初中数学九年级上册：用列表法求概率教案

初中数学九年级上册：用列表法求概率教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，概率教学的核心在于引导学生体会随机现象的特点，理解随机思想，掌握用列举法（列表、画树状图）计算简单随机事件发生的概率，并能够应用概率知识解释一些生活现象，作出合理决策。本节课“用列表法求概率”是概率计算方法的深化与规范化，在知识图谱中，它上承“用直接列举法求概率”，下启“用树状图法求概率及概率的综合应用”，是学生系统掌握古典概型概率计算的关键节点和枢纽。其认知要求已从直观感知、简单枚举，上升为系统化、结构化的逻辑分析与有序思考。

从过程与方法看，本节课是“模型思想”和“有序思考”这一基本数学思想方法的集中体现。列表法本质上是一种建立数学模型（将随机试验的所有可能结果进行结构化表征）以解决问题的策略。教学活动应超越公式套用的机械训练，致力于引导学生经历“分析试验条件—明确是否‘两步’且‘有限等可能’—决策选择列表法—规范构建列表—有序计数计算”的完整思维过程，并在此过程中体会分类讨论、不重不漏的逻辑严谨性。

就素养价值而言，本节课是发展学生数据观念、推理能力和应用意识的绝佳载体。通过分析真实情境中的概率问题，学生能更深刻地理解数据的随机性，学会用数学的语言表达和分析现实世界中的不确定现象，养成重证据、讲逻辑的科学理性精神。教学需精心设计情境，让知识“活”起来，引导学生在解决实际问题的价值判断中，潜移默化地形成理性决策的意识和能力。

基于“以学定教”原则，学生已具备直接列举所有等可能结果并计算概率的基础，对“等可能性”有初步感知。然而，当试验涉及两个因素（例如先后掷两枚骰子、从两个集合中各取一个元素）时，学生普遍存在思维无序、遗漏或重复计数的认知障碍。同时，对“列表”必要性的认识不足，往往倾向于依赖不完善的直接想象。因此，教学的关键在于制造认知冲突，让学生亲身感受到“乱”与“难”，从而激发对有序、系统化工具的内在需求。教学过程中，将通过“尝试解决复杂问题—暴露思维困境—引导方法创生—对比优化方法”的路径，动态评估学情，并针对思维敏捷度不同的学生，设计从“跟填表格”到“独立建模”再到“方法辨析”的差异化支持策略，确保每位学生都能在“最近发展区”获得实质性发展。

二、教学目标

知识目标方面，学生能准确判断一个随机试验是否为“两步试验”且结果有限等可能，理解列表法的适用条件；能独立、规范地通过画表格列出两步试验所有可能的等可能结果，并依据表格正确计算事件的概率，清晰表述计算过程。

能力目标聚焦于数学建模与逻辑推理。学生能够面对具体问题，自主决策选用列表法作为解决方案，并完成从现实问题到数学模型（列表）的转化；在列表过程中，能自觉运用有序思维确保结果的完整性，并基于列表进行严谨的逻辑分析与计数，发展条理清晰的推理能力。

情感态度与价值观目标上，通过探究列表法的生成过程，学生能体会到数学工具在化解复杂问题时的威力，从而增强学习数学的内在兴趣与信心；在小组合作探讨方案优劣时，学会倾听、尊重他人观点，并敢于有理有据地表达自己的见解，形成理性交流的合作氛围。

科学思维目标的核心是强化模型思想与分类讨论、有序思考的思维习惯。本节课致力于引导学生在解决概率问题时，首先思考“这是一个怎样的数学模型”，然后遵循“如何系统、无遗漏地构建这个模型（列表）”的路径展开思考，将原本可能杂乱无章的直觉判断，提升为结构化的、可操作的思维程序。

评价与元认知目标关注学生的学习监控与反思能力。设计引导学生依据“列表是否完整、清晰、便于查找”等标准，对同伴或自己的列表方案进行评价；在课堂小结时，能反思列表法与之前所学方法的联系与区别，明确其优势与局限性，初步形成选择合适概率计算方法的策略意识。

三、教学重点与难点

教学重点确定为：掌握用列表法规范地列举两步试验所有等可能结果，并据此计算简单事件的概率。其确立依据源于课标对本学段概率内容的核心定位——“掌握列举法计算概率”，列表法作为两种基本列举工具之一，是构建概率知识体系、解决一类应用问题的基石。从学业评价角度看，涉及两步试验的概率计算是中考的稳定考点，且常作为考查学生思维有序性和严谨性的载体，分值占比较大，掌握此法对学生后续学习及应试都至关重要。

教学难点在于：学生自主构建列表模型时，如何确保行、列因素安排的合理性及结果枚举的“不重不漏”。难点成因主要来自两方面：一是思维层面，学生从对单一因素的直接思考转向对两个因素组合的系统思考，存在认知跨度，容易产生思维混乱；二是操作层面，对“为什么这样列表头”、“如何有序地填充表格内容”缺乏明确的程序性知识。这从以往学生作业中常出现的列表混乱、组合结果重复或遗漏等典型错误中可见一斑。突破方向在于，将列表的构建过程步骤化、可视化，并通过对比不同列表方案的优劣，深化对“有序”本质的理解。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：制作交互式多媒体课件，包含问题情境动画、动态生成列表的演示、分层练习题组。准备实物教具：两枚质地均匀的骰子、红黄蓝三色小球各一个（放置于不透明袋中）。

1.2学习材料：设计并印制《学习任务单》，内含引导性问题、探究记录表格、分层巩固练习及课堂小结框架。

2.学生准备

2.1知识预备：复习等可能事件概率公式及直接列举法。

2.2学具：携带课堂练习本、尺、铅笔。

3.环境布置

3.1座位安排：采用四人小组合作式座位，便于讨论与交流。

3.2板书记划：预留左侧主板书写核心步骤与列表范例，右侧副板用于展示学生思路或生成性问题。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激疑，唤醒旧知：“同学们，假设我们要组织一个班级抽奖活动，规则是：先从‘诗、词、歌、赋’四个主题中随机抽一个，再从‘A、B、C’三位同学中随机抽一位进行展示。那么，‘抽到‘诗词’主题且由A同学展示’的概率是多少呢？大家先凭感觉猜猜看，或者试试能用以前的方法解决吗？”

2.暴露困境，提出课题：给予学生1分钟独立思考或简单尝试。预计部分学生能想到用枚举但可能遗漏，部分学生感到步骤多容易乱。“老师看到有些同学在试着列，是不是感觉情况有点多，怕列不全？这就是我们今天要攻克的堡垒——当一件事分两步完成，情况变复杂时，我们需要一个更强大、更清晰的‘作战地图’。这节课，我们就来学习绘制这张地图的方法：用列表法求概率。”

3.明晰路径，建立预期：“我们将一起：第一，探究为什么需要这张‘地图’（列表）；第二，学习如何绘制标准、好用的‘地图’；第三，掌握如何利用‘地图’精准找到目标（计算概率）。让我们带着这个问题，开始今天的探索之旅。”

第二、新授环节

###任务一：对比体验，感知列表必要性

教师活动：呈现核心导入问题，并增加数据复杂度作为挑战：“将导入问题升级：第一个盒子有红、黄、蓝三个球，第二个盒子有1、2两个号球。从每个盒子各随机取一球，请问‘取到一红一黄’的概率？”先让学生独立尝试用已有方法解决。巡视中，有意收集几种典型思路：有序枚举但书写较乱的、枚举有遗漏的、感觉无从下手的。请一两位用枚举法但书写欠佳的学生板演，再请一位感觉困难的学生说说卡在哪里。

学生活动：独立思考并尝试解决挑战性问题。部分学生尝试列出所有可能组合，部分学生可能陷入混乱。观察板演同学的解法，思考其优点与可能的问题。聆听同学关于思维困境的分享。

即时评价标准：1.能否意识到这是一个涉及两个独立步骤的随机试验。2.尝试枚举时，是否表现出一定的顺序性（如先固定一个颜色）。3.能否清晰表达自己在尝试过程中遇到的困难（如“太多容易混”、“怕漏掉”）。

形成知识、思维、方法清单：★两步试验的复杂性：当一个随机试验可以分两个步骤进行（如从两个容器中各取一物，或连续进行两次操作），并且每一步都有若干种等可能结果时，所有可能的结果总数是各步结果数的乘积，直接一一列举容易混乱或遗漏。▲产生方法需求：面对复杂情况，我们需要一种更系统、可视化、不易出错的方法来组织所有可能结果。

###任务二：方法初探，建构列表模型

教师活动：“大家遇到的困难非常真实。数学家们遇到复杂问题时，也喜欢把它‘摆’清楚。我们能不能设计一个表格，把所有的可能性‘请’到格子里，让它们一目了然呢？”引导学生思考：试验涉及哪两个因素？（第一个盒子的颜色和第二个盒子的号码）如何设计表格的行和列来分别代表这两个因素？师生共同协商，确定将“第一个盒子的颜色（红、黄、蓝）”作为行标题，“第二个盒子的号码（1，2）”作为列标题。然后教师示范用“坐标定位”的思想填写表格内容：“比如，第一行第一列这个格子，就代表‘第一个盒子取红色，第二个盒子取1号’这种情况，我们可以记为（红，1）。”

学生活动：参与讨论表格的设计方案，理解行、列代表的含义。跟随教师示范，在自己的任务单上画出空表格，并尝试独立或模仿填写表格的所有单元格，理解每个单元格对应一种等可能的结果。

即时评价标准：1.能否理解表格的行、列与试验两个因素的对应关系。2.能否独立、有序地填写完成整个表格，确保每个单元格都有唯一、明确的结果组合。3.填表过程是否体现出一定的顺序（如按行或按列系统填写）。

形成知识、思维、方法清单：★列表法的基本结构：针对涉及两个因素（步骤）的等可能随机试验，可以设计一个二维表格。通常将一个因素的所有可能结果作为行，另一个因素的所有可能结果作为列。★结果的规范表示：表格内的每个单元格，对应一个有序的结果组合，常用有序数对（a,b）表示，其中a来自行因素，b来自列因素，顺序至关重要。▲有序填充策略：按行或按列系统填充，可以避免遗漏。

###任务三：规范应用，计算事件概率

教师活动：表格完成后，提问：“现在，我们的‘地图’画好了。请大家数一数，这张地图上总共有多少个‘地点’（即等可能的结果总数）？”引导学生通过数格子或计算（3行×2列=6）得到总结果数n=6。接着提出目标事件：“我们来找找‘取到一红一黄’这个目标在哪儿？等等，‘一红一黄’是什么意思？是只要一个是红色一个是黄色就行吗？红色和黄色有顺序要求吗？”引导学生辨析事件含义：因为是从两个不同的盒子取球，所以“一红”指第一个盒子取红，“一黄”指第二个盒子取黄，对应结果为（红，黄）。由于第二个盒子只有号码没有黄球，此事件不可能发生。随即调整事件为“取到一个红球和一个1号球”，请学生在表格中找出所有满足条件的结果单元格（（红，1））。

学生活动：计算总结果数。辨析教师所提事件的准确含义，纠正认知偏差。在表格中定位符合条件“取到一个红球和一个1号球”的单元格，数出符合条件的单元格数m=1。应用概率公式P=m/n=1/6，并规范书写解答过程。

即时评价标准：1.能否正确计算总结果数（理解表格总格数即所有等可能结果数）。2.能否准确解读事件描述，并将其转化为在表格中搜索特定组合的条件。3.能否基于表格，正确计数满足条件的结果数，并规范计算概率。

形成知识、思维、方法清单：★基于列表的概率计算步骤：①列表得到所有等可能结果。②数出总结果数n（即表格中单元格总数）。③明确目标事件，在表格中定位所有满足条件的结果。④数出满足条件的结果数m。⑤计算概率P(A)=m/n。★事件的条件辨析：在两步试验中，描述事件的语言需精确，要明确每个步骤的具体结果要求。

###任务四：变式探究，深化列表理解（因素顺序与表格灵活性）

教师活动：提出新问题：“还是这两个盒子，如果我们改变抽取顺序：先抽第二个盒子的号码，再抽第一个盒子的颜色，列表法还能用吗？表格该怎么设计？”组织小组讨论1分钟。请小组代表分享，引导得出：列表法依然适用，只是此时行、列代表的因素可以对调。将“号码”作为行，“颜色”作为列，重新绘制表格。展示两种表格，提问：“这两个表格看起来不一样，但它们表示的所有可能结果本质一样吗？计算同一个事件的概率，结果会变吗？为什么？”引导学生发现，无论哪个因素作行、哪个作列，只要有序对（a,b）的对应关系一致（如始终约定第一元素来自盒子一，第二元素来自盒子二），则所有有序结果集相同，概率计算结果不变。

学生活动：小组讨论，尝试调换因素顺序设计新的表格。对比两种不同的表格形式，思考并讨论它们所代表的结果集合是否一致。通过计算同一个事件（如“取到红球和1号球”）在两种表格下的概率，验证结论。

即时评价标准：1.能否理解列表法中行、列的设置具有相对灵活性，关键在于明确对应关系。2.能否通过具体计算，验证因素顺序不影响概率结果，从而理解列表的本质是枚举有序对。

形成知识、思维、方法清单：▲列表的灵活性：列表时，哪个因素放行、哪个因素放列，可以根据需要或习惯决定，不影响最终结果。但一旦确定，表格内有序对的顺序约定需保持一致。★列表法的本质：列表法是一种系统枚举所有可能的有序结果对的工具，其核心是“有序”和“不重不漏”。因素的物理先后顺序，在列表中转化为有序对中的位置顺序。

###任务五：方法凝练，总结列表要点

教师活动：引导学生回顾整个探究过程，以思维导图或要点罗列的形式，师生共同总结列表法的关键步骤与注意事项。提出核心问题串引导总结：“什么时候该请列表法来帮忙？”“列表的第一步关键是什么？”“填表时怎样才能保证不重不漏？”“如何利用表格这个‘地图’找到我们想要的概率？”

学生活动：跟随教师引导，回顾、梳理、归纳列表法求概率的适用条件、操作步骤和核心要点。尝试用自己的语言向同桌简述列表法的关键。

即时评价标准：1.能否清晰说出列表法适用于“两步及两步以上（后续会学树状图）、等可能、结果有限”的随机试验。2.能否概述列表的基本步骤：设行定列、有序填表、数总数、找目标、算概率。

形成知识、思维、方法清单：★列表法适用条件：试验涉及两个因素（或分两步进行），并且可能出现的结果有限，且等可能。★操作核心要点：1.明确行、列代表的因素。2.有序填充所有单元格（有序对）。3.表格中每个单元格是等可能的。★思维提升：列表法将概率计算问题转化为在结构化模型中计数的问题，体现了模型思想。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层练习，学生根据自身情况至少完成基础层和综合层。

基础层（直接应用）：1.掷一枚均匀的骰子一次，记录朝上的点数；再抛一枚均匀的硬币一次，记录朝上的面。试用列表法表示所有可能结果，并计算“骰子点数大于4且硬币正面朝上”的概率。（设计意图：巩固最基本的列表操作和概率计算。）

综合层（情境应用）：2.小明的书包里有数学、语文、英语三本课本，外形相同。他随机从书包里先后拿出两本书（不放回）。请用列表法分析所有可能结果，并计算“第一次拿到数学书且第二次拿到英语书”的概率。（设计意图：引入“不放回”情境，检验学生能否正确列表，注意结果的不重复性。教师需提示：此时行、列代表的是第几次抽取，且由于不放回，行与列的结果集合不能完全相同。）

挑战层（辨析探究）：3.思考：对于“综合层”的“不放回”抽两本书问题，如果列表时行和列都列出“数、语、英”三个元素，会出现什么问题？这说明了列表法应用时需要注意什么？（设计意图：引导学有余力的学生深入思考列表法的局限性——当两步试验的结果不是相互独立（如不放回）时，直接列表可能产生无效组合（如（数学，数学）），需要特别注意结果的有效性。）

反馈机制：基础题通过全班核对答案快速反馈；综合题采取小组互评，教师巡视捕捉典型错误（如对“不放回”处理不当）进行集中点评；挑战题作为思考题，请有想法的学生分享见解，教师总结强调列表时需考虑实际条件的约束。

第四、课堂小结

“同学们，经过一节课的探索，我们的‘概率地图绘制术’修炼得如何了？请大家花两分钟，在任务单的总结区，用关键词或简单的结构图，梳理一下你的收获。”邀请几位学生分享，教师补充完善，形成结构化板书：核心工具：列表法。适用情境：两步、有限、等可能。核心步骤：建表（定行定列）→填表（有序对）→数n→找m→算P。核心思想：有序思考，模型转化。

“最后，给大家留一份‘实践地图’作业：基础性作业（必做）：课本对应练习题，规范使用列表法求解。拓展性作业（选做）：设计一个包含两步试验的趣味概率小游戏（如转盘+抽卡），并计算其中某个奖项的概率。探究性作业（挑战选做）：预习思考，如果试验是分三步进行（例如从三个袋子各取一球），列表法还方便吗？你能否设想或查阅一下，还有什么方法可以应对更复杂的情况？”（为下节课学习树状图法埋下伏笔）

六、作业设计

基础性作业：完成教材本节后配套练习题第1-3题。要求：明确判断是否适用列表法，规范画出表格，完整书写计算过程。旨在巩固列表法的基本操作流程和规范书写。

拓展性作业：情境任务——“我为班级活动设计抽奖方案”。假设抽奖分两步：第一步从一个写有“唱、跳、rap”的签筒抽表演形式，第二步从一个写有“1、2、3”等奖的签筒抽奖项等级（每次抽签后放回）。请你：1.用列表法列出所有可能的中奖情况。2.计算抽到“跳”且是“一等奖”的概率。3.如果想让这个概率恰好是1/9，签筒里的签该如何设计？（至少给出一种方案）。此作业将数学应用于生活情境，并融入简单设计，提升应用意识和分析能力。

探究性/创造性作业：1.（文献探究）查阅资料，了解概率论发展史上与“列举法”相关的有趣故事（如德·梅勒问题），并写下你的阅读感想。2.（方法前瞻）尝试用你喜欢的方式（不限于列表）表示“从红、黄、蓝三个球中先后摸出两个球（不放回）”的所有可能结果，并与同桌的方法进行比较，思考不同方法的优缺点。

七、本节知识清单、考点及拓展

★列表法定义：一种通过画出二维表格，系统枚举一个随机试验所有可能等可能结果的方法。适用于结果有限的两步试验。

★适用条件核心判断：①试验可视为分两步完成；②每一步的结果是有限的；③每一步的每个结果发生的可能性相等。

★列表构建规范：通常将试验的一个因素（第一步）的所有结果作为表格的行，另一个因素（第二步）的所有结果作为表格的列。表格内每个单元格填写一个有序结果对（a,b）。

★有序结果对：表示形式如（a,b），其中a取自第一个因素，b取自第二个因素。顺序具有实际意义，如（红，1）与（1，红）通常代表不同的试验结果。

★概率计算步骤：一列表、二数总数n（表格单元格数）、三定事件找满足条件的单元格数m、四代公式P=m/n计算。

★易错点：忽视等可能性前提：列表法默认表格中每个单元格代表的结果是等可能的。若实际试验不等可能（如骰子不均匀），则不能直接使用。

★易错点：对“不放回”情境处理不当：在“不放回”抽取问题中，表格的行和列所代表的结果集合会有交集但组合受限制，直接列表可能产生不可能出现的组合（如抽到同一个体），需特别注意。

▲列表的灵活性：行、列对应的因素可以互换，不影响概率计算结果，但整个求解过程中有序对的约定应一致。

▲列表法的优势：直观、清晰、易于查寻，能有效避免重复和遗漏，尤其适用于两个因素且每个因素结果数适中的情况。

▲列表法的局限：当试验步骤超过两步时，列表会变得复杂（多维表格不便表示）。此时需要更强大的工具（如树状图）。

●考点提示：中考中常以选择题或填空题形式，考查对列表法适用性的判断、根据列表求简单事件的概率。解答题中常作为概率计算的一部分，要求规范画出列表并求解。常与实际问题结合，如游戏公平性判断。

●学科思想方法：本节集中体现了模型思想（将随机试验转化为表格模型）、有序思维（系统枚举）和化归思想（将求概率问题转化为计数问题）。

八、教学反思

本教案的设计与预设实施，始终围绕“学生如何从思维困境中自然生发对有序工具的需求，并主动建构列表模型”这一核心线索展开。从导入的认知冲突制造，到任务链的递进探究，力求体现“以学为中心”的理念。

（一）目标达成度预估分析

从知识技能层面看，通过“体验困境-建构模型-规范应用-变式辨析”的主线，绝大多数学生应能掌握列表法的适用条件和操作步骤，达成基础知识和技能目标。能力目标方面，任务二、四的设计旨在强化模型构建与决策能力，任务三、五聚焦推理与表达，预计学生在这方面的提升是明显的，但将方法灵活应用于复杂新情境的能力（如“不放回”问题）仍需在后续练习中巩固。情感与思维目标渗透在各环节的互动与成功体验中，特别是让学生亲历从“乱”到“治”的过程，能有效增强其学习效能感和理性思维意识。

（二）关键环节有效性评估

1.导入与任务一：通过增加数据复杂度制造真实困难，成功激发了学生对系统方法的内在渴求，为列表法的引入铺垫了充分的心理基础。“大家卡在哪里？”的追问，有效将学生个体的困惑转化为共性的学习起点。

2.任务二（模型建构）与任务四（变式探究）：这是突破教学难点的关键两步。任务二中师生共商表格设计，是搭建“脚手架”的过程，降低了学生独立建模的初始门槛。任务四通过“换顺序列表-对比-计算验证”的活动，引导学生深入理解列表的本质是枚举有序对，而非表格的固定形式，有效深化了认知，避免了机械记忆。

3.巩固练习的分层设计：基础题保底，综合题引思（“不放回”），挑战题促探，照顾了不同层次学生的发展需求。预计综合题中的“不放回”情境将成为课堂生成性资源，教师需准备好通过对比“放回”