初中数学七年级上册《有理数除法》探究式导学案

初中数学七年级上册《有理数除法》探究式导学案

一、课程基本信息

（一）课题名称

初中数学人教版七年级上册第一章第四节第二课时“有理数除法”。

（二）授课对象

七年级学生。

（三）课时安排

共1课时，标准课45分钟。

（四）课程性质

数与代数领域核心概念课，是小学除法运算到有理数运算的纵向延伸，又是后续学习分式运算、方程解法、函数性质的关键奠基内容。

二、教材分析

（一）教材地位与作用

有理数除法是有理数混合运算的收官环节，与有理数加法、减法、乘法共同构成完整的有理数运算体系。本节内容承接有理数乘法法则与倒数概念，同时为后续学习分式的乘除、二次根式的化简、一元一次方程的求解提供逻辑基础。教材编排采用“法则发现—法则归纳—法则应用—综合提升”的螺旋式结构，突出转化思想与符号意识的形成。

（二）核心知识体系

1.有理数除法法则的核心表述：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

2.符号确定法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

3.特殊情形：0除以任何非0数都得0；0不能作除数。

4.除法向乘法的转化模型：a÷b=a×1/b（b≠0）。

5.乘除混合运算的运算顺序与符号处理。

（三）内容整合价值

本节内容承载着数学转化思想、分类讨论思想、算法优化思想的渗透任务，是提升学生运算素养与推理能力的绝佳载体。

三、学情分析

（一）知识起点

学生在小学阶段已熟练掌握正数范围内除法的算法，并初步理解除法的逆运算意义；在本章前序课程中已建构负数概念、绝对值意义、有理数加法法则、减法法则、乘法法则及倒数概念。尤其是倒数的理解直接构成除法法则学习的逻辑前提。

（二）认知特点

七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。对运算规则容易机械记忆，但缺乏对规则合理性的深度追问；对符号的感知处于敏感期，但符号处理易出现“负负得正”的惯性误用；对“转化”具备初步经验（如减法转化为加法），但主动迁移意识薄弱。

（三）潜在障碍

【难点】除法中除数不能为0的条件在有理数范围内的再次确认；【难点】分数形式表示除法时，符号位置的灵活处理；【难点】多个非零有理数连除时，符号的快速判定与绝对值的准确计算；【易错点】将除法转化为乘法后，忽略被除数不变而只改变除数的常见错误。

四、教学目标

（一）知识与技能

【基础】准确表述有理数除法法则，并能用符号语言写出除法向乘法的转化式；【重要】能够熟练进行两个有理数的除法运算，包括整数、分数、小数的情形；【非常重要】能够独立完成有理数乘除混合运算，运算步骤完整、符号判断无误、结果最简；【高频考点】灵活运用除法法则化简含有字母的简单除法算式（如已知ab异号，判断a÷b的符号）。

（二）过程与方法

经历“类比整数除法—猜想有理数除法规则—验证猜想—归纳法则”的全过程，深化转化思想；通过对比“除法定义”与“除以倒数”两种路径，体会算法优化；在小组互评与错例辨析中发展批判性思维与元认知监控能力。

（三）情感态度与价值观

感受数学内部的和谐统一（减法化加法、除法化乘法）；在运算成功中获得自我效能感；养成严谨、细致的运算习惯，树立“算必有据”的科学态度。

五、教学重难点

（一）教学重点

【非常重要】【高频考点】有理数除法法则的两种表述及其内在一致性；【重要】有理数除法的符号法则与绝对值运算法则。

（二）教学难点

【难点】理解“除以一个数等于乘这个数的倒数”的等价性，尤其是在负数情境中的成立性；【难点】乘除混合运算中，统一为乘法后的符号处理与约分优化；【难点】0不能作除数在有理数运算中的实际约束意义。

六、教学方法与策略

（一）主导思想

以“问题链”驱动探究，以“任务单”引领自学，以“变式组”深化理解，以“思维导图”建构体系。

（二）具体策略

1.情境诱导策略：通过小学除法事实与倒数定义的对接，制造认知冲突，激发法则建构需求。

2.对比发现策略：并列呈现多组算式，引导学生从“符号”与“绝对值”两个维度归纳共性。

3.转化进阶策略：从单独除法到乘除混合，从整数运算到分数、小数运算，从单一法则到法则综合。

4.错例诊疗策略：精选典型错解，组织学生担任“小老师”进行诊断与修正。

5.变式训练策略：围绕核心法则设计“条件变化、形式变化、背景变化”的层级习题，实现深度学习。

七、教学准备

（一）教师准备

《有理数除法探究任务单》人手一份；多媒体课件（含法则推导动态演示、错例呈现、变式题库）；红蓝双色磁力贴片用于板书互动；预备8组典型计算卡片用于小组抽测。

（二）学生准备

复习有理数乘法法则与倒数定义；预习教材P34—P36；每人准备一支红笔用于互批互改。

八、教学实施过程

（一）唤醒经验，聚焦转化支点

1.课前微测（2分钟）

教师板书三道简算：①12÷3；②12×1/3；③（－12）×（－1/3）。学生口答结果。教师追问：“观察①②，你发现了什么？”学生自然回忆起“除以一个正整数等于乘这个正整数的倒数”。教师顺势板书：除法→乘法。

2.设问引入（1分钟）

教师提出核心问题：“这个规律在负数范围内还成立吗？如果除数是负数，比如（－12）÷（－3），能不能也变成乘（－3）的倒数？”学生产生认知悬念，明确本节课的核心任务——验证并推广除法法则。

（二）自主探究，抽象法则雏形

1.任务驱动：探究任务单一（5分钟）

【非常重要】任务一：根据除法的意义填空，并尝试归纳法则。

呈现三组算式：

第一组：（－6）÷2＝？（－6）×1/2＝？

第二组：6÷（－2）＝？6×（－1/2）＝？

第三组：（－6）÷（－2）＝？（－6）×（－1/2）＝？

要求：先独立思考计算，再在小组内交流计算结果与发现。

2.典型汇报与板演（3分钟）

每组指派代表展示计算结果。教师用磁力贴将对应的除法算式与乘法算式并列贴在黑板左侧。学生通过观察发现：每一组中除法算式的结果与乘法算式的结果完全一致。教师追问：“是否所有有理数除法都能这样转化？条件是什么？”引导学生关注“除数不能为0”的前提。

3.法则初构（2分钟）

学生尝试用自己的语言描述规律，教师在倾听中提炼标准表述，并板书法则核心句：【非常重要】除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。符号化：a÷b=a·1/b（b≠0）。

（三）双轨并行，深化符号法则

1.任务二：从符号与绝对值两个维度再认识除法（5分钟）

【重要】【高频考点】呈现四组无具体数值的除法算式：

①正数÷正数；②正数÷负数；③负数÷正数；④负数÷负数。

学生分组分别计算结果的符号与绝对值。教师巡视，发现部分学生仍依赖乘法法则推理符号。

2.对比归纳（3分钟）

教师引导学生将除法符号规律与乘法符号规律类比：

乘法：同号得正，异号得负；除法：同号得正，异号得负。

绝对值部分：商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值。

教师板书法则第二形式：【非常重要】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

3.辨析整合（2分钟）

教师提出问题：“现在我们有两条法则，使用时如何选择？”学生讨论后明确：当除数是整数或容易求倒数时，优先用“除以倒数”；当除数是小数或需要快速确定符号时，优先用“符号法则”。两种法则本质统一，互为检验。

（四）临界突破，厘清特殊规定

1.任务三：0在除法中的角色（3分钟）

【基础】呈现两组辨析题：

第一组：0÷（－5）＝？0÷5＝？0÷0.1＝？

第二组：（－5）÷0＝？5÷0＝？0÷0＝？

学生独立完成第一组后立刻得出0除以任何非0数都得0。第二组引发争议，部分学生受乘法中0乘任何数得0的影响，认为0÷0＝0。

2.深度思辨（3分钟）

教师不直接否定，而是引导回归除法定义：除法是乘法的逆运算。如果0÷0＝a，那么0×a＝0，a可以是任何数，商不唯一，因此0÷0没有确定的结果；如果5÷0＝a，那么0×a＝5，这样的a不存在。学生从定义层面理解“0不能作除数”是运算封闭性与唯一性的必然要求。

3.教师点睛（1分钟）

【难点】教师总结：“0不能作除数”是贯穿整个代数运算的刚性约束，无论被除数是否为0，只要除数为0算式就无意义。学生将这一结论标注在教材相应位置。

（五）技能内化，梯度巩固训练

1.基础性演练（5分钟）

【重要】任务四：独立完成下列除法运算，要求写出转化步骤或符号判断过程。

①（－18）÷6；②5÷（－1/2）；③（－2.5）÷（－0.5）；④0÷（－100）。

学生书面练习，两名学生在黑板上板演。教师组织同桌交换批改，重点关注：除数为分数时倒数的准确性、小数化分数的转化、负号个数的判断。统计正确率，对典型错误（如5÷（－1/2）误算为5×（－2）但漏掉负号）进行即时矫正。

2.变式性提升（5分钟）

【热点】【难点】呈现一组形式变化但内核不变的算式：

①（－36）÷（－9/4）；②（－1/3）÷（－5）；③4.8÷（－0.6）；④（－7/8）÷0.125。

学生尝试不同策略求解，并在小组内分享“哪种方法最快”。教师抽取不同策略进行对比，如第④题既可化0.125为1/8用倒数法，也可用符号法则先定符号再计算绝对值除法。强化算法优化的自觉意识。

3.综合性挑战（6分钟）

【非常重要】【高频考点】乘除混合运算与符号链处理。

任务五：计算下列各题，注意运算顺序与符号。

①（－12）÷3×（－2）；②（－8）÷（－4）÷（－2）；

③（－5）×6÷（－3/2）；④24÷（－2）÷（－3）×（－1）。

学生独立完成后小组互评，重点讨论第②题与第④题中负号个数与结果符号的关系。教师引导学生总结：【非常重要】几个非零有理数相乘除，结果的符号由负号的个数决定，负号个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正。同时提醒：乘除混合运算必须从左到右依次计算，不能随意交换位置（除非全部统一为乘法）。

4.思维拓展（3分钟）

【热点】含有除法运算的实际背景题。

例题：某潜水艇在海平面以下150米处，它每分钟下降25米，问几分钟后到达海平面以下375米处？

学生列式：（－375）－（－150）＝－225，再除以－25，得到9分钟。教师引导学生关注：实际问题中负数具有方向意义，除法运算的结果表示倍数或份数，符号的合理性需要结合实际检验。

（六）系统建构，绘制知识网络

1.小组合作绘制思维导图（4分钟）

各小组在任务单背面用关键词、箭头、框图梳理本节知识结构。要求包含：除法法则（两种表述）、符号确定、0的特殊性、混合运算顺序、转化思想。教师巡视捕捉典型结构，手机拍照投屏展示。

2.集体完善（2分钟）

师生共同构建本课知识体系，以“有理数除法”为中心，发散出“法则核心”“符号判定”“运算路径”“易错警示”四个一级分支，每一分支补充二级细节。学生对照补充自己思维导图的疏漏。

（七）当堂诊断，即时反馈补偿

1.限时过关检测（4分钟）

下发微型检测卡，包含5道必做题：

①（－42）÷（－7）；②3.6÷（－1.2）；③（－2/3）÷4/5；④0÷（－8/9）；⑤（－6）÷（－2）×（－1/2）。

要求学生独立闭卷完成，限时4分钟，当堂交换批改。教师通过举手统计全对人数、错题集中编号，立即对错误率最高的题目进行30秒微讲解。

2.错例反思（1分钟）

学生用红笔在错题旁简单分析原因（符号错、倒数错、顺序错、0的运算错），并写一句自我提醒。教师抽取两条典型反思朗读，强化元认知监控。

（八）分层作业，延续学习

1.基础巩固作业（全体必做）

教材P37练习第1、2题，P38习题1.4第6、7题。要求书写完整过程，先写除法算式，再转化为乘法或直接符号判定，严禁只写结果。

2.拓展探究作业（选做）

【热点】寻找生活中可以用有理数除法表示的实际情境，自编一道包含两个以上运算步骤的应用题并解答。

【难点】思考：如果除法法则定义为“乘除数的倒数”，为什么倒数定义中要求“乘积为1的两个数互为倒数”？这一要求对除法运算的普适性有何影响？

九、板书设计

（主板书左侧）

课题：有理数除法

一、除法法则Ⅰ（转化法）

a÷b=a·1/b（b≠0）

二、除法法则Ⅱ（符号法）

同号得正，异号得负

并把绝对值相除

三、0的除法

0÷a=0（a≠0）；a÷0无意义

（主板书右侧）

示例区：

（－6）÷2=－3←→（－6）×1/2=－3

6÷（－2）=－3←→6×（－1/2）=－3

（－6）÷（－2）=3←→（－6）×（－1/2）=3

（副板书）

学生生成区：典型错例及修正

十、作业设计

（一）书面作业

1.计算并写出依据：

（1）（－72）÷9；（2）（－1.5）÷（－0.3）；（3）（－4/7）÷（－8/21）；（4）0÷（－5/6）。

2.混合运算：

（1）（－24）÷（－2）÷（－3）；（2）（－7）×4÷（－14）；（3）48÷（－12）－（－2）×5。

（二）实践作业

以“除法化身千般变”为主题，制作一张A5大小的数学笔记卡，正面呈现有理数除法的核心法则与易错提示，背面自编一道“陷阱题”并附正确解