2026年统计学期末考试题库时间序列分析在社会科学中的应用试题附答案

2026年统计学期末考试题库时间序列分析在社会科学中的应用试题附答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.社会科学研究中分析月度犯罪率数据时，若序列呈现每年12月犯罪率显著升高的特征，需优先考虑的时间序列模型是（）A.AR(2)模型B.SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)₁₂C.GARCH模型D.简单移动平均模型答案：B（月度数据的季节性周期为12，SARIMA模型可捕捉季节效应）2.某研究团队分析2000-2025年某市年度教育财政投入序列（单位：亿元），经计算其自相关函数（ACF）在滞后1阶为0.85，滞后2阶为0.72，滞后3阶为0.61，呈现缓慢衰减；偏自相关函数（PACF）在滞后1阶为0.85，滞后2阶为-0.12，滞后3阶为0.05。该序列最可能符合的模型是（）A.MA(1)B.AR(1)C.ARMA(1,1)D.AR(2)答案：B（AR(p)模型PACF在p阶截尾，ACF拖尾；本题PACF滞后1阶后接近0，故为AR(1)）3.对社会科学时间序列进行平稳性检验时，ADF检验的原假设是（）A.序列不存在单位根（平稳）B.序列存在单位根（非平稳）C.序列是白噪声D.序列的自协方差函数随滞后阶数增加趋于0答案：B（ADF检验通过检验单位根存在性判断平稳性，原假设为存在单位根，即非平稳）4.某研究用ARIMA(1,1,1)模型预测某地区季度失业率，模型表达式为Δyₜ=0.3Δyₜ₋₁+εₜ-0.2εₜ₋₁，其中Δyₜ=yₜ-yₜ₋₁。若已知y₂₀=5.2%，y₂₁=5.5%，ε₂₁=0.1%，则y₂₂的一步预测值为（）A.5.6%B.5.7%C.5.8%D.5.9%答案：C（Δy₂₁=5.5%-5.2%=0.3%；Δy₂₂预测值=0.3×0.3%+(-0.2)×0.1%=0.09%-0.02%=0.07%；y₂₂预测值=y₂₁+Δy₂₂预测值=5.5%+0.3%=5.8%）5.社会科学中分析政策干预效果时，若干预发生在t₀时刻，为检验干预是否导致序列均值突变，可采用的方法是（）A.Cochrran-Q检验B.Chow检验C.KPSS检验D.Ljung-Box检验答案：B（Chow检验用于检验结构突变点，适用于政策干预前后的参数稳定性检验）6.某研究分析2010-2025年全国年度离婚率序列，发现其长期趋势为每年上升0.02个百分点，且存在显著的异方差性（波动随时间加剧）。此时应优先考虑的模型是（）A.ARIMA模型B.趋势模型+GARCH模型C.指数平滑模型D.协整模型答案：B（存在趋势需分离趋势项，异方差性用GARCH模型捕捉波动聚集）7.对社会科学时间序列进行季节调整时，X-13ARIMA-SEATS方法的核心步骤不包括（）A.估计趋势-循环分量B.分解季节分量C.检验单位根D.计算不规则分量答案：C（季节调整主要涉及趋势、季节、不规则分量分解，单位根检验属于平稳性分析）8.某研究用向量自回归（VAR）模型分析“教育投入”与“经济增长率”的动态关系，若滞后阶数选择AIC准则最小化时得到p=2，而SC准则最小化时得到p=1，最终应选择的滞后阶数是（）A.1（SC更严格，防止过拟合）B.2（AIC更关注拟合优度）C.需结合LR检验D.任意选择均可答案：A（SC准则惩罚力度更大，倾向于选择更小的滞后阶数，避免过拟合）9.社会科学中分析“月度流感发病率”时，若序列经一阶差分后ACF在滞后12阶显著非零，其余滞后阶数不显著，说明差分后序列仍存在（）A.长期趋势B.异方差性C.季节相关性D.自回归条件异方差答案：C（滞后12阶显著非零对应月度数据的季节周期12，说明季节效应未完全消除）10.协整分析在社会科学中的主要应用是（）A.检验多个非平稳序列是否存在长期均衡关系B.估计ARMA模型的参数C.分解时间序列的趋势与波动D.检验序列是否为白噪声答案：A（协整反映非平稳变量间的长期均衡关系，如收入与消费的长期同步性）二、判断题（每题1分，共10分）1.社会科学时间序列中，“年度出生人口数”通常是平稳序列，因为其无明显趋势或季节波动。（）答案：×（出生人口可能受政策、经济等因素影响呈现长期趋势，如“二孩政策”后增长，故可能非平稳）2.若时间序列的ACF在滞后k阶后截尾，PACF拖尾，则该序列符合MA(k)模型。（）答案：√（MA(q)模型ACF在q阶截尾，PACF拖尾）3.对非平稳序列直接进行线性回归会导致“伪回归”，表现为R²很高但t检验不显著。（）答案：√（伪回归的典型特征是高拟合优度但参数统计量不可靠）4.指数平滑模型中的平滑系数α越大，对近期数据的加权程度越低。（）答案：×（α越大，近期数据权重越高，模型对变化的反应越敏感）5.社会科学中分析“季度旅游收入”时，季节差分（D=1）的作用是消除周期为4的季节波动。（）答案：√（季度数据季节周期为4，季节差分Δ₄yₜ=yₜ-yₜ₋₄可消除季节效应）6.Ljung-Box检验用于检验ARIMA模型的残差是否为白噪声，若p值大于0.05，说明模型拟合不足。（）答案：×（p值大于0.05接受原假设，即残差为白噪声，模型拟合充分）7.向量误差修正模型（VECM）要求变量间存在协整关系，其核心是捕捉变量偏离长期均衡的短期调整机制。（）答案：√（VECM通过误差修正项反映变量向长期均衡调整的速度）8.社会科学中“日度社交媒体用户活跃度”数据通常存在高频率噪声，可通过移动平均法平滑处理。（）答案：√（移动平均可降低高频噪声，突出趋势）9.若时间序列的ADF检验统计量绝对值小于临界值，则拒绝原假设，认为序列平稳。（）答案：×（ADF检验统计量绝对值大于临界值时拒绝原假设，序列平稳）10.社会科学中使用SARIMA模型时，若季节阶数P=1，Q=1，周期s=12，说明模型包含季节自回归和季节移动平均各1阶。（）答案：√（SARIMA的季节部分参数(P,D,Q)ₛ表示季节自回归P阶，季节差分D阶，季节移动平均Q阶）三、简答题（每题6分，共30分）1.社会科学时间序列数据与自然科学时间序列数据相比，主要特殊性有哪些？请列举3点并简要说明。答案：①数据频率低：社会科学多为年度、季度数据（如GDP、人口普查），自然科学可能为分钟、秒级数据；②外生干扰多：易受政策、突发事件（如疫情）影响，存在结构突变；③变量间关联性复杂：经济、教育等变量间可能存在双向因果，需用VAR等模型处理；④非平稳性普遍：受社会发展影响，序列常含趋势或季节成分（如节假日消费）。2.简述在社会科学中应用ARIMA模型的基本步骤。答案：①数据预处理：检验序列平稳性（ADF检验），若不平稳进行差分（d阶）；②模型识别：根据差分后序列的ACF和PACF图确定p（AR阶数）和q（MA阶数）；③参数估计：用极大似然法或最小二乘法估计ARIMA(p,d,q)参数；④模型诊断：检验残差是否为白噪声（Ljung-Box检验），若存在自相关则调整p或q；⑤模型预测：利用已估模型进行短期或长期预测，并评估预测误差（如均方误差）。3.社会科学研究中，如何通过时间序列分析检验“某扶贫政策是否显著降低了农村贫困率”？请说明具体方法。答案：①数据收集：获取政策实施前后（如2010-2025年）的年度农村贫困率序列，设政策实施时间为t₀（如2018年）；②结构突变检验：使用Chow检验或Quandt-Andrews检验，检验t₀是否为突变点；③建立干预模型：构造虚拟变量Dₜ（t≥t₀时Dₜ=1，否则0），将模型设为yₜ=α+βDₜ+φ₁yₜ₋₁+…+φₚyₜ₋ₚ+εₜ，检验β的显著性（若β显著为负，说明政策降低贫困率）；④反事实分析：通过ARIMA模型预测无政策干预时的贫困率，与实际值对比，计算政策效果（实际值-预测值）。4.什么是“协整”？社会科学中为何需要检验变量间的协整关系？答案：协整指两个或多个非平稳时间序列的线性组合是平稳的，反映变量间存在长期均衡关系。社会科学中，许多变量（如收入与消费、教育投入与经济增长）自身非平稳，但理论上应存在长期同步变化趋势。若直接对非平稳变量回归会导致伪回归，而协整检验可确认变量间是否存在有意义的长期关系，若存在则可建立误差修正模型（VECM），同时捕捉短期波动和长期调整机制。5.社会科学时间序列分析中，如何处理“异常值”（如突发事件导致的极端值）？请列举2种方法并说明。答案：①识别异常值：通过残差分析（如标准化残差绝对值>3）或时序图观察明显偏离趋势的点；②修正方法：a.插补法：用前后值的线性插值或ARIMA模型预测值替代异常值；b.虚拟变量法：在模型中加入指示异常值发生时间的虚拟变量Dₜ（异常时Dₜ=1），估计其对序列的影响，若系数显著则保留该变量；c.稳健估计：使用对异常值不敏感的估计方法（如中位数回归）替代最小二乘法。四、计算题（每题10分，共30分）1.某研究分析2005-2025年某城市年度人均可支配收入（yₜ，单位：万元），经检验序列非平稳，一阶差分后Δyₜ=yₜ-yₜ₋₁平稳。差分后序列的ACF和PACF如下：ACF：滞后1阶=0.65，滞后2阶=0.20，滞后3阶及以上≈0PACF：滞后1阶=0.65，滞后2阶=0.50，滞后3阶=0.10，滞后4阶及以上≈0（1）判断差分后序列符合的ARMA模型类型并说明理由；（2）若模型参数估计结果为Δyₜ=0.5Δyₜ₋₁+0.3Δyₜ₋₂+εₜ-0.2εₜ₋₁，写出原序列yₜ的ARIMA模型表达式。答案：（1）差分后序列ACF在滞后1阶显著，滞后2阶下降但未截尾；PACF在滞后2阶显著，滞后3阶及以上截尾，符合ARMA(2,1)模型（AR阶数p=2因PACF滞后2阶后截尾，MA阶数q=1因ACF滞后1阶后下降但未严格截尾，结合实际显著阶数判断）。（2）ARIMA模型阶数为(p,d,q)=(2,1,1)，原序列表达式为：yₜ-yₜ₋₁=0.5(yₜ₋₁-yₜ₋₂)+0.3(yₜ₋₂-yₜ₋₃)+εₜ-0.2εₜ₋₁整理得：yₜ=1.5yₜ₋₁-0.2yₜ₋₂-0.3yₜ₋₃+εₜ-0.2εₜ₋₁2.某研究用MA(2)模型分析某地区月度犯罪率（yₜ），模型表达式为yₜ=μ+εₜ-θ₁εₜ₋₁-θ₂εₜ₋₂，其中εₜ~WN(0,σ²)。已知样本自协方差γ₀=2.5，γ₁=-1.2，γ₂=-0.5，γ₃=0（γₖ为滞后k阶自协方差）。（1）写出MA(2)模型的自协方差函数表达式；（2）估计模型参数θ₁、θ₂和σ²。答案：（1）MA(2)自协方差函数：γ₀=σ²(1+θ₁²+θ₂²)γ₁=σ²(-θ₁-θ₁θ₂)γ₂=σ²(-θ₂)γₖ=0（k≥3）（2）代入已知γ₀=2.5，γ₁=-1.2，γ₂=-0.5：由γ₂=σ²(-θ₂)=-0.5→σ²θ₂=0.5①由γ₁=σ²(-θ₁-θ₁θ₂)=-1.2→σ²θ₁(1+θ₂)=1.2②由γ₀=σ²(1+θ₁²+θ₂²)=2.5③由①得σ²=0.5/θ₂，代入②：(0.5/θ₂)θ₁(1+θ₂)=1.2→0.5θ₁(1+θ₂)=1.2θ₂→θ₁=(1.2θ₂)/(0.5(1+θ₂))=(2.4θ₂)/(1+θ₂)假设θ₂=0.5（试算），则σ²=0.5/0.5=1θ₁=2.4×0.5/(1+0.5)=1.2/1.5=0.8代入γ₀=1×(1+0.8²+0.5²)=1×(1+0.64+0.25)=1.89≠2.5（不符）假设θ₂=1，则σ²=0.5/1=0.5θ₁=2.4×1/(1+1)=1.2代入γ₀=0.5×(1+1.2²+1²)=0.5×(1+1.44+1)=0.5×3.44=1.72≠2.5（不符）假设θ₂=0.4，则σ²=0.5/0.4=1.25θ₁=2.4×0.4/(1+0.4)=0.96/1.4≈0.6857γ₀=1.25×(1+0.6857²+0.4²)=1.25×(1+0.47+0.16)=1.25×1.63≈2.0375（接近2.5）调整θ₂=0.3，则σ²=0.5/0.3≈1.6667θ₁=2.4×0.3/(1+0.3)=0.72/1.3≈0.5538γ₀=1.6667×(1+0.5538²+0.3²)=1.6667×(1+0.3067+0.09)=1.6667×1.3967≈2.3278（接近）θ₂=0.25，则σ²=0.5/0.25=2θ₁=2.4×0.25/(1+0.25)=0.6/1.25=0.48γ₀=2×(1+0.48²+0.25²)=2×(1+0.2304+0.0625)=2×1.2929=2.5858≈2.5（近似）故参数估计为θ₁≈0.48，θ₂≈0.25，σ²≈2（注：实际考试中可通过联立方程精确求解，此处为简化计算）3.某研究分析2010Q1-2025Q4（共64个季度）的某省季度社会消费品零售总额（yₜ，单位：亿元），建立SARIMA(1,1,1)(1,1,1)₄模型，模型表达式为：(1-0.3B)(1-0.5B⁴)ΔΔ₄yₜ=(1+0.2B)(1+0.4B⁴)εₜ其中Δ=1-B，Δ₄=1-B⁴，B为延迟算子。已知2025Q4的yₜ=850亿元，2025Q3=820亿元，2024Q4=780亿元，ε₂₀₂₅Q4=0.5亿元，ε₂₀₂₅Q3=-0.3亿元，ε₂₀₂₄Q4=0.1亿元。（1）写出模型展开后的具体形式（含趋势项和季节项）；（2）计算2026Q1的一步预测值。答案：（1）展开模型：(1-0.3B-0.5B⁴+0.15B⁵)(1-B)(1-B⁴)yₜ=(1+0.2B+0.4B⁴+0.08B⁵)εₜ(1-B)(1-B⁴)=1-B-B⁴+B⁵，故左边为：(1-0.3B-0.5B⁴+0.15B⁵)(1-B-B⁴+B⁵)yₜ=[1-B-B⁴+B⁵-0.3B+0.3B²+0.3B⁵-0.3B⁶-0.5B⁴+0.5B⁵+0.5B⁸-0.5B⁹+0.15B⁵-0.15B⁶-0.15B⁹+0.15B¹⁰]yₜ=yₜ-1.3yₜ₋₁+0.3yₜ₋₂-1.5yₜ₋₄+(1+0.3+0.5+0.15)yₜ₋₅-(0.3+0.15)yₜ₋₆+0.5yₜ₋₈-(0.5+0.15)yₜ₋₉+0.15yₜ₋₁₀右边为εₜ+0.2εₜ₋₁+0.4εₜ₋₄+0.08εₜ₋₅（2）一步预测（2026Q1即t=65）：SARIMA模型的预测基于最近的观测值和残差。一步预测时，ε₆₅=0（预测误差），故：(1-0.3B)(1-0.5B⁴)ΔΔ₄y₆₅=(1+0.2B)(1+0.4B⁴)×0=0即(1-0.3B)(1-0.5B⁴)(y₆₅-y₆₄-y₆₁+y₆₀)=0代入已知值：y₆₄=850（2025Q4），y₆₃=820（2025Q3），y₆₀=780（2024Q4）ΔΔ₄y₆₅=y₆₅-y₆₄-(y₆₄-y₆₀)=y₆₅-2y₆₄+y₆₀(1-0.3B)(1-0.5B⁴)ΔΔ₄y₆₅=ΔΔ₄y₆₅-0.3ΔΔ₄y₆₄-0.5ΔΔ₄y₆₁+0.15ΔΔ₄y₆₀=0计算ΔΔ₄y₆₄（2025Q4的差分）：ΔΔ₄y₆₄=y₆₄-y₆₃-(y₆₀-y₅₉)（但y₅₉未知，改用模型残差关系：原模型中，ΔΔ₄yₜ=[(1+0.2B)(1+0.4B⁴)/(1-0.3B)(1-0.5B⁴)]εₜ，故ΔΔ₄y₆₄=(1+0.2B)(1+0.4B⁴)/(1-0.3B)(1-0.5B⁴)ε₆₄代入ε₆₄=0.5，ε₆₃=-0.3，ε₆₀=0.1：ΔΔ₄y₆₄=[1+0.2B+0.4B⁴+0.08B⁵]ε₆₄/[1-0.3B-0.5B⁴+0.15B⁵]分子=ε₆₄+0.2ε₆₃+0.4ε₆₀+0.08ε₅₉≈0.5+0.2×(-0.3)+0.4×0.1=0.5-0.06+0.04=0.48（ε₅₉未知，近似为0）分母≈1-0.3×1-0.5×1+0.15×1=1-0.3-0.5+0.15=0.35故ΔΔ₄y₆₄≈0.48/0.35≈1.371同理，ΔΔ₄y₆₁（2025Q1）和ΔΔ₄y₆₀（2024Q4）对一步预测影响较小，近似为0因此，ΔΔ₄y₆₅≈0.3ΔΔ₄y₆₄+0.5ΔΔ₄y₆₁-0.15ΔΔ₄y₆₀≈0.3×1.371≈0.411ΔΔ₄y₆₅=y₆₅-2×850+780=y₆₅-1700+780=y₆₅-920=0.411故y₆₅=920+0.411≈920.41亿元五、案例分析题（每题10分，共20分）案例1：某研究团队关注“数字经济发展对城镇居民消费结构的影响”，收集了2013-2025年某省年度数据：y₁ₜ（数字经济指数，0-100）、y₂ₜ（服务消费占比，%）、y₃ₜ（商品消费占比，%）。经检验，三个序列均为I(1)（一阶单整），且Johansen协整检验显示存在1个协整关系。（1）说明选择向量误差修正模型（VECM）的合理性；（2）若协整方程为y₂ₜ=0.8y₁ₜ+0.3y₃ₜ+μₜ（μₜ为均衡误差），VECM短期方程为：Δy₂ₜ=-0.2μₜ₋₁+0.4Δy₁ₜ₋₁-0.1Δy₃ₜ₋₁+εₜ解释系数-0.2、0.4和-0.1的经济含义。答案：（1）合理性：①变量均为I(1)非平稳，直接VAR建模可能伪回归；②存在协整关系，说明变量间存在长期均衡，VECM可同时捕捉短期波动和向长期均衡调整的机制；③VECM通过误差修正项（μₜ₋₁）反映偏离均衡的调整速度，符合研究“长期影响+短期动态”的需求。（2）系数解释：①-0.2（误差修正项系数）：表示服务消费占比在上一期偏离长期均衡（μₜ₋₁>0时，服务消费高于均衡值）时，本期会以20%的速度向均衡水平调整（负号表示反向调整）；②0.4（Δy₁ₜ₋₁系数）：数字经济指数上期增长率每提高1单位，本期服务消费占比增长率提高0.4个百分点（短期促进作用）；③-0.1（Δy₃ₜ₋₁系数）：商品消费占比上期增长率每提高1个百分点，本期服务消费占比增长率下降0.1个百分点（短期替代关系）。案例2：某城市2010-2025年年度PM2.5浓度（yₜ，μg/m³）数据如下（部分）：2010:78,2011:75,2012:72,2013:69,2014:65,2015:62,2016:58,2017:55,2018:52,2019:49,2020:45,2021:42,2022:39,2023:36,2024:33,2025:30（1）判断该序列的趋势类型（线性/非线性），并计算其线性趋势方程（设t=1对应2010年）；（2）若2026年该市实施更严格的环保政策，假设趋势斜率变为原来的-1.5倍，预测2026年PM2.5浓度。答案：（1）趋势类型：观察数据逐年递减约3-4μg/m³，近似线性下降。设趋势方程为yₜ=α+βt，t=1到16（2010-2025）。