小学数学四年级上册：两、三位数除以两位数（试商）知识清单

小学数学四年级上册：两、三位数除以两位数（试商）知识清单一、核心概念与知识体系建构（一）除数是两位数的除法意义再认识【重要】除数是两位数的除法，是整数除法计算的最后一个阶段，它建立在二年级除法的初步认识、三年级除数是一位数的除法以及四年级上册除数是整十数的口算除法基础之上。其核心意义仍在于“平均分”或“包含除”。当除数是两位数时，意味着我们要把一个数（被除数）平均分成若干份，每份的数目是两位数；或者求被除数里面包含多少个两位数。这个过程从直观的动手操作（如分小棒）逐步过渡到抽象的符号运算，是数学思维从具体走向抽象的关键一步。【基础】理解除法各部分的名称及其关系至关重要。在除法算式“被除数÷除数=商……余数”中，被除数是要被分的总数，除数是每份的个数或份数，商是分得的结果（份数或每份的个数），余数则是分完后剩余且不够再分一份的数。它们之间的基本关系是：被除数=除数×商+余数（0≤余数<除数）。这个关系式不仅是验算的依据，也是理解试商原理的基石。（二）笔算除法的通法与定位原则【重要】笔算除法的核心在于“分步进行，逐位求解”。其基本步骤可以概括为“商、乘、减、落”四字诀。第一步“商”：从被除数的高位起，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多看一位，用这一部分除以除数，得到的商写在对应的数位上。第二步“乘”：用试出的商乘以除数，将积写在被除数的对应部分下面。第三步“减”：用被除数的对应部分减去这个积，得到一个差。第四步“落”：如果这个差小于除数，且被除数后面还有数位没有落下，则将其落下来，与之前的差组成一个新的数，然后重复“商、乘、减、落”的过程，直到除尽或得到最终余数。这个过程的本质是将一个大的除法问题分解成若干个连续的、位数更少的除法问题。二、试商的原理、方法与进阶技巧（一）试商的本质与基本策略【核心技能】【高频考点】试商，顾名思义，就是“试验着去商”。因为除数是两位数，我们很难一眼看出商几，需要利用乘法口诀和估算进行尝试。试商的本质是寻找一个合适的数，使得它与除数的乘积最接近且不超过被除数的当前部分。这个“寻找”的过程需要策略，而不是盲目地乱猜。基本策略是“四舍五入”法，即将除数看作与之接近的整十数来试商。【难点】1.“四舍”法试商：当除数的个位是1、2、3、4时，通常用“四舍”的方法，把除数个位上的数舍去，看作与它接近的整十数来试商。例如，计算197÷23，把23看作20来试商。由于把除数看小了，初商（第一次试出来的商）可能会偏大，这时就需要调小。这种情况在试商中最为常见，需要学生敏锐地发现乘积大于被除数的问题并及时调整。【难点】2.“五入”法试商：当除数的个位是5、6、7、8、9时，通常用“五入”的方法，把除数个位上的数向前一位进一，看作与它接近的整十数来试商。例如，计算278÷38，把38看作40来试商。由于把除数看大了，初商可能会偏小，这时就需要调大。学生需要理解，试商是一个“试验验证调整”的动态过程，而不是一蹴而就的。（二）调商的原理与操作步骤【难点】【核心技能】调商是试商过程中最考验数感和运算能力的环节。当用“四舍”法把除数看小后，初商可能会偏大。例如，计算272÷34，将34看作30试商，30×9=270，270小于272，所以初商9。但实际用34×9=306，306大于272，说明商9太大了，因为乘得的积超过了被除数。此时就需要将商调小1，改商8。34×8=272，恰好除尽。【难点】当用“五入”法把除数看大后，初商可能会偏小。例如，计算252÷36，将36看作40试商，40×6=240，240小于252，余12，初商6。但实际用36×6=216，216小于252，余数36，检查余数36，发现余数等于除数，说明商6太小了，因为余数必须小于除数，当余数等于或大于除数时，就说明商小了。此时就需要将商调大1，改商7。36×7=252，恰好除尽。调商的关键在于对“积与被除数比较”以及“余数与除数比较”这两个结果的准确判断。（三）特殊试商技巧与数感培养【拓展】1.同头无除商八九：当被除数和除数的最高位相同（“同头”），且被除数的前两位比除数小（不够除，即“无除”）时，商通常可能是8或9。例如，计算312÷39，被除数前两位31小于除数39，且最高位都是3，这种情况可以优先试商8或9。因为同头情况下，被除数与除数的数值较为接近，商过大或过小的可能性较小。【拓展】2.除数折半商四五：当被除数的前两位（或前三位）正好是除数的一半左右时，商通常可能是4或5。例如，计算247÷52，被除数前两位24大约是除数52的一半（26），可以优先试商5。再如，计算168÷34，被除数前两位16大约是除数34的一半（17），可以优先试商4或5。这种技巧能极大地提高试商效率。【重要】培养数感：高效试商的背后是良好的数感，具体表现为对数字大小关系的敏锐直觉。这需要通过大量的口算、估算练习来培养。例如，能快速说出一个两位数乘几的积大约是多少；能判断一个积是否接近另一个数。教师应鼓励学生在试商前先进行估算，预估商是几位数，商的范围大约在几到几之间，这样试商就会更有方向性。三、不同情形的笔算详解与易错点剖析（一）除数用“四舍”法试商的笔算（如：192÷32）【基础】步骤一：确定商的位数。除数32是两位数，先看被除数192的前两位19，19小于32，不够商1，所以要看前三位，商是一位数。【核心】步骤二：试商。用“四舍”法，把32看作30来试商。想30×几接近192，30×6=180，30×7=210（210>192，太大了），所以初商6。【验证与调整】步骤三：验证。用初商6乘以原除数32，得32×6=192。192等于被除数，说明商6正合适。【结果】步骤四：写商。在个位上写6，=0，表示除尽。★【高频考点】易错点：学生可能直接用30×6=180，然后用=12，认为余12就结束了，忘记了验算环节。正确的做法是必须用原除数乘以商，而不是用看成的整十数。另一个易错点是书写位置，商6一定要与被除数的个位对齐。（二）除数用“五入”法试商的笔算（如：251÷38）【基础】步骤一：确定商的位数。除数38是两位数，被除数251前两位25小于38，所以商是一位数。【核心】步骤二：试商。用“五入”法，把38看作40来试商。想40×几接近251，40×6=240，40×7=280（太大），所以初商6。【验证与调整】步骤三：验证。用初商6乘以原除数38，得38×6=228。228小于251，余数=23。【判断】步骤四：检查余数。余数23小于除数38，说明商6合适，不需要调大。但如果余数大于或等于除数，就需要调大。【结果】步骤五：写商。个位上写6，余数为23。★【高频考点】易错点：学生常犯的错误是“忘记比较余数与除数”。当算出余数后，必须立即与除数比较，这是判断商是否合适的关键一步。此外，计算38×6时容易出错，需要扎实的乘法口诀基础。（三）需要调商的笔算（四舍法导致初商偏大，如：272÷34）【难点】步骤一：确定商的位数。34是两位数，被除数前两位27小于34，商是一位数。【试商】步骤二：试商。用“四舍”法，把34看作30，30×9=270，接近272，初商9。【验证发现偏大】步骤三：验证。用原除数34×9，计算34×9=306。306大于被除数272，说明商9太大了，需要调小。【调整】步骤四：调商。将商9调小1，改商8。再用8×34，计算34×8=272。272等于被除数，商8正合适。【结果】步骤五：写商。个位上写8，除尽。▲【难点】易错点：学生计算出34×9=306后，不知道下一步该做什么，或者直接用去算差，这是方向性错误。要明确，当发现积大于被除数时，说明“商大了”，必须立即“调小商”，而不是继续计算减法。（四）需要调商的笔算（五入法导致初商偏小，如：252÷36）【难点】步骤一：确定商的位数。36是两位数，被除数前两位25小于36，商是一位数。【试商】步骤二：试商。用“五入”法，把36看作40，40×6=240，接近252，初商6。【验证发现偏小】步骤三：验证。用原除数36×6=216。216小于252，计算余数=36。【判断】步骤四：检查余数。余数36等于除数36，说明商6太小了，因为余数不能等于除数，至少还要再分一份，需要调大。【调整】步骤五：调商。将商6调大1，改商7。再用7×36，计算36×7=252。等于被除数，商7正合适。▲【难点】易错点：学生算出余数36后，可能认为计算完毕，直接写出“商6余36”。这是典型的“忘记比较余数和除数”的错误。必须反复强调，每次减完后，余数必须比除数小。余数等于或大于除数，都是商偏小的表现，需要调大。（五）商是两位数的笔算（如：576÷18）【进阶】【高频考点】步骤一：确定商的位数。除数18是两位数，被除数前两位57大于18，够商1，所以商是两位数。【第一步】步骤二：除被除数的前两位。57÷18。用“五入”法，把18看作20来试商。20×2=40，20×3=60（太大），试商2。用原除数18×2=36。5736=21。余数21大于除数18吗？21>18，说明商2小了！需要调大，改商3。18×3=54。5754=3。余数3小于18，商3合适，写在十位上。【落位】步骤三：落下个位。把被除数个位的6落下来，与余数3组成36。【第二步】步骤四：继续除。36÷18。用“五入”法，把18看作20，20×1=20，20×2=40（太大），试商1。用原除数18×1=18。3618=18。余数18等于除数18，说明商1小了，需要调大，改商2。18×2=36。3636=0，除尽。商2写在个位上。【结果】步骤五：最终商是32。★【高频考点】易错点：商的书写位置是重中之重。第一次除得的商是十位上的3，必须写在十位上；第二次除得的商是个位上的2，必须写在个位上。位置写错，整个数的大小就错了。此外，每一步的余数都必须小于当前的除数，这是检验每一步是否算对的标尺。四、深度思维与策略优化（一）估算在试商中的导航作用【重要】估算是试商的“导航仪”。在动笔计算之前，先进行估算，可以确定商的大致范围，避免盲目试商。例如，计算425÷52，可以先想50×8=400，50×9=450，所以商大约在8和9之间。再结合具体被除数425，比400多25，而52比50多2，8个2是16，400+16=416，=9，所以商8余数9的可能性很大。这样的估算，为精确试商提供了清晰的方向。（二）从试商到“定商”的逻辑链条试商的完整逻辑链条是：观察（分析除数和被除数的特点）→预估（利用四舍五入或特殊技巧得出初商）→验证（用初商乘原除数）→判断（比较积与被除数、余数与除数的大小关系）→决策（决定商是否合适，是调大还是调小）→确定（得出正确的商）。每一步都紧密相连，缺一不可。掌握这个链条，不仅能正确计算，更能培养学生的逻辑思维和严谨态度。（三）错误类型分析与规避策略【基础】常见错误归纳：1.计算性错误：乘法口诀记错，或减法计算失误。规避策略：加强口算练习，特别是100以内的加减法和一位数乘两位数的口算。2.步骤性错误：忘记比较余数和除数；商的位置写错；被除数末尾有0时处理不当。规避策略：熟记并严格遵循“商、乘、减、落”的步骤，每一步做完后问自己“这一步做对了吗？”3.试商策略性错误：盲目试商，不会根据除数特点选择合适的试商方法；调商方向弄反。规避策略：系统总结各种试商技巧，多做对比练习，理解“四舍商易大，五入商易小”的规律。4.心理性错误：题目数字较大或步骤较多时产生畏难情绪，导致粗心。规避策略：培养耐心和细致的习惯，把复杂问题分解成简单步骤，每一步都踏实计算。五、典型题例与考点解析（一）基础计算题（考查算理与算法）【题型】列竖式计算。（1）345÷39（2）564÷47（3）728÷82【解答要点】（1）把39看作40试商，40×8=320，40×9=360，初商8。39×8=312，余33。余数33<39，商8合适。竖式略。（2）把47看作50试商，50×1=50>56？不对，56÷47应看前两位56，50×1=50，初商1。47×1=47，5647=9，落下4成94。94÷47，把47看作50，50×1=50，50×2=100，初商1偏小？实际9447=47，余47等于除数，改商2。47×2=94，除尽。商12。（3）把82看作80试商，80×9=720，初商9。82×9=738，738>728，商9偏大，调为8。82×8=656，=72，余72<82，商8合适。【考查方式】此类题是必考题，主要考查学生对基本算法的掌握程度和计算的准确性。（二）变式填空题（考查商的位数与试商能力）【题型】在算式“□47÷38”中，要使商是一位数，□里最大可以填（）；要使商是两位数，□里最小可以填（）。【解答要点】商是几位数，由被除数的前两位与除数的大小关系决定。除数是38。要使商是一位数，被除数的前两位□4必须小于38，所以□4可以是14、24、34，□最大填3。要使商是两位数，被除数的前两位□4必须大于或等于38，所以□4可以是44、54、64、74、84、94，□最小填4。★【高频考点】此类题是考查除法意义的理解和商的定位原则的经典题型。（三）改错题（考查辨析与诊断能力）【题型】下面的计算对吗？把不对的改正过来。938）382342―――40【解答要点】错误。余数40大于除数38，说明商9偏小，应该商10。但商10表示10个38，在竖式中应表示为在十位商1，个位商0？但382÷38，前两位38等于除数，应在十位商1，然后用1×38=38，3838=0，再把个位2落下来，2除以38不够商1，在个位商0占位。所以正确结果是10余2？不对，382=38×10+2，是对的，但竖式写法有误。题目中竖式直接商9在个位，是错的。正确竖式应为：十位商1，个位商0，结果是10余2。或者直接用=40，发现余数40>38，应调商，将9改为10。此题考查对余数性质的深刻理解。（四）解决问题（考查知识应用能力）【题型】实验小学四年级有328名学生去参观科技馆，每辆大巴车限乘42人，至少需要租多少辆这样的大巴车？【解答要点】本题是“包含除”的实际应用，求328里面有几个42。列式：328÷42。把42看作40试商，40×8=320，初商8。42×8=336，336>328，商8偏大，调为7。42×7=294，=34。余34人。所以8辆车不够，还需要一辆车给余下的34人。因此答案是7+1=8（辆）。▲【难点】易错点在于最后一步“进一法”。学生算出商7余34后，往往直接答“需要7辆车”，忽略了剩余的34人也需要一辆车。在解决实际问题时，要根据具体情况决定商的取值是“去尾”还是“进一”。（五）拓展探究题（考查思维灵活性）【题型】在算式“240÷□□=□”中，除数是两位数，且没有余数。请写出所有可能的除法算式。【解答要点】本题逆用除法与乘法的关系，即寻找两个两位数，使得它们的乘积等于240。将240分解因数：240=1×240（不行，240不是两位数）=2×120（不行）=3×80（可行，3是一位数？3不是两位数，80是两位数，但3不是两位数，所以不符合“除数是两位数”的要求，注意这里的“□□”代表除数，是两位数。所以我们要找的是两个两位数的因数。240=10×24，240=12×20，240=15×16。还有交换顺序？题目是240÷除数=商