2025~2026学年河北省衡水市枣强中学高二下册6月期末一考试数学试题【含答案】

/数学本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.42.某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（）A. B. C. D.3.现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（）A. B. C. D.4.现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：30岁及以下30岁以上男15060女20090记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（）附：，．A. B.C. D.5.东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（）A. B. C. D.6.设，，，则（）A. B. C. D.7.已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）3467204080A.5 B. C.4 D.8.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A. B. C. D.10.下列说法中正确的是（）A.若随机变量X，Y满足，则B.两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1C.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点D.若事件M，N满足，，，则11.对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（）附：，，，.A. B.在上的投影向量为C. D.这组点的线性相关性弱三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量的分布列如表，01234则______.13.已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________．14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表．课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时／天3560小时／天10合计100（1）试估计全校学生中视力不良的学生人数；（2）补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为，（1）求的值；（2）第项的系数是第项系数的6倍，求的值．17.随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级．（1）若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数）（2）从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望．附：若随机变量，则，，．18.函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）当，时，（ⅰ）求的值域；（ⅱ）证明：．19.某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响．（1）求甲在象棋比赛中积1分的概率；（2）记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大；（3）若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求．

数学本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：D解析：思路：根据题意结合正态分布的对称性分析求解.解答过程：因为服从正态分布，且，则，即正态曲线关于直线对称，所以，又，所以.2.某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题可知，，再利用二项分布求概率即可.解答过程：设答对的题目数量为，则，.故选：A.3.现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据分步乘法计数原理，结合排列数适用于有顺序要求的排法场景，分两步计算总排法数即可.解答过程：第一步：从200人中选取50人组成A方队，考虑站位顺序，共有种排法；第二步：第一步选取后剩余人，从中选取100人组成B方队，考虑站位顺序，共有种排法；根据分步乘法计数原理，总排法数为两步排法数的乘积，即.4.现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：30岁及以下30岁以上男15060女20090记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（）附：，．A. B.C. D.答案：A解析：思路：对列联表各位置数值赋值后代入卡方公式计算结果，再与临界值比较即可得到答案.解答过程：，，.所以.5.东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，再分别求出对应概率并计算期望即可．解答过程：设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，；，，．6.设，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小.解答过程：因为，，，考虑构造函数，求导得，，当，当所以函数在单调递增，在单调递减.所以，，，而,显然，,所以.7.已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）3467204080A.5 B. C.4 D.答案：D解析：解答过程：由表格可得，因样本中心点满足回归方程，即，解得.当时，，此时残差为.8.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果.解答过程：若甲体验儒家文化，则有：当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为；综上所述：不同的选法种数为，即；若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有：当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1；当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为；综上所述：不同的选法种数为，即；所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：可通过二项展开式通项计算各次项系数，也可通过赋值法快速求解特定系数组合的值.解答过程：对于A，的系数仅来自的最高次项，即，故A正确；对于B，令代入原式计算，得，故B正确；对于C，，，，即，故C错误；对于D，令代入原式，左边为，右边为，故，D正确.10.下列说法中正确的是（）A.若随机变量X，Y满足，则B.两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1C.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点D.若事件M，N满足，，，则答案：AB解析：解答过程：选项A：根据方差的运算性质，对任意常数，有，本题中，因此，A正确．选项B：样本相关系数的绝对值常用来度量两个随机变量线性的相关程度，其绝对值越接近1，表示线性相关程度越强，B正确．选项C：经验回归直线一定经过样本中心点，但不一定经过其中的样本数据点，C错误．选项D：由条件概率性质，，因此，D错误．11.对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（）附：，，，.A. B.在上的投影向量为C. D.这组点的线性相关性弱答案：AC解析：思路：对于A，根据样本中心点过，再联立得到，对于B，在上的投影向量为，又b=ax⋅ayay2即可判断；对于C，根据向量夹角的定义可得解答过程：已知经验回归方程为和，设b^，解得，则，故A正确；在上的投影向量为，，b=b′而回归方程中，中，b'=45因此投影向量为，B错误；相关系数，，所以，C正确；由回归方程中，中，b'=45b^⋅b所以这组点的线性相关性强，D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量的分布列如表，01234则______.答案：##解析：思路：根据分布列的性质求得，根据数学期望的计算公式求得解答过程：根据分布列的性质，所有概率之和为1，得,,由离散型随机变量数学期望的定义，.13.已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________．答案：##0.45解析：思路：根据正态曲线对称的性质即可求解．解答过程：因为，所以，则．14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________．答案：##0.3125解析：思路：由题得出的递推式，构造等比数列求解即可．解答过程：由题意得，时，，即，设，故，所以，其中，即是首项为，公比为的等比数列，故，即，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表．课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时／天3560小时／天10合计100（1）试估计全校学生中视力不良的学生人数；（2）补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）1050（2）认为学生的视力健康与课外阅读时间无关．课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时／天352560小时／天301040合计6535100解析：（1）由题可得课外阅读时间小时／天的学生中视力不良的有人，所以估计全校学生中视力不良的学生人数为3000.（2）补全列联表：课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时／天352560小时／天301040合计6535100零假设为：学生的视力健康与课外阅读时间无关，.930＜，所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为学生的视力健康与课外阅读时间无关．16.已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为，（1）求的值；（2）第项的系数是第项系数的6倍，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出展开式的通项公式，利用常数项求出的值；（2）利用项的系数关系，结合组合数计算求得的值.（1）根据二项式性质，二项式系数之和为，由题知，得.展开式的通项为：常数项满足的指数为0，令，解得.所以常数项为：.由题意得，且，解得，即.（2）第项对应，系数为；第项对应，系数为.由题意得：，整理得：，由组合数性质可得：，代入得：解得（符合的范围）.17.随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级．（1）若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数）（2）从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望．附：若随机变量，则，，．答案：（1）22716（2）解析：Y0123P0.7290.2430.0270.001思路：（1）根据正态分布的性质求解即可；（2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望.（1）因为，所以，，所以，则，所以估计该批次芯片中测试成绩为80分及以上的芯片的数量为22716；（2）因为，，所以，由题意得，Y的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以Y的分布列为：Y0123P0.7290.2430.0270.001．18.函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）当，时，（ⅰ）求的值域；（ⅱ）证明：．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ），，，偶函数，，，，偶函数，由奇偶性知只要证明时即可．即证当时，，当时，由（ⅰ），考虑，，，单调递增，此时，于是，即，故只要证在时成立即可．设，，设，则，由（ⅰ）函数在上单调递增，所以在上单调递减，故，故在上单调递减，即单调递减，又，单调递减，，故，综上．解析：思路：（1）由导数的几何意义确定切线斜率，即可求解；（2）（ⅰ）令，确定为偶函数，求导确定其在上的值域即可求解；（ⅱ）由的单调性，得到，进而证明在时成立即可．（1）