MAT软件基础及应用 5

第八章MATLAB在信号与系统中的应用8.1信号的产生和运算8.2线性系统的时域分析8.3傅立叶分析8.4离散系统的响应8.1信号的产生和运算

8.1.1信号的产生信号名函数名举例方波square(t)%产生周期为2π的方波square(t,d)%产生占空比为d的方波x=square(0:0.1:4*pi,30);%占空比为30%的方波plot(0:0.1:4*pi,x)非周期方波y=recpuls(t,[w])%产生幅值为1，宽度为w的矩形波x=rectpuls(-1:0.1:1)%产生宽度为1的方波plot(x)抽样信号sinc(x)%产生抽样信号sin(πx)/πx

x=sinc(-5:0.1:5)%产生100HZ抽样信号plot(x)三角波sawtooth(t)%产生周期为2π的三角波sawtooth(t,m)%产生周期为[02π*m]的三角波x=sawtooth(-10:0.1:10,0);%产生周期为2π的三角波plot(-10:0.1:10,x)非周期三角波tripuls(t[,w][,s])%产生最大幅度为1，以t=0为中心宽度为w的三角波x=tripuls(-10:0.1:10,6)%产生宽度为6三角波plot(-10:0.1:10,x)高斯噪声信号wgn(m,n,p)%产生m*n的高斯噪声信号，噪声样本功率电源为px=wgn(1000,1,0)%产生高斯白噪声信号plot(x)扫频信号chirp(t,to,t1,f1)%产生余弦扫频信号，f0为初始频率，f1为t1时刻的频率x=chirp(0:0.001:1,1e-3,1,50);%t=0时初始频率为1e-3，t1=1时频率为50HZplot(0:0.001:1,x)

2.Simulink中的常用信号模块模块名功能Band-LimitedWhiteNoise产生连续系统中的宽带限幅白噪声信号ChirpSignal产生扫频信号（chirp）PulseGenerator脉冲发生器可以产生不同频率的一系列脉冲信号Ramp产生斜坡信号RepeatingSequence产生任意形状的周期信号RepeatingSequenceInterpolated产生离散时间序列并重复SignalGenerate信号发生器产生正弦波、方波、锯齿波和随即波WaveformGenerator波形发生器产生包括常量、高斯噪声、脉冲、锯齿波、正弦波、方波、阶跃等各种信号8.1.2信号的基本运算

1.信号的相加和相乘【例8_2】用波形显示两个信号的加法sin⁡(2πt)+sin⁡(8πt)和乘法sin⁡(2πt)∙sin⁡(8πt)，波形图如图所示。>>t=0:0.01:1;>>y=sin(2*pi*t)+sin(2*pi*8*t);>>subplot(2,1,1)>>plot(t,y,t,sin(2*pi*t),t,sin(2*pi*8*t)) %画三条曲线>>holdon>>plot(t,sin(2*pi*t)+1,'b:') %画上包络线>>plot(t,sin(2*pi*t)-1,'b:') %画下包络线>>subplot(2,1,2)>>plot(t,-sin(2*pi*t),'b:') %画下包络线>>y1=sin(2*pi*t).*sin(2*pi*8*t);>>holdon>>plot(t,y1,t,sin(2*pi*t),t,sin(2*pi*8*t))%画三条曲线2.信号的反褶、尺度变换和平移【例8_3】将三角波信号f(t)进行运算，变换成f1(t)=f(3t-2)，曲线转换过程如图8_7所示。>>t=-3:0.001:3;>>f=tripuls(t,4,0.5); %产生三角波f(t)>>holdon>>subplot(3,1,1)>>plot(t,f);>>subplot(3,1,2)>>f0=tripuls(3*t,4,0.5); %产生尺度变换三角波f(3t)>>plot(t,f0)>>subplot(3,1,3)>>f1=tripuls(3*t-2,4,0.5); %产生尺度变换三角波f(3t-2)>>plot(t,f1)8.2线性系统的时域分析

8.2.1线性时不变系统的零输入响应线性时不变系统的零输入响应计算步骤：（1）根据特征方程解方程的齐次解；（2）计算待定系数AMATLAB提供了vander函数，用来产生范德孟德矩阵，其语法格式为：A=vander(v)说明：产生范德孟德矩阵，每列按v的升幂排列，v是列向量，A矩阵的元素为A(i,j)=v(i)^(n-j)。8.1.3信号的分解与合成

【例8_4】将信号f(t)进行分解为偶分量和奇分量，f(t)的波形如图所示，经过分解后的图形如图8-5所示，图中下面两个曲线fo(t)是奇分量fe(t)是偶分量。f(t)的表达式为：f(t)=[u(t)-u(t-1)]-1/2(t-3)[u(t-1)-u(t-3)]t=-4:0.01:4;%生成f(t)表达式fhnd1=@(t)(heaviside(t)-heaviside(t-1)+(-1/2)*(t-3).*(heaviside(t-1)-heaviside(t-3)));f_t=fhnd1(t);f_nt=fhnd1(-t); %f(t)和f(-t) fo=(1/2)*(f_t-f_nt); %计算奇分量fe=(1/2)*(f_t+f_nt); %计算偶分量subplot(3,1,1)plot(t,f_t);title('f(t)')axis([-4,4,min(f_t)-0.05*(max(f_t)-min(f_t)),max(f_t)+0.05*(max(f_t)-min(f_t))])subplot(3,1,2)plot(t,fo);title('fo(t)')

【例8_5】将各次谐波合成为周期矩形脉冲信号，采用Simulink仿真实现，观测信号合成中的逼近和失真问题。8.2.1线性系统的时域响应（1）系统全响应可以分为齐次解与特解，按照线性定常系统微分方程的解法可以得出：全响应=齐次解（自由响应）+特解（强迫响应）。从系统分析的角度，线性定常系统的特征方程根决定了系统自由响应的形式，自由响应可以运用MATLAB解微分方程齐次解；强迫响应只与激励函数的形式有关。（2）根据激励信号和系统初始状态可以得出：全响应=零输入响应+零状态响应。1.系统的零输入响应线性时不变系统的零输入响应是指输入为0，而由系统的初始状态（储能）产生的响应。【例8_6】已知y(0)=2，y’(0)=-1，描述某线性系统的微分方程为：，求解零输入响应。>>a=input('Inputcoefficient='); %输入系统参数Inputdenominatorcoefficient=[156]>>n=length(a)-1;>>y0=input('InputInitialState='); %输入初始状态InputInitialState=[2-1]>>p=roots(a) %求特征根>>v=rot90(vander(p)); %得出范德孟德矩阵v=11-3-2>>A=v\y0' %计算待定系数A=-3.0005．000>>y=0;>>t=0:0.2:10;>>fork=1:n %绘制零输入响应曲线y=A(k)*exp(p(k)*t)+y>>end>>clear>>symsy(t);Dy=diff(y,t);>>yt=dsolve(diff(y,t,2)+5*diff(y,t)+6*y(t)==2*exp(-t)) %非齐次方程通解yt=exp(-t)+C1*exp(-3*t)+C2*exp(-2*t)>>C2=0;C3=0;ypt=subs(yt) %特解即强迫响应>>y=dsolve(diff(y,t,2)+5*diff(y,t)+6*y(t)==2*exp(-t),y(0)==2,Dy(0)==-1) %系统的全响应y=exp(-3*t)*(exp(2*t)+3*exp(t)-2)>>yht=y-ypt %系统的自由响应yht=exp(-3*t)*(exp(2*t)+3*exp(t)-2)-exp(-t)>>figure(1);ezplot(y,[03]) %绘制全响应,强迫响应,自由响应>>holdon>>ezplot(ypt,[03]).ezplot(yht,[03])>>axis([0303])；title('全响应,强迫响应,自由响应')【例8_7】已知y(0)=2，y’(0)=-1，f(t)=e-t，描述某线性系统的微分方程为：。求该系统的零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应和全响应。2.系统的全响应系统的全响应可以表示为零输入响应+零状态响应，也可以表示为自由响应+强迫响应。>>symsy(t);Dy=diff(y,t);>>yzi=dsolve(diff(y,t,2)+5*diff(y,t)+6*y(t)==2*exp(-t),y(0)==2,Dy(0)==-1)%系统零输入响应yzi=exp(-3*t)*(exp(2*t)+3*exp(t)-2)>>yzs=dsolve(diff(y,t,2)+5*diff(y,t)+6*y(t)==2*exp(-t),y(0)==0,Dy(0)==0)%系统零状态响应yzs=exp(-3*t)*(exp(2*t)-2*exp(t)+1)>>y=yzi+yzs%系统的全响应y=exp(-3*t)*(exp(2*t)-2*exp(t)+1)+exp(-3*t)*(exp(2*t)+3*exp(t)>>figure(2);ezplot(y,[03])>>holdon>>ezplot(yzi,[03]);ezplot(yzs,[03])>>axis([0303]);title('全响应,零输入响应,零状态响应')8.2.2用卷积计算线性时不变系统的时域响应

【例8_10】计算两个函数f1(t)和f2(t)的卷积，其中f1(t)和f2(t)的波形图如图所示。>>clear>>dt=0.01;>>t=-1:dt:5; %横坐标t范围>>L=length(t);>>f1=2*rectpuls(t-0.25,3/2); %产生矩形波f1(t)>>subplot(3,1,1)>>plot(t,f1)>>axis([-1503])>>subplot(3,1,2)>>f2=t.*rectpuls(t-0.5,2).*(t>0&t<2); %产生f2(t)>>plot(t,f2)>>f=conv(f1,f2); %计算卷积>>subplot(3,1,3)>>tf=[2*t(1):dt:2*t(L)] %横坐标范围扩大一倍>>plot(tf,f)

8.2.3电网络的时域分析

8.3.1信号的合成

周期函数都是由三角函数的线性组合来表示，周期信号可以表示为：偶函数的傅立叶级数中不会含有正弦项b_nsin⁡(nω_1t)，只有直流项a_0和余弦项a_ncos⁡(nω_1t)。奇函数的傅立叶级数中不会含有余弦项a_ncos⁡(nω_1t)，只可能包含正弦项b_nsin⁡(nω_1t)。奇谐函数的傅立叶级数中只会含有基波和奇次谐波的正弦项、余弦项，而不会含有偶次谐波项。方波信号可以分解成奇次正弦信号之和，方波信号如图8_13所示，可以表示为：【例8_12】根据各次谐波合成方波信号，观察不同信号合成的结果，并使用三维曲面绘制合成的信号，各谐波叠加波形图如图所示。>>t=0:0.01:3*pi;>>subplot(2,3,1)>>y1=sin(t);>>y3=sin(3*t);>>plot(t,y1+1/3*y3) %1,3次谐波叠加>>subplot(2,3,2)>>y5=sin(5*t);>>plot(t,y1+1/3*y3+1/5*y5) %1,3,5次谐波叠加>>subplot(2,3,3)>>y7=sin(7*t);>>plot(t,y1+1/3*y3+1/5*y5+1/7*y7) %1,3,5,7次谐波叠加>>subplot(2,3,4)>>plot(t,y1+1/5*y5+1/7*y7) %1,5,7次谐波叠加>>subplot(2,3,5)>>plot(t,y1-1/3*y3+1/5*y5+1/7*y7) %1,5,7次谐波与反相的3次谐波叠加>>subplot(2,3,6)>>mesh(t,1:4,[y1;y1+1/3*y3;y1+1/3*y3+1/5*y5;y1+1/3*y3+1/5*y5+1/7*y7])8.3傅立叶分析

8.3.1非周期信号的傅立叶变换【例8_11】矩形信号的傅立叶变换是抽样函数，矩形信号为：y(t)=E[u(t+τ/2)-u(t+τ/2)]其傅立叶表达式为F(ω)=EτSa(ωτ/2)，矩形信号与抽样函数的波形如图8_15（a）和（b）所示。Sa(ωτ/2)=(sin⁡(ωτ/2))/(ωτ/2)=(2sin⁡(ωτ/2))/ωτ>>symsttaoyE>>y=E*(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2)); %矩形信号>>F=fourier(y) %傅立叶变换F=E*((cos((tao*w)/2)*i+sin((tao*w)/2))/w-(cos((tao*w)/2)*i-sin((tao*w)/2))/w)>>F=simple(F) %简化表达式F=(2*E*sin((tao*w)/2))/w>>F=subs(F,tao,2); %将tao用2代替>>F=subs(F,E,1) %将E用1代替F=(2*sin(w))/w8.3.1周期信号的傅立叶级数

周期信号的傅立叶级数可以用指数形式来表示，其幅度谱和相位谱是相对于纵轴左右对称的。【例8_12】绘制一个对称方波的三角函数频谱，已知其周期T=1，幅值E=1，方波信号的时域图如图8_17(a)所示。>>T=1;E=1;>>w1=2*pi/T;>>N=1000;>>t=linspace(-T/2,T/2-T/N,N)';>>f=-E/2*ones(1,N);>>f(t>-T/4&t<T/4)=E/2; %产生方波信号(-T/4,T/4)之间为1/2>>n=10;>>k=[-n:n]'; %取21个点>>F=1/N*exp(-j*kron(k*w1,t.'))*f'; %计算F>>stem(k,F) %绘制离散火柴杆图8.3.3调制与解调1.调制调制作用的实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，即信号分别依托于不同频率的载波上，解决一个信道中传输多对通话，实现“多路复用”。调制即两个信号相乘，g(t)称为基带信号，cos⁡(ω_0t)是高频载波信号：

根据卷积定理，得出调制后的信号f(t)的频谱F(ω)为：

8.3.4滤波器滤波器有模拟滤波器和数字滤波器两种。滤波器按频率通过的范围可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器、全通滤波器等。1.模拟滤波器常用的模拟低通滤波器有巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)等类型。【例8-13】设计一个模拟切比雪夫(Chebyshev)Ⅰ型低通滤波器，要求满足这些指标：通带截止频率ωc=50rad/s，阻带截止频率𝜔s=100rad/s，通带幅值最大衰减Ap=1dB，阻带幅值最大衰减As=20dB。>>wc=50;ws=100;Ap=1;As=20;>>[n,wc]=cheb1ord(wc,ws,Ap,As,'s'); %设计低通滤波器阶次及截止频率>>[num,den]=cheby1(n,Ap,wc,'s')num=1.0e+04*0006.1413den=1.0e+04*0.00010.00490.30966.1413>>bode(num,den);title('LowpassFilter') %绘制低通滤波器bode图【例8-14】将例8-13中的切比雪夫Ⅰ型低通滤波器用Simulink有源电网络实现，电路由一阶滤波器、放大增益和二阶滤波器三部分组成。

（2）IIR数字滤波器的设计【例8_16】设计满足指标的IIR低通滤波器，𝜔p=0.1πrad/s，𝜔s=0.4πrad/s，通带幅值最大衰减Ap=1dB，阻带幅值最大衰减As=20dB，采用脉冲响应不变法来设计IIR低通滤波器。>>Wp=0.1*pi;Ws=0.4*pi;Ap=1;As=20;fs=1; %数字滤波器性能指标和抽样频率>>wp1=Wp*fs;ws1=Ws*fs; %脉冲响应不变法的模拟滤波器指标>>[n1,wc1]=cheb1ord(wp1,ws1,Ap,As,'s'); %设计滤波器的阶次及截止频率>>[num1,den1]=cheby1(n1,Ap,wc1,'s'); %设计切比雪夫Ⅰ型模拟滤波器num1=000.0970den1=1.00000.34490.1088>>[numd1,dend1]=impinvar(num1,den1,fs); %用脉冲响应不变法转换为数字滤波器numd1=00.08050dend1=1.0000-1.61710.7083>>w=linspace(0,0.5*pi,512); >>h1=freqz(numd1,dend1,w); %滤波器的频率特性>>norm1=max(abs(h1)); %幅值归一化参数>>plot(w,20*log10(abs(h1)/norm1)),title('幅频特性') %绘制频率特性曲线3.滤波器可视化工具>>h=designfilt %打开滤波器可视化工具窗口8.4离散系统的响应1.求解差分方程MATLA