现代数值计算方法习题答案

现代数值计算方法习题答案

习题一

1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除

以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此

2

49X10：E=0.005；Er=0.0102：2位有效数字.

0.0490：E=0.00005；Er=0.00102；3位有效数字.

490.00：E=0.005；Er=0.0000102；5位有效数字.

2、解：y=3.1428……,乃=3.1415……,

取它们的相同部分3.14,故有3位有效数字.

00013

E-3.1428-3.1415-0.0013；Er---0.00041.

3.143.14

3、解：阿的近似值的首位非0数字四=1,因此有

IE；(x)|=—!—xlO-(n-1)<=—X101,解之得〃>=5,所以/?=5.

2x12

4、证：(/)H1=—(Z)n'(x-x*)

nn

5(疗)=军1/宜土出」可」£«)

吐nVx*"X"

5、解：(1)因为同=4.4721……,

又£(/)=I=IV20-4.47I=0.0021<0.01,所以V=4.47.

(2)V20的近似值的首位非0数字?=4,因此有

I£；(x)|=」一xl(T(i)<=0.01,解之得〃>=3.所以，/=4.47.

2x4

6、解：设正方形的边长为工，则其面积为由题设知x的近似值为一=10

cm.

记)」为)，的近似值，则

E(y*)=2x\x-xt)=20(x-x*)=2OE(x*)<=0.1,

所以E(/)<=0.005cm.

7、解:因为4y)=加1〉-x・),

所以心。“)二x=〃"(幻=0.01〃.

x"X

8、解：

9、证：E(S)=5-5*«gt(t-r*)=gtE(t)

S-S*.gt(tT*)2EQ)

E,(S)=由上述两式易知，结论.

Sgt2/32t

10、解：代入求解，经过计算可知第（3）个计算结果最好.

11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理叱、三角函数恒等变形……

（I）通分：（2）分子有理化：（3）二角函数恒等变形.

12、解：因为/=血，第=1.41,所以|尤0-耳1<=|xl0-2=J

于是有

Ixx-x*|=110x0-l-10x*+1|=10|XO-XQ|<=10<5

I“2一%2I=I10X1-1—10X|+1=101X|-X||<=10"

类推有l^0-<0|<二10==gxl（/

即计算到内o,其误差限为i（y°s,亦即若在/处有误差限为5,则%的

误差将扩大"0倍，可见这个计算过程是不稳定的.

习题二

1、解：只用一种方法.

（1）方程组的增广矩阵为:

2-1-1；42-1-1542-1-154

34-2；11011-1:10011-1:10

3-24；II0-111：10001;i

X)—3,Xj=1>X3=1>

（2）方程组的增广矩阵为:

3-14:73-14；73-I4；7

-12-2：-1—>05-2；4—►05-2；4

2-3-2：0012；2002：1

fX）=2,x2=1,x3=1/2.

（3）适用于计算机编程计算.

2、解：第一步：计算〃的第一行，£的第一列，得

wH=6ui2=2w13=1z/l4=-1

/2i=a2i/=1/3/31=%[/〃]]=1/6

/41=/〃[]=-1/6

第二步：计算〃的第二行，£的第二列，得

a—

“22=22~，21%2=10/3U23=3，，必3=2/3

〃24=。24一，2必4=1/3，32=（〃32-4田12）/〃22=1/5

，42=（“42—’41"12）,"22=1/1°

第三步：计算〃的第三行，人的第三列，得

“33=a33~，31〃13—132H23=37/10

W34=a34一73必4一，32〃24=-9/10

­二（--乙/3-/42〃23）/〃33=-9/37

第四步：计算。的第四行，得

“44=。44-，4必4-，42〃24-，43“34=-第5/370

-621-f

-10-13

10001%21-1

1/310°°10/32/31/3

1/61/51°°037/10-9/10

-1/61/1（）-9/37J。00-955/370

由=,解得y二(6,-3,23/5,-955/370)r.

由ux=y,解得X二(1,一1,1»—1)r.

3、(1)解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子

式是否大于零来判断.

321

32

卬=3>0,=2>0,220=4>0,所以系数矩阵

22

103

是对称正定的.记系数矩阵为力，则立方根法可按如下三步进行：

第一步分解：A=LU.

.2V3.V6

由公式计算出矩阵的各元素：％=6，21=，22=

,百

/31=T/32=一半〔33=6

V300

因此，L=——0.

33

73a

_TV2

第二步求解方程组=。.解得F=(—,—,V2)r.

33

第三步求解方程组£/=1/.解得*=(0,2,1)'.

(2)解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式

是否大于零来判断.

323

32

=3>0,=2>0,220=6>0,所以系数矩阵是对

22

称正定的.记系数矩阵为小则平方根法可按如下三步进行:

第一步分解：A=LLr.

由公式计算出矩阵的各元素：

「一A1_26「瓜

1

11=73z21=—/22=—

，3I=KG=-R(33=6

-V300

因此，£=逋旦0.

33

6—V6

解得F-(坐，一旦,也)「.

第二步求解方程组6.

363

第三步求解方程组UX=Y.解得X=(1,1,1)\

23

4^解：对i=l,4=%[=2；

对'=2,Gi=T>/21=——，d?=--；

7,1,7,27

对，=3,/3|=1‘32=5>Z3I=2，Z32=--，〃3二彳

200

所以数组力的形式为:A=0

2

£27

2-T.

7,竺)

求解方程组LY=b.解得Y(4,

5

求解方程组"X二Y.解得X二一,—)r.

99

~\0000-H16000

0000u600

1212

5、解：（1）设/二〃，二0h10000〃360

00/410000w46

00041_0000w5

,15565

=

计算各元素得:[1二5,hb--，k=〃？=--

2=5'1919'19

1921165665

u.=---

6565'2112H.

(1,二，—,,212「

求解方程组LY=d.解得Y

51965211

15091145703395212)丁

求解方程组UX=K解得¥(

~665'~665"665,665*665

100W]10

(2)'设A=LU=l2100u21

0…」[00%

7124,5115

计算各元素得：%=5/)=一,=--,=--,=---

5-524-24

求解方程组LY=d.解得y=(17,—,—)\

524

求解方程组UX=Y.解得才二(3,2,1)7.

6、证：（1）（2）相同.

因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相

应

的高斯一赛德尔迭代法都收敛.

（1）雅可比迭代公式：

收」以）一2追）十处

7-757

4钊=-2燎）_24）+2

99-3

高斯一赛德尔迭代公式:

(A-+I)=_1^)_2X<,>+10

।7/7，7

4用)=-;工尸)-%『+1

球叫=_2婕+D二铲)+2

99-3

（2）雅可比迭代公式：

疝用）=2工’一！石幻+3

琛+D=_（染）+|欧+|

点川=2（幻+_［追）+U

-515-5

高斯一赛德尔迭代公式:

俨=|熠_*+：

x尸）=一（工厂）+|甘）+|

4旬=3产)+?尸)+装

7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和

相

应的高斯一赛德尔迭代法都收敛。

(2)雅可比迭代法:

写出雅可比迭代法公式:

碟)+5

5110-1()

取2°)=(-3,1,1)；迭代到18次达到精度要求,

丫(闻

(-3.999,2.999,1.999)「.

高斯一赛德尔迭代法:

写出高斯一赛德尔迭代法公式:

X,(i+，)=-|x^-1x；A)-y

x(A-+i)=lxa+i)_lxa)+5

510-10

取(-3,1,1)\迭代到8次达到精度要求,

/⑻=(-4.000,2.999,2.000)

8、S0R方法考试不考。

9、证明：雅可比法的迭代矩阵为：

00-120-1

Bj=-D-l(L+U)=--100团-昨-140

----0_2%

33J"33

解得°(均)>=1,所以雅可比迭代法不收敛.

高斯-赛德尔法的迭代矩阵为:

00-1A0-1

M=-(D+Ly'U=-00-10z-1

00-1002-1

求得4=4=0，4=1,则Q(M)=I,所以高斯-赛德尔迭代法不收

敛.

10、证明：雅可比法的迭代矩阵为：

[o」!.-11

2222

Bj=-D-,(£+(7)=-1011A,1

-1-10-1-1A

2222

求得4=()，i»z,则p(B/)=1,

所以雅可比迭代法不收敛.

高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：

-----

022l/ov22

1

11M-1

--I2-

M=-(D+L)TU=-0-F--一

22o22

1313

---人

04444

求得4=4=-g,4=o,贝|」/?(〃)<1,所以高斯-赛德尔迭代法收

敛.

11、证明：当—0.5〈a<1时，由

1aa

1=1->0,a1a-(1-a)2(l+2a)>0,所以A正定.

a1

aa1

0-a-a

雅可比迭代矩阵为=-a0-a,所以,

-a-a0

aa

|AI-BJA,ci—才—3^/7+2。~=(A.—(2+2。)

a2

所以，夕(玛)-|2々］,故当-0.5<4<0.5时，雅可比迭代法收敛V

12、解：ML=max{0.6+0.5,0.1+0.3)=1.1；

Ml=max{0.6+0.1,0.5+0.3}=0.8；

|即=Jo.36+0.25+0.01+009=0.8426；

■().6o.r-().6().5r().37O.33-

ArA=[o.330.34

0.50.30.10.3

2-0.37-0.33I

|I-0.332-0.34)=万一0.712+0.0169=0

所以41axi加4=0.685,所以M(=Jo.685=0.83.

13、证明：(1)由定义知,

IWL=怪㈤wi\^\=W.“£哺同=iiw=

i=lM/=!oo

故同„此

(2)由范数定义知，

Ml；=电式A,A)<4(A，A)+4(A『A)+……+4(AZ)

=£4+£*+……+£成=£力。泊啡

;=1;=1>=1;=1

Ml；=4/A74)>:以(“A)+4(A)+……+%A)]=)川；

故91咻引理引4

习题三

1、解：/(x)=/-3x+l在区间[0.3,0.4]上/'(1)=4/一3<0,故/@)在区间

[0.3,0.4]上严珞单调减少，又〃0.3)>0,〃O.4)vO,所以方程在区间

[0.3,0.4]上有唯一实根。令(0.4-0.3)/2k+[<=，X10-2,解得二

2

4,即应至少分4次,取％=().35开始计算，于是有:

当1时，x=0.35,/(x,)<0，隔根区间是［0.3,0.35］,

当〃二2时，尼二0.325,f(x2)>0，隔根区间是［0.325,0.35］,

当〃二3时，曲=0.3375,/(x3)>0，隔根区间是［0.3375,0.35］,

当a二4时，为=0.34375,/(%)<(),隔根区间是［0.3375,0.343751.

所以♦。(0.3375+0.34375)/2«0.341.

2、解：/。)=/+1_4在区间［1,2］上,f'(x)=3/+l>0,故/(x)在区间［1,2］

上严格单调增加，又/(2)>0,/⑴<0，所以方程在区间［1,2］上有唯

一实根.

令号<二Lxl0-4,解得4>=13.3，即应至少分14次.

2人+2

3、解：作图，判断根的数目、找隔根的区间.

(1)有唯一实根，隔艰区间［0,〃/4］,收敛迭代公式：A7+1=sin..

(2)有唯一实根，隔根区间［1,2］,收敛迭代公式：占句=log2(4-z).

4、解：取与=1.5的邻域［1.3,1.6］来考察.

(1)当工£［1.3,1.6］时，<^(x)=Vl+x2e［1.3,1.6］,|^(x)|<=0.522=Z<

1,所以，="+刑在［1.3,1.6］上收敛.

(2)当XE［1.3,1.6］时，(p(x)=\+l/x26［1.3,1.6］,|夕(x)|<=0.91=Z<

1,

所以,九八|=1+1/疗在［1.3,1.6］上收敛.

(3)当XE［1.3,1.6］时，(p(x)=l/Vx-lG［1.3,1.6］,I(p(x)\=L>1,所以,

xk+i=J」-1在［1.3,1.6］上发散•

(4)当xw［1.3,1.6］时，以工)=Jd-i任［i3,1.6］，所以，%=Jx；T在

［1.3,1.6］上发散.

取％=1.5开始计算，于是有：

x,=1.481448,x2=1.472705,x3=1.468817,

x4=1.467047,x5=1.466243,=1.465876.

由于I%-/I<10-3,故可取尤*2s4=1.466.

5、解：方程的等价形式为r=/+0.2=讽.0,迭代公式为Xi二近万5工.

作函数),=/和),=x+0.2的图像，可知其正根区间为10.5,1.5J.

当xc[0.5,1.5]时，0(x)=Vx+0.2e[0.5,1.5],|*(x)|〈二0.3二£〈

1,所以，一十1二.十月在[0.5,1.5]上收敛.

取%=0.5开始计算，于是有：

x,=0.93114992,x2=1.0249532,x3=1.04141516,

x4=1.04419321,x5=1.0446673,%=1.04474582,

九7=1.04475903,与=1.0447613,x9=1.04476123.

由于I%9一工8I<Lx1（尸，故可取X：A=1.04476.

2

6、解：当工£[0,0.5]时，e（x）=（2—/）/10e[0,0.5],|0（幻|<=0.825二£〈

所以加=（2-所）/10在区间[0,0.5]上收敛.

取%=0.5开始计算,于是有：

»=0.10000000,x2=0.08948290,x3=0.09063913,

x4=0.09051262,x5=0.09052647,x6=0.09052495.

x

7、解:由于°（x）在根x*=0.5附近变化不大，＜p'M=-e~\x=05=-0.607=q.

迭代一加速公式为，

取％=0.5开始计算，于是有:

占=0.5662917,x2=0.5671223,x3=0.56714277.

4

由于|七一/I<gx10-,故可取x*aA3=0.5671.

8、解：埃特金加速公式为:

其+i=在+1

.0+2=NXk+l+1

取々=1.5开始计算,于是有:

x/1.32489918,x2=1.32471796,x3=1.32471637.

由于|5-X21<!X10",故可取ux3=1.3247.

2

9、解：对于=/'(x)=〃£i,因此牛顿迭代法为

%+i~^^=~(〃-1)勺+言]，k=0,1,2,3,…

对于/*)=1一=,/(©=署，因此牛屯员迭代法为

-V.V

%+]=占_f=卫(〃+1)匕--,k=0,1,2,3,…

/⑺)nLa_

因为加所)=—率所以，

,4a

立一％1n-l

对于/(幻=/一〃=0,hm—j=——-=

2

i^Cl-Xk)

「y[a-xn+\

对于f(x)=1一~5=。，lim—=——k-+]v

一砺.

10、解：/。)=/一3工一1在区间［1,2］上，/⑴<0,/(2)>0,

f(x)=332-3>=0,f(x)=6x>0.

又因为/(2)/」｛2)>0,所以收敛且以%=2作初值。

x；—3x—12x；+1

取%=2,用牛顿迭代法,k

3才-33(%：—1)

计算得x,=1.8889,x2=1.8794,x3=1.8794,

由于|七-々I<gxlO\故可取/aA3=1.879.

2

11、解：设/(x)=^-c，则fM=3x,f"(x)=6x.牛顿法迭代公式为:

xk+}=g(2s+二)k=0,1,2,3,…

当x>0时，/1(x)>0,/,(x)>0,当x<0时，/1(x)>0

/'W<0.

因止匕对于C>0,当/>正时，/(/)/"(%)>0，牛顿序列卜t｝收敛到Vc.

当天£(o,北)时，内一汴=生£一痣=区二支(痣+2%)>0,

3芍3%

所以网>45,因此,从再起，牛顿序列｛占｝收敛到痣.

对于C<0,当/<沅<0时，/(%)/"(x0)>0,牛顿序列卜J收敛至I」Vc.

()2

当/e(Vc,O)Bj-,X,-Vc=-Vc=^Y°(Vc4-2x0)<0,

所以修<石，因止匕，从再起，牛顿序列｛占｝收敛到痣.

V39

当C=0时，迭代式变为勺旬=Z--T=-x,.

3/3

该迭代对任何%£R均收敛，但收敛速度是线性的.

取%=1开始计算，于是有：

X,=1.66666667,x2=1.23111111,x3=1.48053039,

x4=1.44323083,x5=1.44225024,x6=1.44224957,

x7=1.44224957.

由于lx?-"<-x10",故可取工7=1.442250.

12、解：令/(x)=1-x-sinx,取%=0,X=1开始计算,

经过4次计算可以得到x4=0.51098.

习题五

1、解：L2(X)=f(x())/0(x)+/(xI)/((x)+f(x2)/2U)

dXx-2)(X-1)(X1)537

=0+(-3)+4+=X2+-x—

(-1-1X-I-2)(2-l)(2+l)623

2、解：L3(X)=/(X0)Z0(X)+f{xx)lx(x)+f(x2)/2(x)+f(x3)&(x)

(x-l)(x-2)(x-3)x(x-2)(x-3)x(x-l)(x-2)

=2------------------------------F3---------------------+U------------------------

(-l)-(-2)-(-3)(-l)-(-2)3-21

(x-l)(x-2)(x-3)3x(x-2)(x-3)x(x-l)(x-2)

=---------------------1--------------------------------.

326

3、解：L3(X)=/(x0)/0(x)+/(MM(x)+f(x2)/2(x)+f(x3)l3(x)

=0.1214.(直接代入数据，因较复杂，省略)

4、证：(1)当(2)中的2=0时，即可得结论.

(2)函数/及均为被插值函数1的关于互异节点看的不超过

i=0

〃次的插值多项式，利用插值多项式的唯一性可知结论.

5、证：以x和工=匕为插值点，建立了(幻的不超过一次的插值多项式：

k(x)=f(a)W+f(b)二三0

a-bb-a

应用插值余项公式有：

|/(x)-L](x)|=^f(^)(-«)(X-b)<|max|/"(^)|-a^x-b)\

<i（z?-w）2max|/'（^）|,因此可得结论。

6、解：选与=1.4,x=1.5,々=L6为节点，计算得:

L2(1.54)=/(1.4)/0(1.54)+/(1.5)/,(1.54)+/(1.6)/2(1.54)

1(1.54-1.5)(1.54-1.6)(1.54-1.4)(1.54-1.6)

=1.(XJZ------------------------------------F1.X3/------------------------------------F

(1.4-1.5)(14-1.6)(1.5-1.4)(1.5-1.6)

(1.54-1.4)(1.54-1.5)

+2.121•=1.94472.

(1.6-1.4)(1.6-1.5)

7、解：/(%)=/Uo)4W+/UlVl3+f(^2)4(x)+f(X3)4(幻

x(x-3)(x-6)x(x+3)(x-6)।l0X(x+3)(x+2)

-+0-2

(-3)(-6).(-9)63(-3)9.6-3

1.、

=——(231-63X2-234x+324).

162

8、解：(略)

9、证：设/(x)=B(x)+用(x),口,川(工)=(工一厮)(工一再)…

将差商（均差）用函数值表示，则有：

网的,西，•・•%]=X-T—=L——、

>=°@什1（X，）J=°%+i（%，）

7=03”+i（*/）/=。3”+i（弓）

=^[工0,王…，七』+7%1工0,阳…，七』

取尸=0,a=c得结论（1）,取夕=a=l得结论（2）.

10、证:

/•rxx]_寸AX)_寸__________________________

*'*'幺或+i(xy)幺(々-/)…(马-%)。「4川)…(巴-乙)

11、解：制造向前查分表:

i再5；­

001

1

11214

1518

221732

47

3364

由题意，x0=0,〃=1.当x=0.5时，[=*3=0.5.

/?

将查分表上部那些画横线的数及，=0.5代入公式，有

/八4、.八v0.5(—0.5)-0.5(-0.5)(-1.5)

NK13(0.5)=1+0.5+—~-xl4+-----------x18=0.875.

6

当x=2.5时，，=n二=().5.将查分表下部那些画横线的数及/=0.5代入公

h

-u右入/00.5(-0.5)-0.5(—0.5)(—1.5)”々公

式，有M(2.5)=A6/41-4/177xn0.5H--------x32---------------x18Q=35.375

26

12、解：制造向前查分表:

i阳△%

0-1-2

1

10-11

2-2

211-1

1

322

由于其根在［T,2］之间，故采用牛顿后插公式，

计算得1=1.5,所以x=0.5.

13、证：采用差分的定义来证明.

14、解：方法同第11题.

15、解：以X,.T，%.和匕”为插值节点的插值多项式的截断误差，则有

1

的（X）=%/（0U-须_1）（x-七）（x-演+1）•

J・

式中gw（须-1,巧+1），司・1=Xj_h,x/+1=x.+h

则艮（小"酸x………,=枭〃3

0-'r-l-A-Ar+l0JV39V3

令、〃3W10-5得0.0658.

9V3

习题六

-24-

3-53-30373一

1、解：由题意得A=,b二,所以47A=

126_34929

_42_14

2.4555

又A7AX=47力所以X=

0.4456

2、解：设拟合曲线为一次多项式：必=0。）=4+4元.计算各元素:

8888

〃=8,2七=15.26,2须2=30.1556,=145.227,=286.93628,

r=li=li=li=l

815.26145.227

故法方程组为

15.2630.1556286.93628

解得%=3.916,%=7.464.所以必二%（幻=7.464x+3.916.

二次多项式拟合曲线与一次多项式拟合曲线类似（略）.

3、解：设拟合曲线为二次多项式：y=。+云2.计算各元素：

5555

"=5,Z?=5327,^=7277699,£上=271.4,£/2M=祈9321.5,

r=li=li=l

55327ci271.4

故法方程组为

53277277699b369321.5

解得a=0.973,b=0.050.所以y=0.973+0.050x2.

4、解：经描图发现/和，符合二次曲线.

设拟合曲线为二次多项式：$=〃+历+。产.计算各元素:

6666

〃=6,以=14.7=53.63,=，»：=

f=lr=li=lr=l

£64=280,26，㈤=1078,E6r',一

»=ii=i

614.7

故法方程组为14.753.63

53.63

解得。二,b—,C=.所以S=4+初+c/.

5、略.

6、解：对公式/=/（胫5两边取常用对数有lg/=lgI0-at\ge.

令〃=lg/,A=1g/0,8=-aIge,则得线性模型"=A+B/.计算各兀素:

7777

〃=7,Z"3.5,»；=2.03,»、=0.8638,»四=0.08067,

i=l»=l/=1«=1

73.5A0.8638

故法方程组为

3.52.03B0.08067

解得A=0.7509,8=—1.2546,得=5.635,a=2.889.

所以Z=5.635e-2889/.

7、解：对公式y=两边取常用对数有lgy=lga+〃xlge.

令〃=1gy,A=\oay4=〃lge,则得线性模型〃=A+用.计算各兀素:

5555

n=5,2天=7.5,=11.875,工)',=4.0848,=6.2645,

i=\i=l»=1r=l

57.5A_4.0848

故法方程组为B-6.264

7.511.8755

解得A=0.4874,8=0.2197,得4=3.072,Z?=0.5057.

所以y=3.0720的'.

8、解：令lnx=X，则y=o(x)=a+〃X.计算各元素:

n=4,2Xj=3.178,为X；=3.60914,之