2025~2026学年广东省中山市中山迪茵公学高二下册3月一段考模拟卷（平衡班）数学试题【含答案】

/数学一、单选题1.记为等差数列的前n项和，已知，，则（

）A. B. C. D.2.设是等比数列，且，，则（）A.12 B.24 C.30 D.323.已知函数，则（）A.2 B. C. D.4.设，若，则等于（）A. B. C. D.5.若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为（）A.7 B.8 C.9 D.106.已知数列满足，则的前60项的和为（）A. B. C. D.707.已知等差数列的前项和为，且则数列的公差为（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知数列满足，设数列的前项和为，则（）A. B. C. D.二、多选题9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.10.设等差数列的公差为，前项和.若，，则下列结论正确的是（）A.数列是递增数列 B.C. D.中最大的是11.已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（）A.数列是等差数列B.数列是等比数列C.数列的通项公式为D.三、填空题12.已知等差数列中，，则=_____；13.等比数列中，为其前项的和．若，，则_______．14.设等差数列的前n项和为，且，（为常数），则的通项公式是_______．四、解答题15.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.16.已知为数列的前项和，且．（1）求证数列是等比数列；（2）求数列的前项和．17.已知各项均为正数的等比数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.18.已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前n项和，求证：．19.已知数列的前n项和为，，.（1）求证：数列是等差数列.（2）设，数列的前n项和为，求.

数学一、单选题1.记为等差数列的前n项和，已知，，则（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式．解答过程：设等差数列的公差为，由，得，解得，所以，，ABC错误，D正确.故选：D2.设是等比数列，且，，则（）A.12 B.24 C.30 D.32答案：D解析：思路：根据已知条件求得的值，再由可求得结果.解答过程：设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.方法提示：本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．3.已知函数，则（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：由基本初等函数的导数公式计算可得.解答过程：由题意可得，所以.故选：C4.设，若，则等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求导，然后直接解方程可得.解答过程：由，解得.故选：B5.若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：B解析：思路：利用等差数列的性质可得，分析即得解解答过程：∵等差数列满足∴等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，

∴当的前项和最大时的值为8

故选：B6.已知数列满足，则的前60项的和为（）A. B. C. D.70答案：A解析：思路：先求出数列的周期，即可求出的前60项的和.解答过程：由可得：，，，，……所以数列的周期为，所以的前60项的和为：.故选：A.7.已知等差数列的前项和为，且则数列的公差为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据等差数列的前项和公式列出等式即可求解.解答过程：设等差数列的公差为.因为，所以，.又因为，所以，解得：.故选：B.8.已知数列满足，设数列的前项和为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得.解答过程：数列中，，当时，，则当时，，而满足上式，因此，，则，所以.故选：D二、多选题9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项.解答过程：对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：BD.10.设等差数列的公差为，前项和.若，，则下列结论正确的是（）A.数列是递增数列 B.C. D.中最大的是答案：BCD解析：思路：利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．解答过程：依题意，有，，化为：，，即，，．由，得，由，可得，故，故C正确；则，所以等差数列是单调递减的，故A不正确；则，故B正确；又时，，时，所以中最大的是，故D正确.故选：BCD．11.已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（）A.数列是等差数列B.数列是等比数列C.数列的通项公式为D.答案：BCD解析：思路：借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D.解答过程：对A、B：由，则，故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确；对C：，则，故C正确；对D：，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题12.已知等差数列中，，则=_____；答案：234解析：思路：根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得,进而可求得.解答过程：因为数列是等差数列由等差中项定义可知,所以而故答案为:234方法提示：本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题.13.等比数列中，为其前项的和．若，，则_______．答案：90解析：思路：根据等比数列关于片段和的性质求解即得.解答过程：在等比数列中，为其前项的和，则也成等比数列，又因，，则成等比数列，且公比为2，则，解得,故解得.14.设等差数列的前n项和为，且，（为常数），则的通项公式是_______．答案：解析：解答过程：当时，，当时，，由是等差数列，得时也应满足，即，，解得，所以的通项公式是.四、解答题15.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用等差数列基本量的计算，即可求解公差，进而可求解，（2）利用分组求和，结合等差等比求和公式即可求解.（1）设数列的公差为，则，由，得，整理得，解得（舍去），因此，；（2）因为，所以,16.已知为数列的前项和，且．（1）求证数列是等比数列；（2）求数列的前项和．答案：（1）证明见详解（2）解析：思路：（1）首先运用与的关系可得出与之间的关系，然后构造数列可得与之比为定值即可得出所证的结果；（2）由分组求和法并结合等比数列的前n项和公式求出结果．（1）当时，，得，当时，，得，可得，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，即，.17.已知各项均为正数的等比数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由已知条件求出等比数列的公比，再求通项即可；（2）先由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，然后由分组求和法及公式法求数列的前n项和即可.解答过程：解：（1）因为是正数等比数列，且所以，即分解得，又因为，所以，所以数列的通项公式为；（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以，所以.方法提示：本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n项和，属中档题.18.已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前n项和，求证：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据题意，列出关于的方程，求得，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，得到，利用乘公比错位相减法求和，得到，结合数列的单调性，即可求解.（1）解：因为成等差数列，所以，又因为数列是公比为的等比数列，所以，解得，所以，所以数列的通项公式.（2）解：由（1）知，则可得，则，两式相减，可得，所以，因为，所以数列是递增数列，则，又因为，可得，综上可得：.19.已知数列的前n项和为，，.（1）求证：数列是等差数列.（2）