）A.函数在上单调递增B.函数的图象关于直线对称C.若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则D.函数的最大值为答案：AD解析：思路：根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D．解答过程：，对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确；对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误；对于C，由，可得，由，得，因为在上单调递增，在上单调递减，且当，即时，，当，即时，，当，即时，，要使方程在上有两个不相等的实数根，，故，C错误；对于D，因，因，则当时，取得最大值，故D正确.11.设的内角的对边分别为，若，且，则（）A.B.C.的面积可以是1D.的周长可以是3答案：BD解析：思路：对于A、B选项，由正弦定理结合两角和的正弦定理可求出角C即可；对于C，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可求解；对于D，利用余弦定理可得的最小值，从而得到周长的最小值.解答过程：已知，由正弦定理可得，，，，，，即.所以B正确；根据已知条件无法得出，所以A错误；对于C：，又，，当且仅当时等号成立，，所以C错误；对于D：由余弦定理，，即，当且仅当等号成立.此时，，所以的周长范围为.当，即时，，则存在实数解.所以D正确.第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______．答案：解析：思路：根据题意得到圆台上下底面半径及母线长，再利用圆台侧面积公式求解．解答过程：易知上底面圆的半径，下底面圆的半径，母线长，所以该圆台的侧面积．13.已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________．答案：解析：思路：本题考查向量夹角为钝角的条件，即两向量数量积小于0且两向量不共线，分别列出不等式求解，最后取交集得到t的取值范围。解答过程：向量，可得。由,得，所以或，若两向量共线，可得，即，解得或,因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且，所以的取值范围是.综上，的取值范围是.14.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________.答案：解析：思路：令，代入公式即可得解.解答过程：令，又，，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证；（2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解.（1）在中，分别是和的中点，，又平面平面平面．（2）由题意得点到平面的距离为2即三棱锥的高为2，四边形是正方形，，三棱锥的体积为．三棱锥的体积为．16.在中，角的对边分别为．已知，，．（1）求A的值；（2）求c的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理化边为角再化简可求；（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.（1）已知，由正弦定理，得，显然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，则，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，则为锐角，故，故，且；故.17.已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象．（1）求的解析式；（2）求在上的单调递减区间；（3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）结合图象先求的解析式，再根据求解即可；（2）利用整体思想，求出函数的所有递减区间，再求出函数在上的单调递减区间；（3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028个零点之间最短距离，即可得答案.（1）由题意可得，，所以，解得，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，由题意可得；（2）由（1）可知，令，解得，当时，的单调递减区间为，所以在上的单调递减区间为；（3）因为，最小正周期为4，所以相邻两个零点之间的距离为2，又因为在区间上恰有2026个零点，设第一个零点为，则第2026个零点为，则2026个零点之间最短距离为，由2028个零点之间最短距离为，所以18.如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角．（1）求索道AB的长；（2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案：（1）；（2）；（3）（单位：m/min）．解析：思路：(1)在中，已知两角及其夹边，可求出第三个角通过正弦定理计算AB的长；(2)甲乙最短距离时所在位置可以与A构成三角形，根据速度，可以求得路程，即三角形边长，利用余弦定理解三角形即可；(3)通过路程除以速度计算时间，根据两人到达时间，列不等式，计算范围即可．（1）在中，因为，，所以，，从而：，由正弦定理，得．（2）设乙在