2025~2026学年河北省秦皇岛市实验中学高二下册期中考试数学试题【含答案】

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.2.方程的解集是（）A. B. C. D.3.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种4.函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.5.如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从地出发，送货到地，且途经地，要求所走路程最短，共有（）种不同的走法．A.100 B.80 C.60 D.406.已知，，，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.7.已知函数，则（）A.1 B.C.2 D.8.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A. B.e C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A.在上是增函数B.当时，取得最小值C.当时，取得极小值D.在上是增函数，在上是减函数10.若，，则（）A.B.C.D.11.下列说法中正确的是（）A.平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段B.从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法C.将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法D.将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.12.已知，则的值为___________13.若，则__________．14.五边形中，若把顶点、、、、染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有__________种．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，且直线是曲线的切线．（1）求的值；（2）求的单调区间．16.某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生.为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.（1）全体站成一排，男生互不相邻；（2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端；（3）若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面.17.已知函数在处取得极大值10．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．18.若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.19.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，在恒成立，求的取值范围.

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误．2.方程的解集是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，根据组合数的定义，应满足：，解得：，又因为，则或，即：或，所以或，方程的解集为.3.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：B解析：思路：直接根据乘法原理计算得到答案.解答过程：每个学生有3种选择，根据乘法原理共有种不同方法.故选：.方法提示：本题考查了乘法原理，属于简单题.4.函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.解答过程：，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.方法提示：本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题5.如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从地出发，送货到地，且途经地，要求所走路程最短，共有（）种不同的走法．A.100 B.80 C.60 D.40答案：D解析：思路：考虑小矩形的横边和直边，例如从到的最短距离就是从2个横边加3个直边共5条线段，不同的方法就是什么时候走直边什么时候走横边，由组合知识可得不同的方法数，根据分步乘法计数原理可得．解答过程：分两步，第一步从到的最短距离的走法有，第二步从到的最短距离走法有，由分步乘法计数原理得，总方法数为．故选：D．6.已知，，，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数，根据单调性比较大小即可.解答过程：令，则，，，而且，即时单调增，时单调减，∵，则.故选：A.7.已知函数，则（）A.1 B.C.2 D.答案：A解析：思路：由求导公式结合题设可得答案.解答过程：函数，则，再令，得，化简得，8.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A. B.e C. D.答案：C解析：思路：根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．解答过程：依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A.在上是增函数B.当时，取得最小值C.当时，取得极小值D.在上是增函数，在上是减函数答案：CD解析：思路：根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.解答过程：根据图象知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故A错误，D正确；当时，取得极小值，C正确；当时，不是取得最小值，B错误.故选：CD10.若，，则（）A.B.C.D.答案：ABD解析：思路：根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.解答过程：因，则，A正确；展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，，则，B正确；，而，则，C不正确；，而，则，D正确.故选：ABD11.下列说法中正确的是（）A.平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段B.从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法C.将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法D.将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法答案：BC解析：思路：A选项，利用组合知识得到答案；B选项，按照选出的女生人数，分三种情况，进行求解，再相加得到答案；C选项，5名工人分为2,2,1或3,1,1，结合部分平均分组的方法求出两种情况下的分配方法，相加得到答案；D选项，采用隔板法进行求解.解答过程：A选项，平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成条线段，A错误；B选项，从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，其中选出1名女生，2名男生的选法有种，选出2名女生，1名男生的选法有种，选出3名女生的选法有种，故至少一名女生被选中共有种选法，B正确；C选项，将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，故5名工人分为2,2,1或3,1,1，若5名工人分为2,2,1，则有种分配方法，若5名工人分为3,1,1，则有种分配方法，综上，共有种分配方法，C正确；D选项，可考虑隔板法，由于每个盒子至少放1个球，所以5个相同的小球排成一排，5个小球之间共有4个空，插入2个挡板，故有种方法，D错误.故选：BC三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.12.已知，则的值为___________答案：18解析：思路：由排列数公式，代入运算即可得解.解答过程：因为，所以，则.故答案为：.13.若，则__________．答案：4解析：解答过程：根据导数的定义可得，由可得，可得，即．14.五边形中，若把顶点、、、、染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有__________种．答案：30解析：解答过程：分析：本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况，这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况，最后两个边有3种情况．根据计数原理得到结果．详解：由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况.如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；这时最后两个边有3种情况.∴方法共有3(2×2+2×3)=30种.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，且直线是曲线的切线．（1）求的值；（2）求的单调区间．答案：（1）（2）单调递增区间，单调递减区间．解析：（1），设直线与曲线相切于点，，所以，解得．将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，解得．（2）的定义域为，，令，解得；令，解得，所以单调递增区间为，单调递减区间为．16.某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生.为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.（1）全体站成一排，男生互不相邻；（2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端；（3）若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面.答案：（1）1440（2）960（3）3720解析：思路：（1）不相邻问题采用插空法求解即可；（2）甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，求解即可；（3）采用间接法，先不考虑条件限制所有人全排，然后减去不符合题意的求解即可.（1）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，由乘法原理共有种排法.（2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有种.（3）不考虑条件限制所有人全排有，除去甲站在最左面有：，乙站在最右面有：；其中甲站在最左面和乙站在最右面算了2次，补上一次；总的方法为：.17.已知函数在处取得极大值10．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．答案：（1）；（2）最大值为10，最小值为2.解析：思路：（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解，（2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答.（1），故且，解得，则，令，则，当时，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取到极大值，故满足题意.（2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减，且极大值为,极小值为，又因为故函数

在区间

上的大值为10，最小值为2.18.若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.答案：（1）（2）.（3）第4项和第5项解析：思路：（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可；（2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可；（3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果.（1）由题，可得，即，即，又，所以，令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为，故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.（2）因展开式的通项公式为，，当时，为整数，即，，，所以展开式的有理项为.（3）因为展开式的通项公式为，，设展开式中第项的系数最大，则，即，解得或，故展开式的第4项和第5项的系数最大，又，，所以展开式系数最大的项为第4项和第5项.19.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，在恒成立，求的取值范围.答案：（1）当时，在