应用离散数学（第4版）（微课版）习题及答案汇 周丽 习题1.1-6.6

应用离散数学命题逻辑PAGE杭电－周丽、方景龙第一章PAGE5第1章：命题逻辑§1.1命题和逻辑连接词习题1.11.下列哪些语句是命题，在是命题的语句中，哪些是真命题，哪些是假命题，哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明。 （2）你喜欢计算机吗？（3）地球上海洋的面积比陆地的面积大。 （4）请回答这个问题！（5）。 （6）。（7）园的面积等于半径的平方乘以圆周率。 （8）只有6是偶数，3才能是2的倍数。（9）若，则。 （10）外星人是不存在的。（11）2120年元旦下大雪。 （12）如果，则血就不是红的。（13）义乌小商品闯出了大市场、做成了大产业。（14）保护生态就是发展生产力。（15）京杭大运河是世界上最长的人工运河，是十分宝贵的文化遗产。解 是真命题的有：（1）、（3）、(7)、(8)、(9)、（12）、（13）、（14）、（15）；是假命题的有：（5）；是命题但真值现在不知道真值的有：(10)、(11)；不是命题的有：（2）、（4）、（6）。2.令、为如下简单命题：：气温在零度以下。：正在下雪。用、和逻辑联接词符号化下列复合命题。 （1）气温在零度以下且正在下雪。 （2）气温在零度以下，但不在下雪。 （3）气温不在零度以下，也不在下雪。 （4）也许在下雪，也许气温在零度以下，也许既下雪气温又在零度以下。 （5）若气温在零度以下，那一定在下雪。 （6）也许气温在零度以下，也许在下雪，但如果气温在零度以上就不下雪。 （7）气温在零度以下是下雪的充分必要条件。解 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。3.令原子命题：你的车速超过每小时120公里，：你接到一张超速罚款单，用、和逻辑联接词符号化下列复合命题。 （1）你的车速没有超过每小时120公里。 （2）你的车速超过了每小时120公里，但没接到超速罚款单。 （3）你的车速若超过了每小时120公里，将接到一张超速罚款单。 （4）你的车速不超过每小时120公里，就不会接到超速罚款单。 （5）你接到一张超速罚款单，但你的车速没超过每小时120公里。 （6）只要你接到一张超速罚款单，你的车速就肯定超过了每小时120公里。解 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。4.判断下列各蕴涵式是真是假。 （1）若，则。 T （2）若，则。F （3）若，则。 T （4）若，则。T （5）若猪会飞，那么。 T （6）若猪会飞，那么。T （7）若，猪就会飞。 T （8）若，猪就会飞。F解 （1）T；（2）F；（3）T；（4）T；（5）T；（6）T；（7）T；（8）F。5.给出下列各蕴涵形式命题的逆命题、否命题和逆否命题。 （1）如果今天下雪，我明天就去滑雪。 （2）只要有测验，我就来上课。 （3）只有当正整数没有1和它自己以外的因数时，它才是质数。解：（1）逆命题：如果我明天去滑雪，今天就会下雪；否命题：如果今天不下雪，我明天就不去滑雪；逆否命题：如果我明天没去滑雪，今天就没下雪。（2）逆命题：我来上课，就有测验；否命题：只要没有测验，我就不来上课；逆否命题：我不来上课，就没有测验。（3）逆命题：正整数是质数，则它没有1和它自己以外的因数；否命题：只有当正整数有1和它自己以外的因数时，它才不是质数；逆否命题：正整数不是质数，则它有1和它自己以外的因数。 6.“AI应用”：你会用什么样的大模型工具检索寻找关于中国亚龙湾风景区的网页？如果你想找关于中国第一海滩的网页呢？解可以用豆包寻找关于中国亚龙湾风景区的网页的布尔检索为：“中国”“亚龙湾”“海滩”，寻找关于中国第一海滩网页的布尔检索为（“中国”“海滩”）“第一大”。 7.“AI应用”：你会用什么样的大模型工具检索寻找关于徒步旅行中国库拉岗日的路线？解可以用豆包寻找关于徒步旅行中国库拉岗日网页的布尔检索为：“徒步旅行”“中国”“库拉岗日”。§1.2命题公式及其真值表习题1.21.设、和为如下简单命题：：。：大熊猫产在中国。：复旦大学在广州。求下列复合命题的真值。 （1） （2） （3） （4）解因为、和分别取1，1，0。所以 （1） ；（2）； （3）； （4）。2.构造下列复合命题的真值表，并由此判断它们是否永真式、永假式和可满足式。 （1） （2） （3） （4） （5） （6）解（1）是可满足式。0011010110111100（2）是可满足式。0010011110011100（3）是永真式。001101011111100011111011（4）是可满足式。0011111011010010011111100010 （5）是永假式。001100010110100010111000（6）是永真式。00110110110101100110111000113.构造下列复合命题的真值表，并由此判断它们是否永真式、永假式和可满足式。 （1） （2） （3） （4）解（1）是可满足式。0001000111010010110110001101011101011111（2）是可满足式。00001110010010010011101100101000100101000111011001111100（3）是可满足式。0001111100111011010101110111001110001111101010111100010011100011（4）是可满足式。00001010010110010010101101101000101101011011010111111010 下面4道题是智力游戏题，解题时可以先把语句翻译成命题公式，再利用其成真赋值进行求解。 4.边远村庄的每个人要么总说真话，要么总说谎话。对旅游者的问题，村民要么回答“是”，要么回答“不”。假定你在这一地区旅游，走到了一个岔路口，一条岔路通向你想去的遗址，另一岔路通向丛林深处。此时恰有一村民站在岔路口，问村民什么样的一个问题就能决定走那条路？ 解问“如果我问你右边的路是否通向遗址，你会说‘是’，对吗？”，如果回答“是”，则右边的路通向遗址，否则左边的路通向遗址，具体分析如下： （1）被问者总说真话且回答“对”。则右边的路通向遗址。 （2）被问者总说真话且回答“不对”。则左边的路通向遗址。 （3）被问者总说谎话且回答“对”。因为是说谎者，所以实际上他会回答“不是”；又因为是说谎者，他回答‘不是’，表明右边的路通向遗址。 （4）被问者总说谎话且回答“不对”。因为是说谎者，所以实际上他会回答“是”；又因为是说谎者，他回答‘是’，表明右边的路不通向遗址。现在假设用表示被问的人总说真话，表示被问的人回答“对”，表示如果我问右边的路是否通向遗址，回答‘是’，表示右边的路通向遗址，则根据以上分析我们有如下表所示的真值表。0010010110001111应用离散数学命题逻辑PAGE杭电－周丽、方景龙第一章PAGE3这里，和都不是独立的命题变元，可以看成命题，的逻辑表达式，即， 5.一个探险者被几个吃人者抓住了。有两种吃人者：总是说谎的和永不说谎的。除非探险者能判断出一位指定的吃人者是说谎者还是说真话者，否则就要被吃人者烤了吃。探险者只被允许问这位吃人者一个问题。 （1）解释为什么问：“你说谎吗？”是不行的。 （2）找一个问题，使探险者可以用来判断该吃人者是说谎者还是说真话者。解（1）如果只是问“你说谎吗？”，回答对方“是”或者“不是”，都无法确定对方是不是总是说谎的和永不说谎的。因此是不行的。（2）问“如果我问你是否是说谎者，你会说‘是’，对吗？”，如果回答“是”，则是说谎者，否则不是说谎者。6.侦探调查了罪案的四位证人。从证人的话侦探得出的结论是：如果男管家说的是真话，那么厨师说的也是真话；厨师和园丁不可能都说真话；园丁和杂役不可能都在说谎；如果杂役说真话，那么厨师在说谎。侦探能判定这四位证人分别是在说谎还是在说真话吗？解释你的理由。 解设：男管家说的是真话；：厨师说的是真话；：园丁说的是真话；：杂役说的是真话。 则有，，，。 若，根据得，再根据得，再根据得，与矛盾。 若，根据得或。若，，根据得，再根据得，与矛盾。若，，根据得或。若，，，根据得或，都相容。若，，，根据得，与相容。从以上分析可以可以判定男管家和厨师说谎，但不能判断究竟是园丁还是杂役说真话。7.四个朋友被认定为非法进入某计算机系统的嫌疑人。他们已对调查员作了陈述.。爱丽丝说“卡诺斯干的”，约翰说“我没干”，卡诺斯说“黛安娜干的”，黛安娜说“卡诺斯说是我干的，他说谎”。 （1）如果调查员知道四个嫌疑人中恰有一人说真话，那么谁非法进入了计算机系统？说明理由。 （2）如果调查员知道四个嫌疑人中恰有一人说慌，那么谁非法进入了计算机系统？说明理由。 解设：卡诺斯干的（爱丽丝说）；：我没干（约翰说）；：黛安娜干的（卡诺斯说）；：卡诺斯说是我干的，他说谎（黛安娜说）。 （1）根据题意，有 若，则有，，这表明既是卡诺斯干的，又是约翰干的，矛盾。若，则有，，，这表明既不是卡诺斯干的，又不是约翰干的，也不是黛安娜干的，而只能是爱丽丝干的，但这与矛盾。若，则有，，这表明既是黛安娜干的，又是约翰干的，矛盾。若，则有，这表明是约翰干的，这与，，相容。所以是约翰非法进入了计算机系统。（2）根据题意有(p⋀¬q⋀¬r⋀¬s)⋁(¬p⋀q⋀¬r⋀¬s)⋁(¬p⋀¬q⋀r⋀¬s)⋁(¬p⋀¬q⋀¬r⋀s)=0从而有(p⋀¬q⋀¬r⋀¬s)=0且(¬p⋀q⋀¬r⋀¬s)=0且(¬p⋀¬q⋀r⋀¬s)=0且(¬p⋀¬q⋀¬r⋀s)=0列真值表得：pqrsp⋀¬q⋀¬r⋀¬s¬p⋀q⋀¬r⋀¬s¬p⋀¬q⋀r⋀¬s¬p⋀¬q⋀¬r⋀s总000000000000100011001000101001100000010001001010100000011000000011100000100010001100100000101000000101100000110001001110100000111000000111100000据题意知，r与s值互为矛盾，最后得卡诺斯干的。§1.3命题公式的等价演算习题1.31.用真值表证明下面的等价式（1） （2）（3） （4）（5）解（1）0001111010101110001111110000（2）0000011010111111（3）00111011111000011011（4）001111011000100100111111（5）00000000001100000101000001110000100000001011011111011011111111112.只使用命题变元和能构造多少不同的命题公式真值表？解能构造出16（2的4次方）种不同的命题公式真值表。3.用等价演算法证明下面的等价式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解（1）右边=左边（2） 左边=右边（3） 左边=1右边=1所以 左边＝右边（4） 左边 =右边（5） 左边=右边（6） 左边 =右边左边右边所以 左边＝右边左边右边所以 左边＝右边§1.4命题公式的范式习题1.41.下列命题公式哪些是析取范式哪些是合取范式？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）1 （10）0解是析取范式的有：(1)、(3)、（5）、（6）、(7)、(8)、（9）、（10）；是合取范式有：（2）、（4）、（5）、（6）、(7)、(8)、（9）、（10）。2.在下列由3个命题变元组成的命题公式中，指出哪些是标准析取范式哪些是标准合取范式？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）1 （8）0解是标准析取范式的有：（1）、（6）、（8）；是标准合取范式的有：（2）、（5）、（7）。3.找出一个只含命题变元、和的命题公式，当和为真而为假时命题公式为真，否则为假。解。4.找出一个只含命题变元、和的命题公式，在、和中恰有两个为假时命题公式为真，否则为假。解。5.利用等价演算法求下列命题公式的标准析取范式，并求其成真赋值。 （1） （2） （3）解（1） 除，外，其余均为成真赋值。（2）这是永假式，不存在成真赋值。（3）这是永真式，所有赋值都是成真赋值。6.利用等价演算法求下列命题公式的标准合取范式，并求其成假赋值。 （1） （2） （3）解（1）这是永假式，所有赋值都是成假赋值。（2）成假赋值为：；；；（3）这是永真式，不存在成假赋值。7.利用真值表法求下列命题公式的标准析取范式和标准合取范式。（1） （2）（3） （4）解（1）0010011010011110 所以标准析取范式为标准合取范式为（2）00100011111001111100所以标准析取范式为标准合取范式为（3）0001000111010100111110001101011101011111 所以标准析取范式为标准合取范式为（4）000111001100010100011100100010101010110010111111 所以标准析取范式为标准合取范式为8.设是含有命题变元的命题公式，证明（1）是永真式当且仅当的标准析取范式含有全部个最小项。 （2）是永假式当且仅当的标准析取范式不含任何最小项（即标准析取范式为0）。 （3）是可满足式当且仅当的标准析取范式至少含有一个最小项。证明根据标准析取范式的求法，列出该命题公式的真值表，因为求标准析取范式是圈出所有命题公式值为1的对应的赋值所相应的最小项取析取，所以（1）是永真式当且仅当的标准析取范式含有全部个最小项。 （2）是永假式当且仅当的标准析取范式不含任何最小项（即标准析取范式为0）。 （3）是可满足式当且仅当的标准析取范式至少含有一个最小项。从真值表去理解上述结论。 9.设是含有命题变元的命题公式，证明（1）是永假式当且仅当的合取析取范式含有全部个最大项。 （2）是永真式当且仅当的标准合取范式不含任何最大项（即标准合取范式为1）。 （3）是可满足式当且仅当的标准合取范式不包含所有最大项。证明根据标准合取范式的求法，列出该命题公式的真值表，因为求标准命取范式是圈出所有命题公式值为0的对应的赋值所相应的最大项取合取，所以（1）是永假式当且仅当的合取析取范式含有全部个最大项。 （2）是永真式当且仅当的标准合取范式不含任何最大项（即标准合取范式为1）。 （3）是可满足式当且仅当的标准合取范式不包含所有最大项。从真值表去理解上述结论。10.求下列命题公式的标准析取范式，再根据标准析取范式求标准合取范式。 （1） （2）解（1）=（p∧q∧(¬r∨r）)∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r)=(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)=(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(所以标准合取范式为M000∧M010∧M100（2） 所以标准合取范式为11.求下列命题公式的标准合取范式，再根据标准合取范式求标准析取范式。 （1） （2） （3）解（1）=1所以其标准合取范式为1，其标准析取范式为m000∨m001∨m010∨m011∨m100∨m101∨m110∨m111（2） 所以标准析取范式为(3)=0所以其标准合取范式为M000∧M001∧M010∧M011∧M100∧M101∧M110∧M111，其标准析取范式为0。12.三个人估计比赛结果，甲说：“第1，第2”，乙说：“第2，第4”，丙说：“第2，第4”。结果三人估计的都不全对，但都对了一个。试利用求范式的方法推算出分别是第几名？解设A1:A第1,B2:B第2,C2:C第2，D4:D第4,A2:A第2。所以三人说的话用如下命题公式表示：甲:((A1∧¬B2)∨(¬A1∧B2))乙:((C2∧¬D4)∨(¬C2∧D4))丙：((A2∧¬D4)∨(¬A2∧D4))得到一个复合命题：((A1∧¬B2)∨(¬A1∧B2))∧((C2∧¬D4)∨(¬C2∧D4))∧((A2∧¬D4)∨(¬A2∧D4))=(((A1∧¬B2)∨(¬A1∧B2))∧((C2∧¬D4)∨(¬C2∧D4)))∧((A2∧¬D4)∨(¬A2∧D4))=((A1∧¬B2∧C2∧¬D4)∨(A1∧¬B2∧¬C2∧D4)∨(¬A1∧B2∧C2∧¬D4)∨(¬A1∧B2∧¬C2∧D4))∧((A2∧¬D4)∨(¬A2∧D4))=((A1∧¬B2∧C2∧¬D4)∨(¬A1∧B2∧¬C2∧D4))∧((A2∧¬D4)∨(¬A2∧D4))=(A1∧¬B2∧C2∧¬D4∧A2∧¬D4)∨(A1∧¬B2∧C2∧¬D4∧¬A2∧D4)∨(¬A1∧B2∧¬C2∧D4∧A2∧¬D4)∨(¬A1∧B2∧¬C2∧D4∧¬A2∧D4)=(¬A1∧B2∧¬C2∧D4∧¬A2)从而得A第3，B第2，C第1，D第4。13.一个科室要去四个人，从中选派二个外出学习。条件是（1）去则中要去一人。（2）不可同去。（3）若去则要留下。求选派方案？解设p:A去，q:B去,r:C去，s:D去(p→((r∧¬s)∨(¬r∧s)))∧¬(q∧r)∧(r→¬s)=(¬p∨(r∧¬s)∨(¬r∧s))∧(¬q∨¬r)∧(¬r∨¬s)=((¬p∨(r∧¬s)∨(¬r∧s))∧(¬r∨¬s))∧(¬q∨¬r)=((¬p∧¬r)∨(¬p∧¬s)∨(r∧¬s∧¬r)∨(r∧¬s∧¬s)∨(¬r∧s∧¬r)∨(¬r∧s∧¬s))∧(¬q∨¬r)=((¬p∧¬r)∨(¬p∧¬s)∨(r∧¬s)∨(¬r∧s))∧(¬q∨¬r)=(¬p∧¬r∧¬q)∨(¬p∧¬r∧¬r)∨(¬p∧¬s∧¬q)∨(¬p∧¬s∧¬r)∨(r∧¬s∧¬q)∨(r∧¬s∧¬r)∨(¬r∧s∧¬q)∨(¬r∧s∧¬r)=(¬p∧¬r)∨(¬q∧r∧¬s)∨(¬q∧¬r∧s)∨(¬r∧s)因此方案有：BD去、AC去、AD去§1.5命题公式的推理演算习题1.51.用真值表方法判断下列推理是否正确。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解（1）推理不正确。00100011101001011011（2）推理正确。000001001101010000011000100001101111110001111011（3）推理正确。¬（p∧¬q）¬q∨r¬q¬p00011110011111010100101111011000110101011011010001111100（4）推理不正确。pp∧q0001000110010100111010010101101100111111（5）推理正确。¬p→qq→rr→pp∨q∨r00001100010101010101101111011001111101111111010111111111(6)推理不正确。sp→qr∧s¬qp∧s00001010000110100010101000111110010010000101100001101000011111001000001010010011101000101011011111001000110110011110100011111101 2.请对下面每个推理前提给出两个结论，使其中之一是有效的，而另一个不是有效的。 （1）前提： （2）前提： （3）前提： 解（1）有效结论：，无效结论：，下面的真值表说明了这一点。00011110011110010101101111101000101101011111010011111111（2）有效结论：，无效结论：，下面的真值表说明了这一点。0001010000100101010101100110010110010101101001011101101111101101（3）有效结论：，无效结论：，下面的真值表说明了这一点。00011110011100010011101111001001110101110111000111111110 3.在下面各推理中没有给出结论。请对每个推理前提给出两个结论，使其中之一是有效的，而另一个不是有效的。 （1）只有天气热，我才去游泳。我正在游泳。所以…… （2）只要天气热，我就去游泳。我没去游泳。所以…… （3）除非天气热并且我有时间，我才去游泳。天气不热或我没有时间。所以…… 解有效结论：天气热。无效结论：天气不热。有效结论：天气不热。无效结论：天气热。有效结论：我不去游泳。无效结论：我去游泳。4.用真值表法或等价演算法证明下列推理（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 证明（1）（2）（3）（4）题都可以用下面的真值表。AB¬AA→B¬(A→B)¬B001101011100100011110100从而可以证出（1）（2）（3）（4）。（5）[(A→B)∧(C→D)]→[(A∧C)→(B∧D)]=¬[(¬A∨B)∧(¬C∨D)]∨[¬(A∧C)∨(B∧D)]=(A∧¬B)∨(C∧¬D)∨(¬A∨¬C)∨(B∧D)=[(A∧¬B)∨¬A]∨[(C∧¬D)∨¬C]∨(B∧D)=(¬B∨¬A)∨(¬C∨¬D)∨(B∧D)=¬(B∧D)∨(B∧D)∨(¬A∨¬C)=1（6）[(A→B)∧(C→D)]→[(A∨C)→(B∨D)]=¬[(¬A∨B)∧(¬C∨D)]∨[¬(A∨C)∨(B∨D)]=(A∧¬B)∨(C∧¬D)∨(¬A∧¬C)∨(B∨D)=[(A∧¬B)∨B]∨[(C∧¬D)∨D]∨(¬A∧¬C)=(A∨B)∨(C∨D)∨(¬A∧¬C)=B∨D∨(A∨C)∨¬(A∨C)=1（7）[(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)]→(B∨D)=¬[(¬A∨B)∧(¬C∨D)∧(A∨C)]∨(B∨D)=(A∧¬B)∨(C∧¬D)∨(¬A∧¬C)∨(B∨D)=[(A∧¬B)∨B]∨[(C∧¬D)∨D]∨(¬A∧¬C)=(A∨B)∨(C∨D)∨(¬A∧¬C)=B∨D∨(A∨C)∨¬(A∨C)=1（8）[(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)]→(B∨D)=¬[(¬A∨B)∧(¬C∨D)∧(¬B∨¬D)]∨(¬A∨¬C)=(A∧¬B)∨(C∧¬D)∨(B∧D)∨(¬A∨¬C)=[(A∧¬B)∨¬A]∨[(C∧¬D)∨¬C]∨(B∧D)=(¬B∨¬A)∨(¬C∨¬D)∨(B∧D)=¬(B∧D)∨(B∧D)∨(¬A∨¬C)=15.用演绎推理法证明下列推理 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）证明演绎推理方法有多种，本题只提供其中一种，只要推理过程合理就行。（1）解：（1）p→(q→r)P规则（2）pP规则（3）q→rT规则，(1)(2)（4）qP规则（5）rT规则，(3),(4)（6）r∨sT规则，(5)（2）解： （1） 附加前提 （2） P规则 （3） T规则，（1），（2） （4） P规则 （5） E规则，（4） （6） T规则，（3），（5） （7） P规则 （8）0 T规则，（6），（7）根据所学定理，有。（3）解：（1）p→qP规则（2）pCP规则（3）qT规则，（1）（2）（4）p∧qT规则，（2）（3）（4）解： （1） P规则 （2） T规则，（1） （3） P规则 （4） T规则，（2），（3） （5） P规则 （6） T规则，（4），（5） （7） P规则 （8） T规则，（6），（7） （9） T规则，（6），（8）（5）解：（1）p∧qP规则（2）pT规则，（1）（3）qT规则，（1）（4）p→rP规则（5）rT规则，（2）（4）（6）q→sP规则（7）sT规则，（3）（6）（8）r∧sT规则，（5）（7）（6）解： （1） P规则 （2） T规则，（1） （3） P规则 （4） T规则，（2），（3） （5） T规则，（1） （6） P规则 （7） T规则，（5），（6） （8） T规则，（4），（7） （9） T规则，（8）（7）解：（1）p→（q→r）P规则（2）q→（p→r）E规则，（1）（3）qP规则（4）p→rT规则，（2），（3）（5）s→pP规则（6）s→rT规则，（4），（5）（8）解： （1） 附加前提 （2） T规则，（1） （3） P规则 （4） T规则，（2），（3） （5） T规则，（4） （6） T规则，（5） （7） P规则 （8） T规则，（6），（7）根据所学定理，有。（9）解：（1）r∧¬sP（2）rT规则，（1）（3）¬s（4）¬r∨qP（5）qT规则，（2）（4）（6）p→¬qP（7）¬pT规则，（5（10）解：（1）¬（r∨s）CP（2）¬r∧¬s（3）¬rT规则，（2（4）¬sT规则，（2（5）q→sP规则（6）¬qT规则，（4（7）p→rP规则（8）¬pT规则，（4（9）¬p∧¬qT规则，（6）（（10）¬（p∨q）E规则，（9（11）（p∨q）P（12）¬（p∨q）∧（p∨q）T规则，（10）（（13）0E规则，（12）6.用演绎推理法证明下列说法不可能同时成立。（1）如果王平因病缺了许多课，那么他考试将不及格。（2）如果王平考试不及格，则他没有学到知识。（3）如果王平读了许多书，则他学到了许多知识。（4）王平因病缺了许多课，而且在家读了许多书。解设：王平因病缺了许多课，：王平考试将不及格，：王平没有学到知识，：王平读了许多书，则上面的4种说法可以分别符号化为：，，，而这几个逻辑式子是相互矛盾的，即永假式0是它们的逻辑结论： （1） P规则 （2） P规则 （3） T规则，（1），（2） （4） P规则 （5） E规则，（4） （6） T规则，（3），（5） （7） P规则 （8） T规则，（7） （9） T规则，（7） （10） T规则，（6），（8）（11）∧T规则，（9），（10） （12）0 E规则，（11）7.用演绎推理法证明下列推理过程：如果今天是星期六，我们就要去长城或故宫玩；如果故宫游人太多，我们就不去故宫玩；今天是星期六；故宫游人太多。所以我们去长城玩。 解设：今天是星期六，：我们就要去长城玩，：我们就要去故宫玩，s:故宫游人太多，则上面推理的逻辑前提是：p→q∨r,s→¬r,p，要证明的逻辑结论是：q。（1）p→q∨rP规则（2）pP规则（3）q∨rT规则：（1）（2）（4）s→¬r（5）sP规则（6）¬r（7）qT规则：（3）（6）8.用演绎推理法证明下列推理过程：如果小王是理科学生，则他的数学成绩一定很好；如果小王不是文科学生，他一定是理科学生；小王的数学成绩不好。所以小王是文科学生。 解设：小王是理科学生，：他的数学成绩很好，：小王是文科学生，则上面推理的逻辑前提是：p→q,¬r→要证明的逻辑结论是：r。（1）¬r→p（2）p→qP规则（3）¬r→qT规则,（1）（（4）¬q（5）rT规则,（3）（4）9.用演绎推理法证明下列推理过程：如果王平到过受害者房间并且11点以前没有离开，则王平犯谋杀罪；王平曾到过受害者房间；如果王平在11点以前离开，门卫会看见他；门卫没有看见他。所以王平犯了谋杀罪。解设：王平到过受害者房间，：王平11点以前没有离开受害者房间，：王平犯谋杀罪，：门卫会看见王平，则上面推理的逻辑前提是：，，，要证明的逻辑结论是：。 （1） P规则 （2） E规则，（1） （3） P规则 （4） T规则，（2），（3） （5） P规则 （6） T规则，（4），（5） （7） P规则 （8） T规则，（6），（7）§1.6逻辑门电路 习题1.61．用非门、与门和或门构造产生下列输出的电路。（1） （2）（3） （4）解：≥11（1）x≥11y（2）&≥1x&≥11y1≥1&（3）x≥1&1Y1z≥11（4）x≥11&&1z11≥11≥1y2．试设计一个电路来实现五个人的少数服从多数的表决系统。解：设A、B、C、D、E分别表示五个人表决，S表示表决结果，根据少数服从多数的原则，共有如下几种情况S=1.ABCDES001111010111011011011101100111101011101101110011110101111001011111101111110111111011111101111111得S=（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧D∧E）=（A∧B∧（C∨D∨E））∨（（（A∧B）∨（A∧B））∧（E∧（（C∧D）∨（C∧D）））∨（（（A∧B）∨（A∧B））∧（C∧D））=（A∧B∧（C∨D∨E））∨（（（A∧B）∨（A∧B））∧(（E∧（（C∧D）∨（C∧D））∨（C∧D））=（A∧B∧（C∨D∨E））∨（（A∨B）∧（A∨B）∧（C∨D）∧（C∨E）∧（D∨E））据此得到组合逻辑电路图如下：AA∧B&A&&&AA∧B∧（C∨D∨E）≥1B≥1（A∧（A∧B∧（C∨D∨E））∨（（A∨B）∧（A∨B）∧（C∨D）∧（C∨E）∧（D∨E））≥1C≥1CC∨D∨EDE&A∨&A∨B≥1AAA∨B≥1A∨B≥11BB11CC∨D≥1C≥1DD∨ED∨E≥1EC∨E≥1C∨E≥13．试设计一个由四个开关控制的电灯混合控制器，使得当电灯在打开时，按动任意一个开关都可关闭它，在电灯关闭时，按动任意一个开关都可打开它。解：设灯L亮为1，灭为0；开关A、B、C、D拨向上为1，拨向下为0，（1）不必关心L与A、B、C、D初始的状态对应关系，只需关心A、B、C的变化对L的影响；（2）我们对A、B、C、D变化的要求是：A、B、C、D中，只有奇数个（1个或3个）发生变化，L值会发生变化，如果是偶数个发生变化，则L值不会发生变化。真值表如下：ABCDL00000000110010100110010010101001100011111000110010101001011111000110111110111110则L=（A∧B∧C∧D）∨（A∧B∧C∧D）∨（A∧B∧C∧D）∨（A∧B∧C∧D）∨（A∧B∧C∧D）∨（A∧B∧C∧D）∨（A∧B∧C∧D）∨（A∧B∧C∧D）具体的线路图略。4．构造一个电路来比较二进制整数和，使得当第一个整数大于第二个时，输出1，否则输出0。解：当高位x1,y1不相等时，不需要比较低位，若x1>y1时，值为1，若x1<y1时，值为0。当高位相等时，比较低位x0,y0，若x0>y0时，值为1，若x1<y1时，值为0。一位比较器的表达式为：FA>B=A∧BFA<B=A∧B其电路如下：&1A&1FA>BFA>B&1B&1FA<BFA<B 第2章：谓词逻辑 §2.1个体词、谓词与量词习题2.11.将下列命题用0元谓词符号化。（1）小王学过英语和法语。 （2）2大于3仅当2大于4。 （3）3不是偶数。 （4）2或3是质数。（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。解（1）令：学过英语，：学过法语，：小王，命题符号化为。（2）令：大于y，命题符号化为。（3）令：是偶数，a:3，命题符号化为¬P（a）。（4）令：是质数，a:2，b:3，命题符号化为P（a）∨P（a（5）令：是东北人；：怕冷；：李键；命题符号化为。 2.设下面所有的个体变元的个体域都是整数集合，用自然语言表达下列各式并确定其真值。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）解（1）对任意的整数n有。其值为1。（2）存在整数n使得。其值为0。（3）对任意的整数n有。其值为1。（4）对任意的整数n，存在整数m使得。其值为1。（5）存在整数n使得对任意的整数m都有。其值为0。（6）对任意的整数n，存在整数m使得。其值为1。（7）存在整数n使得对任意的整数m都有。其值为1。（8）存在这样的整数n，m使得。其值为1。（9）存在这样的整数n，m使得。其值为0。（10）存在整数n使得对任意的整数m都有。其值为0。（11）存在整数n使得对任意的整数m都有。其值为0。（12）对任意的整数m，n，存在整数k使得。其值为0。 3.令谓词表示“访问过”，其中的个体域是学校全体学生，的个体域是所有网站的集合。用自然语言表达下列各式。 （1）。 （2）。 （3）。 （4）。 （5）。 （6）。解（1）方元访问过。（2）至少有一个学生访问过。（3）冯友至少访问过一个网站。（4）至少有一个网站是吴笛和钱华都访问过的。（5）有另外一个学生访问过黄帅访问过的所有网站。（6）至少有两个不同的学生访问过的网站完全相同。4.令谓词表示“说德语”，表示“了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。用、、量词和逻辑联接词符号化下列语句。 （1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。 （2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。 （3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。 （4）杭电没有学生会说德语或了解C++。 假设个体域为全总个体域，谓词表示“是杭电学生”。用、、、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。解个体域为杭电全体学生的集合时：（1）（2）（3）（4） 若个体域为全总个体域，谓词表示“是杭电学生”，则：（1）（2）（3）（4）5.令谓词表示“爱”，其中和的个体域都是全世界所有人的集合。用、量词和逻辑联接词符号化下列语句。 （1）每个人都爱王平。 （2）每个人都爱某个人。 （3）有个人人都爱的人。 （4）没有人爱所有的人。 （5）有个张键不爱的人。 （6）有个人人都不爱的人。 （7）恰有一个人人都爱的人。 （8）成龙爱的人恰有两个。 （9）每个人都爱自己。 （10）有人除自己以外谁都不爱。 解（1）a:王平，∀xP(x,a)。 （2）∀x∃yP(x,y)。 （3）。 （4）。 （5）b:张健，xP(b，x)。 （6）。 （7） （8）c:成龙，∃x∃y(P(c,x)∧P(c,y)∧x≠y （9）。 （10）。 6.令谓词表示“给发过电子邮件”，表示“给打过电话”，N（x,y）表示“x不是y”，个体域都是实验班所有同学。用、、N（x,y）、量词和逻辑联接词符号化下列语句。 （1）周叶从未给李强发过电子邮件。 （2）方芳从未给万华发过电子邮件，或打过电话。 （3）实验班每个同学都给余涛发过电子邮件。 （4）实验班没有人给吕键打过电话。 （5）实验班每个人或给肖琴打过电话或给他发过电子邮件。 （6）实验班有个学生给班上其他人都发过电子邮件。 （7）实验班有个学生给班上其他人或打过电话，或发过电子邮件。 （8）实验班有两个学生互发过电子邮件。 （9）实验班有个学生给自己发过电子邮件。 （10）实验班至少有两个学生，一个给另一个发过电子邮件，而另一个给这个打过电话。解（1）a:周叶，b:李强，¬P（a,b（2）a:方芳，b:万华，¬P（（3）a:余涛，∀xP(x,a)（4）b:吕健，xQ(x，b)（5）a:肖琴，∀x（P(x,a)∨Q(x,a)）（6）∃x∀y（N（x,y）→P(x,y)）（7）∃x∀y（N（x,y）→(P(x,y)∨Q(x,y)）（8）∃x∃y（N（x,y）∧P(x,y)∧P(y,x)（9）（10）∃x∃y（N（x,y）∧P(x,y)∧Q(y,x)§2.2谓词公式及其解释习题2.21.指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。 （1） （2） （3）解（1）中的x是指导变元；量词的辖域是，其中x是约束变元，y是自由变元。（2）中的x，中的y都是指导变元；的辖域是，的辖域是；其中中的x是的约束变元，y是自由变元；中的x是自由变元，y是约束变元。（3）中的x，中的y以及中的x都是指导变元；的辖域是，的辖域是，的辖域是；其中中的x，y都是约束变元；中的y是约束变元；z是自由变元，中的x为约束变元，y，z是自由变元。2.设个体域，请给出两种不同的解释和，使得下面谓词公式在下都是真命题，而在下都是假命题。（1） （2）解（1）解释：个体域，。（2）解释：个体域，。3.对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。（1）（2）解（1）成真解释：个体域D＝{1,2,3},,,。成假解释：个体域D＝{1,2,3},，，。（2）成真解释：个体域D＝{1,2,3}，，，。成假解释：个体域D＝{1,2,3},，，。4.给定解释如下： 个体域（这里为实数集合）。 个体常元。 二元函数。 二元谓词，。 在解释下，下列公式的含义是什么？哪些成为命题哪些不成为？成为命题的其真值又如何？ （1） （2） （3） （4）解（1）公式被解释成“”，为真命题。（2）公式被解释成“”，为假命题。（3）公式被解释成“”，为真命题。（4）公式被解释成“”，为假命题。5.判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）解（1）因为当存在某个使取1时一定取1，所以公式是为永真式。（2）因为当=1时，只能说明存在某个使取1，并不能说明都为1，所以公式是为可满足式。（3）取解释：个体域为自然数集合，。在下公式的前件与后件均为真，所以公式为真，即不是永假式。取解释：个体域仍为自然数集合，但取为。在下公式不成为命题，即不是永真式。综合知公式为可满足式。（4）因为当∀xP(x)取值为1时，说明所有的P(x)值都为1，因此公式是永真式。（5）取解释：个体域为自然数集合，。在下，对任意的，为真而为假，所以公式为假，即不是永真式。取解释：个体域仍为自然数集合，但取为。在下，对任意的，为假而为真，所以公式为真，即不是永假式。综合知公式为可满足式。（6）若xyP(x,y)=1时，说明对任意的x和任意的y都有P(x,y)=1，也就说明了对任意的y和任意的x也都有P(x,y)=1，也就是说yxP(x,y)=1，从而公式为永真式。（7）公式为永真式，用非形式化的反证法证明如下：若公式非永真，则存在一个解释，使得取1而取0。取0表明存在某对使得取0，从而也应取0。这与前面说取1矛盾。故公式是永真式。（8）取解释I：个体域D={1,2,3}，谓词P(x,y):x=y，在I下，∀x∃yP(x,y)=1，但是∃x∀yP(x,y)=0，因此公式为可满足式。（9）设为任意一个解释，个体域为。若取1，即存在，使得为真，从而为真，故为真。所以在解释下公式为真，由的任意性可知，公式为永真式。（10）取解释I：个体域D={1,2,3}，谓词P(x,y):x>y，在I下，=0，但是若取解释I’：个体域D={1,2,3}，谓词P(x,y):x=y，在I下，=1，因此公式为可满足式。6.判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解任给解释I（相应的个体域为D），在I下，若∀x（P(x)∧Q（x为真。若∀x（P(x)∧Q（x）)=1时，则对任意的x，P(x)∧Qx=1，也就是说对任意的x，P(x)=1且Qx=1，即∀xP(x)=1且∀xQ(x)=1，也就是∀xP(x)∧（2）若有一个解释I（相应的个体域为D），在I下，若∀x（P(x)∨Q（x）)=0时，公式的值为真。若∀x（P(x)∨Q（x）)=1时，则对任意的x，P(x)∨Qx=1，举个例子，若a,b是个体域中的元素，P(a)=1，Pb=0，Qa=0,Qb=1,虽然满足P(a)∨Q（a）=1，但是∀xP(（3）该谓词公式是(p→q)∧q的代换实例,所以该谓词公式是永假式。（4）用反证法，若公式非永真，则存在一个解释，使得对某个有取1而取0。取0表明取1而取0，即存在某个使取0，从而取0。这与前面说取1矛盾。故公式是永真式。（5）用反证法，若公式非永真，则存在一个解释，使得为0，则∀xPx→Qx=1且Px→∀xQx=0，Px→∀xQx取0表明Px取1而取0，即存在某个使取0，前面的∀xPx→Q（6）该谓词公式是(p→（q→p）)的代换实例,所以该谓词公式是永假式。（7）该谓词公式是p→（q→p）的代换实例,所以该谓词公式是永真式。 7.给出一个非闭式的永真式，给出一个非闭式的永假式，给出一个非闭式的可满足式。解（1）永真式（2）永假式（3）P(x)可满足式§2.3谓词公式的等价演算习题2.31.将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。（1）没有小于负数的正数。 （2）相等的两个角未必都是对顶角。解（1）令F(x)：x小于负数，G(x)：x是正数.x(F(x)G(x))=x(F(x)G(x))=x(F(x)G(x))（2）令F(x,y)：x和y角相等，G(x,y)：x和y是对顶角。xy(F(x,y)G(x,y))=xy(F(x,y)G(x,y))=xy(F(x,y)G(x,y))2.利用非形式化方法证明下列等价式。 （1） （2）（3） （4）解（1）任给解释（相应的个体域记为），在下，若xA(x)取值0，则xA(x)取值1，因此存在，使得取值1，即取值0，从而xA(x)取值0；若xA(x)取值1，则xA(x)取值0，因此对任意的，都取值0，即对任意的，都取值1，从而xA(x)取值1。由解释I的任意性可知（1）式成立。（2）任给解释（相应的个体域记为），在下，若x(A(x)B)取值1，则对任意的，都有A(x)B取值1，也就是分二种情况：对任意的，都有A(x)取值1或B=1，得xA(x)=1或B=1，以上二种情况都能得到xA(x)B=1。若x(A(x)B)取值0，则存在a∈D，A(a)B取值0，即存在a∈D，A(a)取值0并且B也取值0，得xA(x)=0且B=0，因此xA(x)B=0。由解释的任意性知（2）式成立。（3）任给解释（相应的个体域记为），在下，若x(A(x)∧B)取值0，则对任意的，都有A(x)∧B取值0，也就是分二种情况：对任意的，都有A(x)取值0或B=0，得xA(x)=0或B=0，以上二种情况都能得到xA(x)∧B=0。若x(A(x)∧B)取值1，则存在a∈D，A(a)∧B取值1，即存在a∈D，A(a)取值1并且B也取值1，得xA(x)=1且B=1，因此xA(x)∧B=1。由解释的任意性知（3）式成立。（4）任给解释（相应的个体域记为），在下，若x(A(x)B)取值0，则对任意的，都有A(x)B取值0，即对任意的，都有A(x)取值0且B=0，得xA(x)=0且B=0，因此xA(x)B=0。若x(A(x)B)取值1，则存在a∈D，A(a)B取值1，也就是分二种情况：存在a∈D，A(a)=1或B=1，得xA(x)=1或B=1，以上二种情况都能得到xA(x)B=1。由解释的任意性知（4）式成立。（5）任给解释（相应的个体域记为），在下，若x(A(x)B(x))取值0，则对任意的，都有A(x)B(x)取值0，即对任意的，都有A(x)取值0且任意的，B(x)=0，得xA(x)=0且xB(x)=0，因此xA(x)xB(x)=0。若x(A(x)B(x))取值1，则存在a∈D，A(a)B(a)取值1，也就是分二种情况：存在a∈D，A(a)=1或存在a∈D，B(a)=1，得xA(x)=1或xB(x)=1，以上二种情况都能得到xA(x)xB(x)=1。由解释的任意性知（5）式成立。3.设、和都是谓词，证明下列各等价式（1）（2）（3）（4）证明：（1）左边＝ ＝右边（2）左边＝＝右边（3）左边＝＝右边（4）左边＝ ＝＝＝＝右边§2.4谓词公式的推理演算习题2.41.利用非形式化证明方法或等价演算法证明如下推理关系：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解（1）因为∀x(A(x)→B(x))→∃x(A(x)→B(x))=∀x(A(x)→B(x))∃x(A(x)→B(x=∃x(A(x)→B(x))∃x(A(x)→B(x))=∃x（(A(x)→B(x))(A(x)→B(=1因此推理成立。（2）因为（∃xA(x)→∀xB(x))→（∀xA(x)→∀xB(x))=（∃xA(x)∀xB(x))=（∃xA(x)∀xB(x=11=1（3）因为（∃xA(x)→∀xB(x))→（∀xA(x)→∃xB(x))=（∃xA(x)∀xB(x))=（∃xA(x)∃=11=1（4）因为（∃xA(x)→∃xB(x))→（∀xA(x)→∃xB(x))=（∃xA(x)∃xB(x))=（∃xA(x)=11=1（5）因为（∃xA(x)→∀xB(x))→（∃xA(x)→∃xB(x))=（∃xA(x)∀xB(x))=（∃xA(x)∃=11=1（6）因为（∀xA(x)→∀xB(x))→（∀xA(x)→∃xB(x))=（∀xA(x)∀xB(x))=（∀xA(x)∃=11=12.指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。（1）① P规则② US规则：①（2）① P规则② US规则：①（3）① P规则② ES规则：①（4）① P规则 ② UG规则：①（5）① P规则 ② EG规则：①（6）① P规则 ② EG规则：①解因为第1步不是前束范式，不能直接用US规则，改为1）xP(x)Q(x)P规则2）x（P(x)Q(y)）E规则，1）3）P(z)Q(y)US规则：2)（2）要同时用a或者b代，改为1） P规则P(a)Q(a)US规则：1)（3）因为第1步不是前束范式，而且化成等价的前束范式后，有自由变元，不能用ES规则，改为1） P规则2）x（P(y)Q(x)）E规则：1）（4）不能用UG规则，只能用EG规则，改为1） P规则2）x（P(x)G(x)）EG规则：1）（5）a,b是不同的常元，要分开引进存在量词。改为1） P规则2）x（P(x)G(b)）EG规则，1）3）yx（P(x)G(y)）EG规则，2）（6）可以同时引进存在量词或者全称量词，二者不可分开。改为1） P规则2）x（P(x)Q(x)）EG规则，1）3.指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。（1） P规则（2） US规则：（1）（3） ES规则：（2）（4） UG规则：（3）（5） US规则：（4）解错误出现在步骤（3）。因为中含有自由变元，所以不能使用ES规则得到。正确的推导过程为：（1） P规则（2） US规则：（1）4.指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。（1） P规则（2） US规则：（1）（3） P规则（4） ES规则：（3）（5） T规则：（2），（4）（6） EG规则：（5）解错误出现在步骤（4）。使用ES规则得到的中的已经出现在前面的公式中，所以错误，正确的推导过程为：（1） P规则（2） US规则：（1）（3） P规则（4） ES规则：（3）5.用演绎法证明下列推理式（1）（2）（3）（4）证明（1）式的证明：（1） 附加前提（2） （1），US规则（3） P规则 （4） （3），US规则（5） （2），（4），T规则 （6） （5），EG规则根据附加前提法知 （2）式的证明：（1） 附加前提（2） （1），E规则（3） （2），E规则（4） （3），T规则（5） （4），US规则（6） （5），EG规则（7） P规则 （8） （6），（7），T规则（9） （8），ES规则（10） （3），T规则（11） （10），US规则（12） （9），（11），T规则（13）0 （12），E规则所以根据附加前提法知 （3）式的证明：（1） 附加前提（2） （1），US规则（3） P规则 （4） （3），US规则（5） （2），（4），T规则（6） （5），EG规则所以根据附加前提法知 （4）式的证明（1）¬∃x(A(x)→B(x))CP规则（2）∀x¬(¬A(x)∨B(x))E规则，(1)（3）∀x(A(x)∧¬B(x))E规则，(2)（4）A(a)∧¬B(a)ES规则，(3)（5）¬B(a)T规则，(4)（6）A(a)T规则，(4)（7）∃xA(x)EG规则，(6)（8）∃xA(x)→∀xB(x)P规则（9）∀xB(x)T规则，(7)(8)（10）B(a)US规则，(9)（11）B(a)∧¬B(a)T规则，(5)(10)（12）0E规则，(11)6.用演绎法证明下列推理式（1）∃xP(x)→∀y((P(y)∨Q(y))→R(y)))，∃xP(x)⇒∃xR(x)（2）（3）（4）证明（1）式的证明：（1）∃xP(x)P规则（2）P(a)ES规则，（1）（3）∃xP(x)→∀y((P(y)∨Q(y))→R(y)))P规则（4）∀y((P(y)∨Q(y))→R(y)))T规则，（1）（3）（5）(P(a)∨Q(a))→R(a)UG规则，（4）（6）P(a)∨Q(a)T规则，（2）（7）R(a)T规则，（5）（6）（8）∃xR(x)EG规则，（7）（2）式的证明：（1） P规则（2） （1），ES规则（3） 附加前提（4） （3），E规则（5） （4），US规则（6） （2），（5），T规则（7） P规则 （8） （7），US规则（9） （2），（8），T规则（10） （9），T规则（11） （6），（10），T规则（12）0 （11），E规则所以根据附加前提法知 （3）式的证明：∀x(P(x)∨Q(x)),¬∃xQ(x)⇒∃xP(x)（1）¬∃xQ(x)P规则（2）∀x¬Q(x)E规则，(1)（3）¬Q(y)US规则，(2)

（4）∀x(P(x)∨Q(x))P规则（5）P(y)∨Q(y)US规则，(4)（6）P(y)T规则，(3)(5)（7）∃xP(x)EG规则，(6)（4）式的证明：（1） P规则（2） （1），US规则（3） P规则（4） （3），US规则（5） （2），（4），T规则（6） P规则（7） （3），US规则（8） （5），（7），T规则（9） （8），UG规则7.将下列命题符号化，并用演绎推理法证明其结论是有效的。 （1）有理数、无理数都是实数；虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。（个体域取全总个体域） （2）所有的舞蹈者都很有风度；万英是个学生并且是个舞蹈者。因此，有些学生很有风度。（个体域取人类全体组成的集合） （3）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车；每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车；有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。（个体域取人类全体组成的集合） （4）每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱；有些旅客富裕但并非所有的旅客都富裕。因此有些旅客坐经济舱。（个体域取全体旅客组成的集合）解（1）命题符号化为：P（x）:x是有理数，Q（x）:x是无理数，R（x）:x是实数，T（x）:x是虚数。前提：∀x(P(x)→R(x))，∀x(Q(x)→R(x))，∀x(T(x)→¬R(x))结论：∀x(T(x)→（¬P(x)∧¬Q(x))1）∀x(P(x)→R(x))P规则2）P(y)→R(y)US规则，1）3）∀x(Q(x)→R(x))P规则4）Q(y)→R(y)US规则，3）5）∀x(T(x)→¬R(x))P规则6）T(y)→¬R(y)US规则，5）7)T(y)→¬P(y)T规则，2）6）8）T(y)→¬Q(y)T规则，4）6）9）（T(y)→¬P(y)）∧（T(y)→¬Q(y)）T规则，7）8）10）（T(y)→（¬P(y)）∧¬Q(y)）E规则，9）11）∀x(T(x)→（¬P(x)∧¬Q(x))UG规则，10）（2）命题符号化为：P（x）:x是舞者，Q（x）:x很有风度，R（x）:x是学生，T（x）:x是虚数,a：万英。前提：∀x(P(x)→Q(x))，R（a）∧P（a），结论：∃x(R（x）∧Q(x))1）R（a）∧P（a）P规则2）R（a）T规则，1）3）P（a）T规则，1）4）∀x(P(x)→Q(x))P规则5）P(a)→Q(a)UG规则，4）6）Q(a)T规则，3）5）7）R（a）∧Q(a)T规则，2）6）8）∃x(R（x）∧Q(x))EG规则，7）（3）命题符号化为：：喜欢步行，：喜欢骑自行车，：喜欢坐汽车。前提：，，结论：.① P规则②