数字信号处理-使用Python分析与实现 课件 第7章 有限冲激响应数字滤波器的设计

1第7章有限冲激响应数字滤波器的设计李蓉艳同济大学电子与信息工程学院2024年12月第7章有限冲激响应数字滤波器的设计2FIR数字滤波器的设计线性相位FIR滤波器的特点窗函数法频率响应单位冲激响应系统函数频率采样法理想情况的公式截断效应等波纹设计法等波纹逼近交替定理内插

Remez算法相位和幅度函数常用窗函数设计FIR滤波器微分器和希尔伯特变换器过渡带设置采样点本章重点-FIR滤波器设计方法3掌握线性相位FIR数字滤波器的单位冲激响应、幅度函数、系统函数、相位响应、零点分布等的特点；掌握加窗截断对信号频谱的影响；掌握窗函数法、频率采样设计法、等波纹设计法等FIR滤波器设计方法；FIR和IIR数字滤波器的特点比较。47.1线性相位FIR滤波器的特点

幅度函数相位函数

57.1.2线性相位FIR滤波器的单位冲激响应1.第一类线性相位

实部和虚部分别对应相等

相除

充分条件得到6

7.1.2线性相位FIR滤波器的单位冲激响应77.1.2线性相位FIR滤波器的单位冲激响应1.第二类线性相位

充分条件实部和虚部分别对应相等相除

8

7.1.2线性相位FIR滤波器的单位冲激响应97.1.3线性相位FIR滤波器系统函数的特点

107.1.4线性相位FIR滤波器相位函数和幅度函数的特点

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群延迟：相位函数：

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频率响应

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187.1.4线性相位FIR滤波器相位函数和幅度函数的特点根据z=±1处的零点位置，可以识别出四种类型的FIR线性相位滤波器（1）如果滤波器的阶数为偶数，且零点是共轭成对且四个一组存在，说明了h(n)偶对称，为类型1滤波器。

1920

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247.2利用窗函数设计法设计FIR滤波器设计原理

257.2.2理想低通、高通、带通、带阻滤波器的设计公式（1）理想线性相位低通滤波器

单位样值响应26（2）理想线性相位高通滤波器

全通滤波器低通滤波器

7.2.2理想低通、高通、带通、带阻滤波器的设计公式

单位样值响应

27（3）理想线性相位带通滤波器

单位样值响应

7.2.2理想低通、高通、带通、带阻滤波器的设计公式28（4）理想线性相位带阻滤波器

单位样值响应

7.2.2理想低通、高通、带通、带阻滤波器的设计公式

29FIR滤波器的截断效应

以理想低通滤波器为例，加窗后得到时域序列30

FIR滤波器的截断效应

31

FIR滤波器的截断效应32

FIR滤波器的截断效应337.2.4典型窗函数窗函数的主瓣包含的能量越多，相应旁瓣的幅度越小。旁瓣幅度减小可以使通带和阻带的波纹减小，但是以加宽过渡带为代价的。

34（1）矩形窗

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40各种窗函数的幅度谱（dB）理想低通FIR滤波器加窗后的幅度响应41

42(a)凯泽窗(b)凯泽窗频谱

估算参数凯泽窗的参数值是近似的，必须对滤波器的设计结果进行验证。凯泽(Kaiser)窗434445scipy.signal.windows中的窗函数get_window(window,Nx,fftbins=True)：根据给定类型和长度，返回窗的单位样值响应序列如果窗口名称是一个浮点数，会当作凯泽窗的β参数得到凯泽窗。boxcar(N,sym=True)#N个长度的矩形窗序列bartlett(N,sym=True)#N个长度的三角形序列cosine(N[,sym])#N个长度的余弦窗hann(N[,sym])#N个长度的汉宁窗hamming(N,sym=True)#N个长度的海明窗blackman(N,sym=True)#N个长度的布莱克曼窗kaiser(N,beta[,sym])#带参数beta的凯泽窗例如：h_blackman=signal.get_window('blackman',9)返回结果为9个长度的布莱克曼窗序列值：[-1.38777878e-175.08696327e-022.58000502e-016.30000000e-019.51129866e-019.51129866e-016.30000000e-012.58000502e-015.08696327e-02]46窗函数法设计选频FIR滤波器的步骤

47【例7.2.3】利用窗函数设计法设计一个线性相位FIR数字低通滤波器，采样频率为2000Hz，通带截止频率为300Hz，阻带截止频率560Hz，阻带衰减不小于50dB。

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窗函数法设计FIR线性相位滤波器的Python函数50

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（6）经验证，幅频响应满足要求的性能指标。52

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547.2.6线性相位数字微分器的设计离散时间微分器可以逼近连续时间带限信号的微分运算

考虑线性相位的数字微分器

55单位样值响应

7.2.6线性相位数字微分器的设计56

7.2.6线性相位数字微分器的设计57

7.2.6线性相位数字微分器的设计58

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60

6162

解：编写类型3的微分器逼近程序，设计结果如图7.2.13所示，在低频部分更接近微分特性。63

定义解析信号

理想的希尔伯特变换器——全通滤波器，对信号的幅频特性没有影响，只改变相位，让正负频率分别产生-90度和+90度的相移。

即

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相位响应

非因果无限长序列

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66【例7.2.7】利用布莱克曼窗设计一个离散希尔伯特变换器。

希尔伯特变换器的单位样值响应

67

68【例7.2.8】设计一个线性相位希尔伯特变换器，设N=41。解编写程序得到的设计结果如图所示。697.2.8窗函数法的一些问题不能准确控制通带和阻带的截止频率；通带和阻带的波纹不能分别控制，有一定的浪费。707.3频率采样设计法频域采样恢复

71频率采样的不同方式

7.3频率采样设计法72第一种采样方式的滤波器设计过程：

7.3频率采样设计法

73

7.3频率采样设计法

74

7.3频率采样设计法

75

N为偶数

7.3频率采样设计法

767.3.2改进的频率采样法加宽过渡带，在过渡带上设置采样点。增加过渡带采样点可以增大阻带的最小衰减值012316~2040~5460~7580~95

77改进的频率采样法的设计步骤

7.3.2改进的频率采样法78

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（5）用IDFT求得所设计滤波器的单位脉冲响应

80

过渡带未加采样值

81Scipy中的firwin2函数

频率采样设计法的Python函数82

解：编写程序如下fromscipy.signalimportfirwin2sample_rate=1e6freqs=[0,100e3,110e3,190e3,200e3,300e3,310e3,500e3]gains=[1,1,0,0,0.5,0.5,0,0]h2=firwin2(101,freqs,gains,fs=sample_rate)print(h2)837.3.3频率采样法的一些问题频率采样法设计时灵活方便，适合用于分段常数的滤波器设计，特别是窄带滤波器的设计。缺点：（1）滤波器边界频率不易精确控制。（2）不易控制通带和阻带的波纹。（3）通带、阻带的边缘处，靠近过渡带时肩峰波纹较大，在通带和阻带的其他频率处，波纹较小，存在一定的富余，有一定的资源浪费。847.4等波纹设计法滤波器在通带或阻带内具有相同的波纹大小，可以把滤波器的最大波纹降到最小。阶数少于窗函数法和频率采样法，比较接近理想的滤波器。851.加权切比雪夫等波纹逼近

7.4等波纹设计法862.交替定理

7.4等波纹设计法87

7.4等波纹设计法7阶多项式的低通频率特性883.线性相位滤波器的极值点

令导数等于零

7.4等波纹设计法894.Parks-McClellan算法（Remez算法）

或者

7.4等波纹设计法90

Remez算法迭代过程：7.4等波纹设计法91

7.4等波纹设计法925.等波纹设计法的步骤

Parks-McClellan算法是Remez交换算法的变体，是FIR滤波器设计的标准方法。7.4等波纹设计法93Scipy库中的remez函数remez(numtaps,bands,desired,weight=None,Hz=1,type='bandpass',maxiter=25,grid_density=16)numtaps：所设计的FIR滤波器的单位样值响应的长度bands：一个递增序列，它包括频率响应中的所有频带的边界，其值在0到Hz/2之间，如果参数Hz为缺省值1的话，那么可以把它当作是以取样频率归一化的频率desired：长度为bands的一半的增益序列，它给出频率响应在bands中的每个频带的增益值weight：长度和desired一样的权重序列，它给出desired中的每个增益所占的权重，即给出desired中的每个增益的重要性，值越大表示其越重要type：'bandpass'或者'differentiator'可以实现Parks-McClellatich设计法7.4等波纹设计法94

h=signal.remez(N,(0,0.1,0.175,0.325,0.4,0.5),(1,0,1),weight=(1/0.12190,1,1/0.12190))9596

97不能满足阻带衰减要求。98

h=signal.remez(length,(0,0.06,0.1