第六讲基础奥数之

【第六讲基础奥数之行程与工程问题初步】各位同学，大家好。经过前五讲的铺垫，我们对数字的特性、运算的技巧以及一些基本的逻辑推理方法已有了初步的认识。从这一讲开始，我们将逐步接触到奥数中更具实际应用背景也更富挑战性的问题类型。今天，我们来探讨两类经典的应用题：行程问题与工程问题。这两类问题不仅在奥数中频繁出现，其蕴含的数学思想和解题方法，对我们日后解决更复杂的实际问题也大有裨益。一、行程问题：追及与相遇的奥秘我们每天都在行走，从家到学校，从一个地方到另一个地方。行程问题，简单来说，就是研究物体运动过程中，路程、速度和时间三者之间关系的问题。其核心公式大家务必牢记：路程=速度×时间。一切行程问题的变化，都是围绕这个基本公式展开的。1.1相遇问题：相向而行的碰头当两个物体从两地出发，沿同一条路线相向而行，最终会在途中相遇。这类问题的关键在于，两者所用的时间通常是相同的（从出发到相遇），且两者所行路程之和等于两地之间的总路程。基本数量关系：*总路程=速度和×相遇时间*相遇时间=总路程÷速度和*速度和=总路程÷相遇时间例题解析：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是每小时5公里，乙的速度是每小时4公里，经过3小时两人相遇。问A、B两地相距多少公里？分析与解答：甲、乙两人是相向而行，所以他们的相对速度是两者速度之和，即5+4=9公里/小时。经过3小时相遇，根据“路程=速度×时间”，这里的“速度”就是速度和，“时间”就是相遇时间。因此，A、B两地的距离为9×3=27公里。解题思路小结：对于相遇问题，首先要明确两者运动的方向（相向），找到共同运动的时间（相遇时间），以及两者的速度。利用速度和与相遇时间的乘积即可得到总路程。画线段图是帮助理解题意、找到数量关系的有效辅助手段。1.2追及问题：同向而行的追赶与相遇问题相对的是追及问题。当两个物体沿同一方向运动，速度快的物体从后面追赶速度慢的物体，这类问题就是追及问题。其关键在于，两者的路程差等于开始追及时两者之间的距离（或者说是需要追赶的距离）。基本数量关系：*追及路程（路程差）=速度差×追及时间*追及时间=追及路程÷速度差*速度差=追及路程÷追及时间例题解析：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲在前，乙在后。甲的速度是每小时3公里，乙的速度是每小时5公里。如果两人相距6公里，乙需要多少小时才能追上甲？分析与解答：乙要追上甲，就需要比甲多走他们最初相距的6公里，这6公里就是追及路程。乙每小时比甲多走5-3=2公里，这就是速度差。根据“追及时间=追及路程÷速度差”，可得追及时间为6÷2=3小时。解题思路小结：对于追及问题，要明确两者运动的方向（同向），找到需要追赶的初始距离（追及路程），以及两者的速度差。利用追及路程除以速度差即可得到追及所需的时间。同样，线段图能清晰地展示两者的位置关系和路程差。二、工程问题：效率与合作的艺术工程问题是研究工作总量、工作效率和工作时间之间关系的问题。它与行程问题在本质上是相通的，工作总量类似于路程，工作效率类似于速度，工作时间则对应行程问题中的时间。2.1基本数量关系核心公式：工作总量=工作效率×工作时间*工作效率=工作总量÷工作时间*工作时间=工作总量÷工作效率在工程问题中，我们常常将工作总量看作单位“1”（例如，一项工程、一份工作）。这样，工作效率就可以表示为单位时间内完成工作总量的几分之一。2.2单人工程问题即只涉及一个人（或一个工作单位）完成某项工程的问题。例题解析：一项工程，甲单独做需要10天完成。那么甲每天能完成这项工程的几分之几？如果甲做了3天，还剩下这项工程的几分之几未完成？分析与解答：将这项工程的工作总量看作单位“1”。甲单独做10天完成，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，甲的工作效率为1÷10=1/10。即甲每天能完成这项工程的1/10。甲做了3天，完成的工作量为1/10×3=3/10。因此，剩下未完成的工作量为1-3/10=7/10。2.3合作工程问题实际工作中，往往是多个人或多个团队合作完成一项工程。这时，他们的工作效率可以叠加。基本数量关系：*合作工作效率=各部分工作效率之和*合作工作时间=工作总量÷合作工作效率例题解析：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，需要多少天才能完成这项工程？分析与解答：同样将工作总量看作单位“1”。甲的工作效率为1/10（每天完成1/10），乙的工作效率为1/15（每天完成1/15）。甲、乙合作的工作效率为1/10+1/15。为了相加，先通分：1/10=3/30，1/15=2/30，所以合作效率为3/30+2/30=5/30=1/6。因此，合作完成这项工程需要的时间为1÷(1/6)=6天。解题思路小结：解决工程问题，关键在于确定工作总量（通常设为“1”）和各参与者的工作效率。对于合作问题，重点是求出合作的总效率。有时还会遇到中途有人离开或加入的情况，这时需要分段计算工作量或调整工作效率。三、本讲小结与思考行程问题和工程问题，虽然背景不同，但都深刻体现了“量=率×时间”这一基本数学模型。无论是路程、速度、时间，还是工作总量、工作效率、工作时间，理解并灵活运用它们之间的关系，是解决这类问题的核心。在解题时，建议大家：1.仔细审题：明确题目中的运动方向（相向、同向）、出发时间、工作方式（单独、合作）等关键信息。2.画示意图：特别是行程问题，线段图能直观地帮助我们理解路程关系。3.确定“单位1”：在工程问题以及一些复杂行程问题中，巧妙地设定单位“1”可以简化计算。4.找等量关系：根据题目条件，列出基于核心公式的等量关系式。5.分步求解：对于复杂问题，不要急于求成，可分解为几个简单步骤逐步解决。这两类问题还有许多变化形式，例如行程问题中的流水行船（考虑水速）、火车过